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1、探讨近几年高考中地不等式恒成立问题近几年来 , 不等式恒成立问题成为了高三复习迎考训练与高考地一个热点与难点 , 它涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、圆锥曲线地性质、图象, 渗透着分类讨论、化归与转化、数形结合、函数与方程等数学思想与方法, 能充分地考查学生地综合解题能力 , 在培养思维地灵活性、创造性等方面起到了积极地作用,因此备受命题者青睐 . 仅从近几年高考来看 , 全国卷 ）和包括浙江、上海、天津、福建、湖南在内地很多自主命题试卷中都有不等式恒成立问题 . 但在处理这类问题时 , 许多同学都总是感到不知如何下手一般不等式恒成立问题地处理方法有：转换求函数地最值、主参换位法、
2、分离参数法、数形结合等, 应用这些方法处理不等式恒成立问题很方便 , 下面我就以近几年高考试卷为例加以剖析. 一、转换求函数地最值容易证明如下两个结论：结论 1：结论 2：如何在区间 d 上求函数 fx ）地最大值或者最小值问题, 我们可以通过习题地实际 ,采取合理有效地方法进行求解, 通常可以考虑利用函数地单调性、函数地图像、二次函数地配方法、三角函数地有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数fx ）地最值 . 例 1 2008 年高考上海数学理科试卷第19 题）已知函数 fx ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页
3、=2x- ） 若 fx ）=2, 求 x 地值；）若 2t f2t）+m ft ）0 对于 t1,2 恒成立, 求实数 m地取值范围 . 分析：2t f2t）+mft）0 对于 t 1,2 恒成立 m -22t+1）max 问题转化为求 -22t+1 ） 地最大值 . 若求出 -22t+1）,t 1,2 地最大值 , 则问题迎刃而解 . 解：）略）当 t 1,2 时, 故 m地取值范围是 -5,+ ）. 例 2 09 年全国卷 ii文 21）设函数 fx ）=1/3x3-1,若当 x0 时,f0恒成立 , 求 a 地取值范围. 分析：利用导数求函数地最值,由恒成立条件得出不等式条件从而求出 a
4、 地范围 . 解：ii ）由i ）知, 当 x0 时,fx ）在 x=2a 或 x=0 处取得最小值. ；f0 ）=24a 则由题意得即解得 1 解决恒成立问题地实质是合理转化到函数, 通过函数性质最值）进行求解 . 二、主参换位法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页某些含参不等式恒成立问题, 在分离参数会遇到讨论地麻烦或者即使能容易分离出参数与变量, 但函数地最值却难以求出时, 可考虑变换思维角度 . 即把主元与参数换个位置, 再结合其它知识 , 往往会取得出奇制胜地效果 . 例 3 08 安徽文科 20）. 已知函
5、数 , 其中 a 为实数 . 已知不等式 f x2-x-a+1 对任意 a0,+）都成立 , 求实数 x 地取值范围 . 分析：已知参数 a 地范围 ,要求自变量 x 地范围, 转换主参元 x和 a 地位置 , 构造以 a 为自变量 x 作为参数地一次函数ga）, 转换成 a 0,+）,g0 恒成立再求解 . 解读：由题设知“ ax2-3x+x2-x-a+1 对 a 0,+）都成立, 即 a0 对 a 0,+）都成立 . 设 ga）=ax2+2）-x2-2xa r ）, 则 g0恒成立 , 则对 x r,ga ）为 r 上地单调递增函数 . 所以对 a 0,+）,g0 恒成立地充分必要条件是g
6、a）0,-x2-2x 0, -2 x0, 于是 x 地取值范围是 x|-2 x0. 三、分离参数法1）将参数与变量分离 , 即化为 g）fx ）或 g） fx ）恒成立地形式；2）求 fx ）在 xd 上地最大 或最小）值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页3）解不等式 g） fx ）max 或 g） fx ）min）,得地取值范围 . 适用题型： 1） 参数与变量能分离； 2） 函数地最值易求出 . 例 4 07 年山东卷文 15）当 x1,2）时, 不等式 x2+mx+40恒成立, 则 m地取值范围是 ）. 解读
7、：当 x1,2 ）时, 由 x2+mx+40得 .令, 则易知 fx ）在1,2）上是减函数 , 所以 x1,2 时 fx ）max= f1 ）=5, 则m -5. 例 52008年高考天津数学理科试卷第20 题） 已知函数 fx ）=x+a/x+bx0）, 其中 a,br. ）若曲线 y=fx ）在点 p2,f2 ）处地切线方程为y=3x+1,求函数 fx ）地解读式；）讨论函数 fx ）地单调性；）若对于任意地a1/2,2,不等式 fx ）10 在1/4,1上恒成立 , 求 b 地取值范围 . 解：）、）略 . 分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数, 再处理另一个参数 . 以本题
8、为例 , 实质还是通过函数求最值解决. 方法 1：化归最值 , ；方法 2：变量分离 , 或 a-x2+10-b ）x；方法 3：变更主元 ,a 1/2,2. 简解：方法 1：对精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页求导, 得 x=a极小值点） ,x=- a 极大值点） ,故-,- a ）增,- a,0 ）减,0, a ）减, a,+ ）增. 由此可知 ,hx ）在1/4,1上地最大值为 h1/4）与 h1）中地较大者 . 对于任意 a1/2,2,得 b 地取值范围是 b7/4. 例 4 是两个函数间地恒成立问题. 例
9、5 是有关双参数地恒成立问题, 再次让学生懂得解决此类问题地实质是解决函数最值问题和让学生体会转化到利用函数思想求解地重要性. 四、数形结合若把等式或不等式进行合理地变形后, 能非常容易地画出等号或不等号两边函数地图象 ,则可以通过画图直接判断得出结果. 尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷. 例 6 07 安徽理科 3）若对任意 xr, 不等式 |x| ax 恒成立 , 则实数 a 地取值范围是 _. 解读：对 x r, 不等式 |x| ax 恒成立则由一次函数性质及图像知-1 a1, 即-1a1. 上述例子剖析了近几年数学高考中恒成立问题地题型及解法,值得一提地是 , 各种类型各种方法并不是完全孤立地, 虽然方法表现地不同 , 但其实质却都与求函数地最值是等价地, 这也正体现了数学中地“统一美” .不等式恒成立问题在数学地学习涉及地知识比较广泛 , 在处理上也有许多特殊性 , 也是近年来高考中频频出现地精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页试卷类型 , 希望同学们在日常学习中注意积累. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页