2022年高中数学知识点 2.pdf

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1、知识点大全高中数学必 修2知识点一、直线与 方程（1）直线的倾斜角定义：x轴正向 与直线向 上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。 特别地， 当直线与x轴平行或重合时,我们规 定它的倾 斜角为0度。 因此，倾 斜角的取 值范围是0 180 （2）直线的斜率定义：倾斜角不 是90 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条 直线的斜 率。直线 的斜率常 用k表示。即tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当90,0时，0k。 当180,90时，0k； 当90时，k不存在。过两 点的直线 的斜率公式 ：注意下面四点：(1)当21xx时 ，公式右 边无意义 ，直线的 斜率不存在，倾斜角为90；(2)k 与P1、P

2、2的顺序无关；(3)以 后求斜率可不通过倾斜角而 由直线上两 点的坐标直接求得；(4)求 直线的倾斜角可由直线上两 点的坐标先 求斜率得 到。（3）直线方程点斜式：)(11xxkyy直线斜 率k，且 过点11,yx注意： 当直线的 斜率为0时，k=0 ，直线的方程是y=y1。 当直线的斜 率为90时 ，直线的 斜率不存在，它的方 程不能用点斜式表 示但因l 上每一点的横坐标都等于x1，所以它 的方程是x=x1。斜截式：bkxy，直线斜率为k，直线在y轴上的截 距为b 两点式：（1212,xxyy）直线两点11, yx，22,yx截矩式：其中直 线l与x轴交 于点( ,0)a,与y轴交于点(0,

3、 ) b,即l与x轴、y轴的截距分别为, a b。一般式：0CByAx（A ，B不 全为0）注意： 1各式的适用范围2特殊的方程如：平行于x轴的直线：by（b为常数） ；平行于y轴的直线：ax（a为常数） ；（4）直线系方程：即具 有某一共同性质的直 线（一 ）平行直线 系平行于 已知直线0000CyBxA（00, BA是不全为0的常 数）的直 线系：000CyBxA（C为常数）（二 ）过定点的 直线系（ ）斜率为k的直线 系：00 xxkyy，直线过定点00,yx；（）过 两 条 直 线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl的 交 点 的 直 线 系 方 程 为0222111Cy

4、BxACyBxA（为参数） ，其 中直线2l不在 直线系中 。（5）两直线平行与垂直当111:bxkyl，222:bxkyl时，212121,/bbkkll；12121kkll注意：利 用斜率判 断直线的 平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（6）两条直线的交点0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl相交交点坐标 即方程组 的一组解 。方程组无解21/ ll；方程组有无数解1l与2l重合（7）两点间距离公式： 设1122( ,),A x yB x y，（）是平面直 角坐标系 中的两个 点，则222121|()()ABxxyy（8）点到直线距 离公式： 一点00,yxP到直线0:1CBy

5、Axl的距离（9）两平行直线距离公 式：在任一直线上任 取一点，再转化为点 到直线的距离进行 求解。)(211212xxxxyyk00222111CyBxACyBxA2200BACByAxd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页知识点大全二、圆的方 程1、圆的 定义：平面 内到一定点的距离等于定长的点的集合 叫圆，定 点为圆心，定长为 圆的半径。2、圆的 方程（1） 标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为r；（2）一般方程022FEyDxyx当0422FED时，方 程表示圆 ，此时圆 心为，半 径为当0422FED

6、时， 表示一个点 ； 当0422FED时， 方程不表示任何图形。（3） 求圆方程的 方法：一般都 采用待定系数法： 先设后求。确定一个圆需要三个独立条件 ，若利用 圆的标准方程，需 求出a， b， r；若 利用一般 方程，需 要求出D ，E， F；另外要 注意多利 用圆的几 何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此 来确定圆 心的位置 。3、直线 与圆的位置 关系：直线 与圆的位置关系有相离，相切，相交三种 情况，基 本上由下 列两种方 法判断：（1）设直线0:CByAxl，圆圆心baC,到l 的距离为则有相离与Clrd（ 2） 设直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，先将 方程联立消 元

7、，得到一个一元 二次方程之后，令其中的判别式为，则有相离与Cl0；相切与Cl0；相交与Cl0注： 如圆心的 位置 在 原点， 可 使用公 式200ryyxx去解直 线与 圆 相切的问 题， 其 中表示 切点坐 标， r 表示半径 。(3)过圆上一点 的切线方 程：圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0， y0)，则过此点的切线方程为200ryyxx(课本命题)圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上 一点为(x0，y0)，则过此点的切 线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 ( 课本命题的推广 ) 4、圆与 圆的位置关 系：通过 两圆半径 的和（差） ，与圆心距（d）之间

8、的大小比较来确定 。设圆221211:rbyaxC，222222:RbyaxC两圆 的位置关系常通过两圆半径的 和（差） ，与圆心距（d）之间 的大小比 较来确定 。当rRd时两圆外离，此时有公切 线四条；当rRd时两圆外切，连心线过切 点，有外 公切线两 条，内公 切线一条 ；当rRdrR时两 圆相交，连心线垂 直平分公共弦，有两 条外公切线；当rRd时，两圆内切，连心线经 过切点， 只有一条 公切线；当rRd时，两圆内含；当0d时 ，为同心圆。三、立体几 何初步1、柱、锥、 台、球的 结构特征（1） 棱柱：定义 ： 有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 且每相邻 两个四边 形的公共边都互

9、相平 行，由这些面所围成的几何体。2,2EDFEDr4212222BACBbAad222:rbyaxC相切与 Clrd相交与Clrd00, yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页知识点大全分类 ：以底面 多边形的 边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱 、五棱柱 等。表示 ：用各顶 点字母， 如五棱柱EDCBAABCDE或 用对角线 的端点字 母，如五 棱柱AD几何特 征：两底 面是对应 边平行的 全等多边 形；侧面 、对角 面都是平 行四边形 ；侧棱平 行且相等 ；平行于 底面的截 面是与底面 全等的 多边形。（2）

10、 棱锥定义： 有一个面 是多边形 ，其余各面都是有一个公共顶点的三角形 ，由这些 面所围成 的几何体分类： 以底面多 边形的边 数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、 五棱锥等表示： 用各顶点 字母，如 五棱锥EDCBAP几何特 征：侧面 、对角面 都是三角 形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于 顶点到截 面距离与 高的比的 平方。（ 3） 棱台：定义： 用一个平 行于棱锥 底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的 部分分类： 以底面多 边形的边 数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、 五棱台等表示： 用各顶点 字母，如 五棱台EDCBAP几何特 征：上 下底面是 相似的平行多边形 侧面是 梯

11、形侧棱交于原 棱锥的顶点（ 4） 圆柱：定义： 以矩形的 一边所在 的直线为轴旋转,其余三边 旋转所成 的曲面所 围成的几 何体几何特 征：底 面是全等 的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的 半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（ 5） 圆锥：定义： 以直角三 角形的一 条直角边为旋转轴,旋转一 周所成的 曲面所围 成的几何 体几何特 征：底 面是一个 圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开 图是一个扇形。（ 6） 圆台：定义： 用一个平 行于圆锥 底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的 部分几何特 征：上 下底面是 两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点； 侧面展开图是一个弓形。（ 7） 球体：定义： 以半圆的

12、直径所在 直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几 何体几何特 征：球 的截面是 圆；球面上任意一点到球心的距离等于 半径。2、空间几何体的三视图定义 三视图：正 视图（光线从几何 体的前面向 后面正投 影） ；侧视图（从左向右） 、 俯视图（从上向下）注： 正视图反映了物体上下、左右的位置关系 ，即反映 了物体的 高度和长 度；俯视图反映了物体 左右、前后的位置关 系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映 了物体上 下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度 。3、空间几 何体的直观图斜 二测画法斜二 测画法特点 ：原来 与x轴平 行的线段仍然与x平行且长度不变；原来与y轴平行的线段仍 然与y

13、平 行，长度 为原来的 一半。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页知识点大全4、柱体 、锥体、台 体的表面 积与体积（1） 几何体的表 面积为几 何体各个面 的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为 高，为斜高，l为母线 ）（3） 柱体、锥体 、台体的 体积公式（4）球体的表面积和体积公式：V = ； S =24 R5、空间 点、直线、 平面的位 置关系（1） 平面平面的概念： A.描述性说明； B.平面 是无限伸展的；平面的表示：通常 用希腊字母、表示，如平面（通常写在一个锐角内） ；也可以 用两个

14、相对 顶点的字 母来表示，如平面BC 。点与平面的关系： 点A在平 面内，记作A；点A不在平面内，记作A点与直线的关系：点A的直线l 上，记 作：A l；点A在直线l 外，记作Al ；直线与平面的关系：直线l 在平面内 ，记作l ；直 线l 不在平面内， 记作l 。（2） 公理1： 如果一 条直线的 两点 在 一个平面 内， 那 么这条直 线 是所 有的点都 在这个平 面内。 （ 即 直线在平 面内， 或者平面 经过直线 ）应用：检验桌面是否平；判断直线是否在平 面内。 用符号语 言表示公 理1：,Al Bl ABl（ 3） 公理2：经过不在同一条直线 上的三点 ，有且只 有一个平 面。推论：

15、一 直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一 平面；两 平行直线 确定一平 面。公理2及其推论作用：它是空间内确定 平面的依 据它是 证明平面 重合的依据（4） 公理3： 如果两个不重合的平 面有一个 公共点,那 么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面和相交，交线 是a，记作 a 。 符号语言：,PABABl Pl公理3的作用：它是判定两个平面相交 的方法。它说明两个 平面的交线 与两个平 面公共点 之间的关 系：交线 必过公共点。它可以判断 点在直线上 ，即证若 干个点共 线的重要 依据。（5） 公理4： 平行于同 一条直线的 两条直线 互相平行（6） 空间直线与 直线之间 的位置

16、关系异面直线定义：不同在任何一个平面内的 两条直线异面直线性质：既不平行，又不相交。异面直线判定：过平面外一点与平面内一 点的直线 与平面内 不过该店 的直线是异 面直线异面直线所成角：直线a、b是异面 直线，经 过空间任 意一点O， 分别引直 线a a ，b b，则把直 线a 和b 所 成的锐角 （或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条 异面直线所成角的范围是（0，90 ，若两条异 面直线所成的角是直角，我们就说这两条 异面直线 互相垂直 。说明： （1）判定空间直线是异面直线方法 ：根据 异面直线 的定义； 异面直 线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中，空 间一点O是任取的 ，而和点

17、O的位置 无关。（3）求异面直线所成角步骤：球球面h精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页知识点大全A 、利用定义构造角，可固定一条 ，平移另 一条，或 两条同时 平移到某 个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。B 、证明作出的角即为所求角C 、利用三角形来求角（ 7） 等角定理： 如果一个角的两边和另一个角 的两边分别平行， 那么这两 角相等或 互补。（ 8） 空间直线与 平面之间 的位置关系直线在平 面内 有无数个 公共点三种位 置关系的 符号表示 ：aa A a （ 9） 平面与平面 之间的位 置关系： 平行没有公共

18、点；相交有一条公共直线。 b 6、空间 中的平行问 题（1） 直线与平面 平行的判 定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与 此平面内 一条直线 平行,则该直线与此平面平行。线线平 行线面平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一 个平面平 行，经过 这条直线 的平面和 这个平面相交，那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行（2） 平面与平面 平行的判 定及其性质两个平 面平行的 判定定理 （1）如果一 个平面 内的两条 相交直线 都平行 于 另一 个平面， 那么 这两 个平面平 行（线 面平行 面面 平行 ） ，（ 2） 如 果在两 个平面内， 各有两 组相交 直线对应 平行， 那么这两

19、个平面平 行。 （线线平 行面面 平行） ，（ 3）垂直于同一条 直线的两 个平面平 行，两个平 面平行的 性质定理 （1）如果两个平 面平行， 那么某一 个平面内 的直线与 另一个平面平行。 （面面平 行线面 平行）（2）如果两个平 行平面都 和第三个 平面相交 ，那么它 们的交线平行。 （面面平 行线线平行）7、空间 中的垂直问 题（1） 线线、面面 、线面垂 直的定义两条 异面直线 的垂直： 如果两条异面直线所成的角是直角，就说 这两条异 面直线互 相垂直。线面 垂直：如 果一条直 线和一个平面内的任何一条直线垂直，就 说这条直 线和这个 平面垂直。平面 和平面垂 直：如果 两个平面相交

20、，所成的二面角（从一条直 线出发的两个半平 面所组成的图形）是 直二面角 （平面角是 直角） ，就说这两 个平面垂 直。（2） 垂直关系的 判定和性 质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和 一个平面内 的两条相 交直线都 垂直，那 么这条直 线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同 垂直于一个 平面，那 么这两条 直线平行 。面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经 过另一个平 面的一条 垂线，那 么这两个 平面互相 垂直。性质定理：如果两个平面互 相垂直，那 么在一个 平面内垂 直于他们 的交线的 直线垂直于另一个平面。8、空间 角问题（1） 直线与直线 所成的

21、角两平 行直线所 成的角： 规定为0。两条 相交直线 所成的角 ：两条直线相交其中不大于直角的角，叫 这两条直 线所成的 角。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页知识点大全两条 异面直线 所成的角 ：过空间任 意一点O ，分别作与两条异面直线a，b平行的直 线ba ,，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫 做两条异面直线所 成的角。（2）直线和平面所成的角平面 的平行线 与平面所 成的角：规定为0。平面 的垂线与 平面所成 的角：规定为90。平面 的斜线与 平面所成 的角：平面的一条斜线和它在平面内的

22、射 影所成的 锐角，叫 做这条直 线和这个 平面所成的角。求斜 线与平面 所成角的 思路类似于求异面直线所成角： “一 作，二证 ，三计算 ” 。在“ 作角”时 依定义关 键作射影，由射影定义知关键在于斜线上 一点到面 的垂线，解 题时， 注意 挖掘题 设中两 个信息： （1）斜线 上一点 到面的垂 线 ； （ 2） 过斜 线 上的一点 或过斜 线的平面 与已知面 垂直， 由 面面垂 直性质 易 得垂线。（3） 二面角和二 面角的平 面角二面 角的定义 ：从一条 直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 二面角， 这条直线 叫做二面角的棱， 这两个半平 面叫做二面角 的面。二面 角的平面 角：以二

23、 面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射 线所成的 角叫二面角 的平面角。直二 面角：平 面角是直 角的二面角 叫直二面角。两相交平面如果 所组成的二面角是 直二面角，那么这两 个平面垂 直；反过 来，如果 两个平面垂直，那么所成的二面角为直二 面角求二 面角的方 法定义 法：在棱 上选择有 关点，过这个点分别在两个面内作垂直于 棱的射线 得到平面 角垂面法：已 知二面角 内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个 面的交线 所成的角 为二面角 的平面角9、空间 直角坐标系（1） 定义：如图 ，,OB C DDABC是单位正 方体.以A为原 点，分别 以OD,

24、O,A,OB的方 向为正方 向，建立三条数轴x轴.y 轴.z 轴。这时建 立了一个 空间直角坐标系Oxyz. 1）O叫做坐标原 点 2）x 轴，y轴 ，z轴叫做坐标 轴. 3）过每两 个坐标轴 的平面叫 做坐标面。（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相 互垂直时 ，可能形 成的位置 。大拇指 指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则 为z轴正向 ，这样也 可以决定 三轴间的 相位置。（3）任意点坐标表示：空间一点M的 坐标可以 用有序实 数组( , , )x y z来表示，有序 实数组( , , )x y z叫做点M在此空 间直角坐标系中的坐标，记作( , , )M x y z（x叫做点M 的横坐标，y 叫做 点M的纵坐标，z叫做点M 的竖坐标）（4）空间两点距离坐标 公式：212212212)()()(zzyyxxd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页