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1、必修四高中数学人教A 版模块综合测试(时间 120 分钟，满分150 分) 一、选择题 (本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分.在每个小题给出的4 个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.下列命题中的真命题是( ) A.三角形的内角必是第一象限或第二象限的角B.角 的终边在 x 轴上时，角的正弦线、正切线分别变成一个点C.终边相同的角必相等D.终边在第二象限的角是钝角解析： 三角形的内角可以等于90 ，而 90 的角既不属于第一象限也不属于第二象限，A 错；由正弦线、正切线的定义可知B 正确；终边相同的角可以相差360 的整数倍， C 错；终边在第二象限且小于180 的角才是钝角，
2、D 错. 答案： B 2.若 、的终边关于y 轴对称，则下列等式正确的是( ) A.sin =sin B.cos =cos C.tan =tan D.cot =cot 解析： 因为 、的终边关于y 轴对称，所以=2k+-,k Z，sin =sin(2k +- )=sin.答案： A 3.集合 A= | =6k,kZ,B= | =3n+6,nZ的关系是 ( ) A.AB B.AB C.AB D.A=B 解析： B=| =3n+6，nZ可以转化为B= | =6) 12( n,nZ，由此可知AB，B 正确 . 答案： B 4.已知向量a=(3,2),b=(x,4) ，且 a b,则 x 的值为 (
3、) A.6 B.-6 C.38D.38解析： 因为 ab，所以 3 4-2 x=0，从而 x=6. 答案： A 5.已知向量1OP、2OP、3OP满足条件321OPOPOP=0,|1OP|=|2OP|=|3OP|=1,则P1P2P3的形状是 ( ) A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.不能确定解析： 由321OPOPOP=0,得321OPOPOP. |21OPOP|=|3OP|=|3OP|. (21OPOP)2=23OP, 即232121212OPOPOPOPOP. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页由23
4、2221OPOPOP=1,得1OP3OP=-21. 同理 ,可得2OP3OP=1OP3OP=21. 又1221OPOPPP， |21PP|2=1222OPOP211OPOP=1+1+1=3. 同理 ,|31PP|=3,|21PP|=3, |21PP|=|32PP|=|13PP|=3. P1P2P3是正三角形 . 答案： C 6.(2006 高考湖北卷，理1)已知向量a=(3,1),b 是不平行于x 轴的单位向量,且 a b=3,则b 等于 ( ) A.(23,21) B.(21,23) C.(41,433) D.(1,0) 解析： b 为单位向量 ,设 b=(cos,sin ).a b=3,(
5、3,1) (cos ,sin )=3cos+sin =3. sin( +3)=sin3.+3=3或 +3= -3. =0 或 =3. 当 =0时,b=(1,0),bx 轴,不合题意舍去. 当 =3时,b=(21,23). 答案： B 7.已知 |a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为60 ，c=2a+3b,d=ka-b(kR)，且 cd， 那么 k 的值为 ( ) A.-6 B.6 C.514D.514解析： a b=1 2 cos60 =1, cd，c d=(2a+3b) (ka-b)=2ka2-2a b+3ka b-3b2=2k-2+3k-12=0. k=514. 答案： D 8.(2
6、006 高考安徽卷，理6)将函数 y=sin x( 0)的图象按向量a=(-6,0)平移，平移后的图象如图 1 所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页图 1 A.y=sin(x+6) B.y=sin(x-6) C.y=sin(2x+3) D.y=sin(2x-3) 解析： 将函数 y=sin x( 0)的图象按向量a=(-6,0)平移，平移后的图象所对应的解析式为y=sin (x+6).由图象知， (127+6)=23，所以 =2 ，因此选 C. 答案： C 9.已知 |p
7、|=22,|q|=3,p、 q 的夹角为4， 如图 2， 若AB=5p+2q,AC=p-3q,D 为 BC 的中点，则|AD|为 ( ) 图 2 A.215B.215C.7 D.18 解析：AD=21(ABAC)=21(5p+2q+p-3q)=21(6p-q)，|AD|=2| AD=212)6(qp=21221236qqpp=212234cos32212)22(36=215. 答案： A 10.要得到函数y=sin(2x-3)的图象，只要将函数y=sin2x 的图象 ( ) A.向左平行移动3个单位B.向左平行移动6个单位C.向右平行移动3个单位D.向右平行移动6个单位解析： 由 y=sin2
8、x 到 y=sin(2x-3)关键是看x 的变化，即由x 到 x-6，所以需向右平行移动6个单位 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页答案： D 11.如果 |cos |=51,25 3, 那么 sin2的值等于 ( ) A.510B.510C.515D.515解析： 由25 3, 可知 cos 0,则|cos |=-cos=51,cos = -51. 又45223,则 sin20.于是 sin2=5152cos1. 答案： C 12.函数 y=Asin( x+ )(A0, 0)的部分图象如图3所示， 则 f(1)
9、+f(2)+f(3)+ +f(11) 的值等于( ) 图 3 A.2 B.22C.222D.222解析： 由图象可知，f(x)=2sin4x 的周期为8，f(1)+f(2)+f(3)+f(11)=f(1)+f(2)+f(3) =2sin4+2sin2+2sin43=2+22. 答案： C 二、填空题 (本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分.把正确答案填在横线上) 13.已知 tanx=6，那么21sin2x+31cos2x=_. 解析：111551363136211tan31tan21cossincos31sin21222222xxxxx. 答案：1115514.已知AB=2e1+ke
10、2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2，若 A、B、D 三点共线，则k=_. 解析： 若 A、B、D 三点共线，则ABBD，设AB=BD. CBCDBD=e1-4e2，2e1+ke2=( e1-4e2)= e1-4 e2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页.4,2kk=-8. 答案： -8 15.若|a+b|=|a-b|，则 a 与 b 的夹角为 _. 解法一： 可考虑夹角公式. |a+b|=|a-b|,(a+b)2=(a-b)2. 整理得 a b=0,ab. a 与 b 的夹角为90 . 解法二： 考虑平行四
11、边形模型. 在平行四边形OABC 中，OA=a,OC=b. 则OB=a+b,CA=a-b. |a+b|=|a-b|，即 |OB|=|AC|, 平行四边形OABC 为矩形 . a 与 b 的夹角为 90 . 答案： 9016.给出下列五个命题：函数 y=tanx 的图象关于点 (k +2,0)(kZ)对称；函数 f(x)=sin|x| 是最小正周期为的周期函数；设 为第二象限的角，则tan2cos2，且 sin2cos2；函数 y=cos2x+sinx 的最小值为 -1. 其中正确的命题是_. 解析： 由正切曲线，知点(k ,0),(k+2,0)是正切函数的对称中心，对. f(x)=sin|x|
12、 不是周期函数，错. (2k +2,2k + ),kZ，2(k +4,k +2). 当 k=2n+1,k Z 时， sin2cos2. 错 . y=1-sin2x+sinx=-(sinx21)2+45，当 sinx=-1 时， ymin=1-(-1)2+(-1)=-1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页对 . 答案： 三、解答题 (本大题共6 小题，共74 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12 分)已知 cos =31，且 -2 0，求tan)cos()2sin()cot(的值 .
13、 解： cos=31，且 -2 0， sin = -322,cot =42. 原式 =sinsincottan)cos(sin)cot(=-cot=42. 18.(本小题满分12 分)已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-(3+m). (1)若点 A、B、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件；(2)若 ABC 为直角三角形，且A 为直角，求实数m 的值 . 解： (1)已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-(3+m) ，若点 A、B、C 能构成三角形，则这三点不共线. AB=(3,1)，OC=(5-m,-(3+m), 3(1-m)2
14、-m. 实数 m 21时满足条件 . (若根据点A、 B、C 能构成三角形，则必须|AB|+|BC| |CA|) (2)若ABC 为直角三角形，且A 为直角，则ABAC，3(2-m)+(1-m)=0 ，解得 m=47. 19.(本小题满分12 分)已知 f(x)=sin(2x+6)+sin(2x-6)+2cos2x+a，当 x-4,4时， f(x)的最小值为 -3，求 a的值 . 解： f(x)=sin(2x+6)+sin(2x-6)+2cos2x+a =3sin2x+cos2x+1+a=2sin(2x+6)+1+a，x -4,4,-3 2x+632. f(x) 在 -4,4上的最小值为2(-
15、23)+1+a=1-3+a. 由题意知1-3+a=-3， a=3-4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页20.(本小题满分14 分)已知函数y=21cos2x+23sinxcosx+1,xR. (1)求它的振幅、周期和初相；(2)用五点法作出它的简图；(3)该函数的图象是由y=sinx(x R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的？解： y=21cos2x+23sinxcosx+1=41cos2x+23sin2x+45=21sin(2x+6)+45. (1)y=21cos2x+23sinxcosx+1 的振幅为A=
16、21，周期为T=22= ，初相为=6. (2)令 x1=2x+6，则 y=21sin(2x+6)+45=21sinx1+45，列出下表，并描出如下图象：x126125321211x102322y=sinx1010-10y=21sin(2x+6)+454547454345(3)解法一： 将函数图象依次作如下变换：函数 y=sinx 的图象个单位向左平移6函数 y=sin(x+6)的图象)(21纵坐标不变的各点横坐标缩短到原来函数 y=sin(2x+6)的图象)(21横坐标不变的各点纵坐标缩短到原来函数 y=21sin(2x+6)的图象个单位向上平移45函数 y=21sin(2x+6)+45的图象
17、 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页即得函数y=21cos2x+23sinxcosx+1 的图象 . 解法二： 函数 y=sinx 的图象)(21纵坐标不变的各点横坐标缩短到原来函数 y=sin2x 的图象个单位向左平移12函数 y=sin(2x+6)的图象个单位向上平移25函数 y=sin(2x+6)+25的图象)(21横坐标不变的各点纵坐标缩短到原来函数 y=21sin(2x+6)+45的图象 . 即得函数y=21cos2x+23sinxcosx+1 的图象 . 21.(本小题满分12 分)已知点 A、 B、
18、 C 的坐标分别为A(3,0) 、 B(0,3) 、 C(cos ,sin ), (2,23). (1)若|AC|=|BC|，求角 的值；(2)若ACBC=-1，求tan12sinsin22的值 . 解： (1)AC=(cos -3,sin )，BC=(cos,sin -3), |AC|=cos610sin)3(cos22, |BC|=sin610)3(sincos22. 由|AC|=|BC|得 sin =cos.又 (2,23)， =45. (2)由ACBC=-1 得(cos -3)cos +sin (sin -3)=-1.sin +cos =32. 又cossin1)cos(sinsin2
19、tan12sinsin22=2sin cos .由式两边平方得1+2sin cos=94, 2sin cos=95. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页95tan12sinsin22. 22.(本小题满分12 分)(2006 高考湖北卷， 理 16)设函数 f(x)= a (b+c)， 其中向量 a=(sinx,-cosx) ，b=(sinx,-3cosx) ，c=(-cosx,sinx),x R. (1)求函数 f(x) 的最大值和最小正周期；(2)将函数 y=f(x) 的图象按向量d 平移，使平移后得到的图象关于
20、坐标原点成中心对称，求长度最小的d. 解： (1)由题意得f(x)= a (b+c)=(sinx,-cosx)(sinx-cosx,sinx-3cosx) =sin2x-2sinxcosx+3cos2x=2+cos2x-sin2x=22sin(2x+43). 故 f(x) 的最大值为22，最小正周期是22=.(2)由 sin(2x+43)=0 得 2x+43=k ，即 x=2k-83,k Z. 于是 d=(83-2k,-2),|d|=(4)832(2k(kZ). 因为 k 为正数，要使|d|最小，则只要k=1,此时 d=(-8,-2)即为所求 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页