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1、1.1.1 数列的概念本小节重点：了解数列概念、分类、通项公式；及通项公式的求法。一、 基本概念1. 数列的概念1按一定次序排列的一列数叫数列。注：数列的另一定义：数列也可以看做是一个定义域为正整数集，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。 2数列中的每一个数按顺序1，2，3，都有一个序号，叫作项数，每一个序号也对应着一个数，这个数叫作数列中的项，例如第4 个数，叫作第4 项，第 n 个数，叫作第n 项，记作; 3数列的一般形式为，简单记为，其中表示数列的通项 . 4通项公式：如果一个数列的第n项与项数 n之间的函数关系可以用一个公式表示时，我们称这个公式为这个数列的通项公式。特别提示：
2、 a) 数列的通项公式不是唯一的，例如：-1 ，1，-1 ，1，通项公式可表示为或; b) 不是所有的数列都有通项公式，例如：3，3.1 ，3.14 ，3.141 ，3.1415 ，就没有通项公式 . 5递推公式：如果已知数列的第 1 项（或前几项） ，且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系式可以用一个公式来表示，则这个公式就叫作递推公式。2. 数列的表示方法 1列表法，指列出表格来表示数列的第 n 项与序号n 之间的关系 . 2图像法，指在坐标平面中用点表示 . 3解析法，指用一数学式子表示来。例如：常用的通项公式. 3. 数列的分类 1按数列中项数的多少来分：有
3、穷数列和无穷数列. 2按数列中相邻两项间的大小关系来分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页 3按照任何一项的绝对值是否都大于某一正数来分：有界数列和无界数列. 二、 例题讲解例1. 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)， ， (2) 1,3,6,10,15,(3) , (4) 6,66,666, (5), (6) , 或特别提示：在此种题型当中一些常用的数列为：1) 1， 0，1，0， ; 2)-1,1,-1,1,; 3)1,11,111,1111,例2. 已
4、知数列, (1) 求数列的第10 项(2)是否为该数列的项，为什么？(3) 求证：数列中各项都在区间内；(4) 在区间内有无数列中的项？例3. 利用递推公式写出下列各题通项公式(1)(可用两种方法) (2) 已知数列满足求(3)( 插项法和叠加法组合) (4) 在数列中, 已知, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页(5) 设是首项为1 的正数数列，且, 求它的通项公式. （累乘法）(6) 已知数列中，数列中，, 当时，, 求例 4. 求下列数列中某一项(1) 已知数列满足, 求(2) 已知数列对任意, 有, 若，求(
5、3) 在数列中，, 求(4) 已知数列满足, 求例 5. 利用数列的单调性解答 (1)若数列的通项公式, 数列的最大项为第x 项，最小项为第y 项，则 x+y= (2) 设数列的通项公式为, 若数列是单调递增数列，求实数k 的取值范围 . (3) 设, 又知数列的通项满足, 1)试求数列的通项公式 ; 2)判断数列的增减性 . (4) 设是定义在正整数集上的函数，且满足, 如果, 则= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页例 6. 和之间的关系注：数列的通项与前 n 项和的相互关系是：; (1) 已知数列的前 n项和, 求数列的通项公式 . (2) 已知求(3) 已知, 又数列中，这个数列的前 n 项和的公式，对所有大于1 的自然数n 都有. 1) 求数列的通项公式 . 2) 若, 求的值特别提示：请同学自行归纳出求通项公式的基本方法. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页