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1、高中数学学业水平测试知识点必修一一、集合与函数概念并集：由集合 A 和集合 B 的元素合并在一起组成的集合，如果遇到重复的只取一次。记作： AB 交集：由集合 A 和集合 B 的公共元素所组成的集合，如果遇到重复的只取一次记作： AB 补集：就是作差。1、集合naaa,.,21的子集个数共有2n个；真子集有2n1 个；非空子集有2n1 个；非空的真子有2n2 个. 2、求)(xfy的反函数 ：解出)(1yfx，yx,互换，写出)(1xfy的定义域；函数图象关于 y=x 对称。3、 （1）函数定义域：分母不为0；开偶次方被开方数0；指数的真数属于 R 、对数的真数0.4、函数的单调性：如果对于定
2、义域I 内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)（）f(x2) ，那么就说f(x) 在区间 D上是增（减）函数，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。5、奇函数：是()( )fxf x-= -，函数图象关于原点对称（若0 x在其定义域内，则(0)0f） ；偶函数： 是()( )fxf x-=，函数图象关于y 轴对称。6、指数幂的含义及其运算性质：（ 1）函数)10(aaayx且叫做指数函数。（ 2）指数函数(0,1)xyaaa当01a为减函数，当1a为增函数；rsrsaaa；()rsrsaa；()(0,0, ,)rrraba babr
3、 sQ。（ 3）指数函数的图象和性质xay0 a 1 图象性质定义域R 值域(0 , +) 定点过定点（ 0，1） ，即 x = 0 时， y = 1 （1） a 1，当 x 0 时， y 1；当 x 0 时， 0 y 1。（2） 0 a 0 时， 0 y 1；当 x 1。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 26 页单调性在 R 上是减函数在 R 上是增函数对称性xya和xya关于 y 轴对称奇偶性非奇非偶函数7、对数函数的含义及其运算性质：（1）函数log(0,1)ayx aa叫对数函数。（2）对数函数log(0,1)ay
4、x aa当01a为减函数，当1a为增函数；负数和零没有对数；1 的对数等于0 ：01loga；底真相同的对数等于1：1logaa，（3）对数的运算性质：如果a 0 , a 1 , M 0 , N 0 ，那么：NMMNaaalogloglog；NMNMaaalogloglog；)(loglogRnMnMana。（4）换底公式：)0, 10, 10(logloglogbccaaabbcca且且(5) 对数函数的图象和性质：xyalog0 a 1 图象定义域(0 , +)值域R性质（1）过定点（ 1，0） ，即 x = 1 时， y = 0 （2）在 R 上是减函数（2）在 R 上是增函数（3）同正
5、异负，即0 a 1 , 0 x 1 , x 1 时， log a x 0；0 a 1 或 a 1 , 0 x 1 时， log a x 0 ，0，x)0，）表示一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间2T，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数21Tf，它叫做振动的频率；x叫做相位，叫做初相（即当x0 时的相位）。二、平面向量1、 平面向量的概念：1在平面内，具有大小和方向的量称为平面向量2向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向3向量的大小称为向量的模（或长度），记作4模（
6、或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a6方向相同且模相等的向量称为相等向量2、实数与向量的积的运算律：设、为实数，那么(1) 结合律： ( a)=( )a;(2) 第一分配律： ( + )a = a+a;yxyxsinsin()()()|向左或向右平移个单位00纵坐标变为原来的倍横坐标不变AyAxsin()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 26 页(3) 第二分配律：(ba)= a + b. 3、向量的数量积的运算律：(1)ab =ba（交换律）
7、; (2)（a） b = （ab） =ab =a（b） ;(3) （ba） c=ac +bc.4、平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 1、2，使得a = 11e + 22e不共线的向量1e、2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 5、坐标运算 ： （1）设2211,yxbyxa，则2121,yyxxba数与向量的积：1111,yxyxa，数量积：2121yyxxba（2） 、设 A、B 两点的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） ，则1212,yyxxAB.（终点减起点）6、平面两点间的距离公式：（1）,A B
8、d=|ABAB AB222121()()xxyy（2）向量a的模 |a| ：aaa2|22yx；（3） 、 平面向量的数量积：cosbaba， 注意：00a，00 a，0)( aa（4） 、向量2211,yxbyxa的夹角，则，（2211,yxbyxa）7、 重要结论： （ 1） 、 两个向量平行：baba/)(R，ba/01221yxyx（2） 、两个非零向量垂直02121yyxxba（3） 、P分有向线段21PP的：设 P （x，y） ，P1（ x1，y1） ，P2（x2，y2） ，且21PPPP，则定比分点坐标公式中点坐标公式三、空间向量1、空间向量的概念： （空间向量与平面向量相似）1
9、在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量2向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向3向量的大小称为向量的模（或长度），记作4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a6方向相同且模相等的向量称为相等向量2、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算当0时，a与121211xxxyyy121222xxxyyy121222221122cosx xy yxyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 26
10、 页a方向相同； 当0时，a与a方向相反； 当0时，a为零向量， 记为0a的长度是a的长度的倍3、设，为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律分配律：abab；结合律：aa4、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线5、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，0b b，/ab的充要条件是存在实数，使ab6、平行于同一个平面的向量称为共面向量7、向量共面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使xyC；或对空间任一定点，有xyC；或若四点，C共面，则1xyz C xyz8、已知两个
11、非零向量a和b，在空间任取一点，作a，b，则称为向量a，b的夹角，记作,a b两个向量夹角的取值范围是：,0,a b9、对于两个非零向量a和b，若,2a b，则向量a，b互相垂直，记作ab10、已知两个非零向量a和b，则cos,a ba b称为a，b的数量积，记作a b即cos,a ba ba b零向量与任何向量的数量积为011、a b等于a的长度a与b在a的方向上的投影cos,ba b的乘积12、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有1cos,e aa eaa e；20aba b；3a baba ba bab与 同向与 反向，2a aa，aa a；4cos,a ba ba b13、量数乘积的
12、运算律：1a bb a；2aba bab；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 26 页3abca cb c14、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组, ,x y z，使得pxaybzc15、三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是, , ,p pxaybzc x y zR这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，, ,a b c称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底16、设1e，2e，3e为有公共起点的三个两两垂直的单位向量
13、（称它们为单位正交基底），以1e，2e，3e的公共起点为原点，分别以1e，2e，3e的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系xyz则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量p存在有序实数组, ,x y z，使得123pxeyeze把x，y，z称作向量p在单位正交基底1e，2e，3e下的坐标，记作, ,px y z此时，向量p的坐标是点在空间直角坐标系xyz中的坐标, ,x y z17、设111,ax y z，222,bxyz，则1121212,abxxyyzz2121212,abxxyyzz3111,axyz4121212a bx xy yz z5若a
14、、b为非零向量，则12121200aba bx xy yz z6若0b，则121212/,ababxxyyzz7222111aa axyz8121212222222111222cos,x xy yz za ba ba bxyzxyz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 26 页9111,xy z，222,xyz， 则222212121dxxyyzz18、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则/abababR，异面垂直时0ababa b19、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为a，b，则/abab，0aba b
15、20、直线l垂直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量21、法向量的定义：垂直于平面或者垂直于线的向量（方向不管）。22、若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，且a，则/aa0ana n，/aaanan法向量的计算方法一：已知),(),(222111zyxCAzyxBA，,设面平 ABC的一个法向量为),(zyxn，由 n 面 ABC 得所以：CAnBAn,; 所以0BAn0CAn即0111zzyyxx0222zzyyxx上面两个方程，要解三个未知数，为了计算方便，取z（或 x 或 y）等于一个数，可求出另两个未知数，得出平面的一个法向量。方法二：若),(),(222111zyx
16、CAzyxBA，则平面 ABC 的一个法向量为：y1z1z1x1x1y1CABAn( ) y2z2 ，z2x2 ，x2y2=（y1z2-y2z1，z1x2-z2x1，x1y2-x2y1）立体几何中的向量方法- 距离问题一、求点到平面的距离1 （一般）传统方法：利用定义先作出过这个点到平面的垂线段，OP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 26 页再计算这个垂线段的长度；2还可以用等积法求距离；3向量法求点到平面的距离. 在PAORt中，又|sinnAPnAP|nnAPd（其中AP为斜向量，n为法向量）二、直线到平面的距离转化
17、为点到线的距离：|nnAPd（其中AP为斜向量，n为法向量）三、平面到平面的距离也是转化为点到线的距离：|nnAPd（其中AP为斜向量，n为法向量）四、异面直线的距离如图，异面直线也是转化为点到线的距离：|nnAPd（其中AP为两条异面直线上各取一点组成的向量，n是与ba,都垂直的向量）例 1如图，在正方体1111DCBAABCD中，棱长为1，E为11DC的中点，求下列问题：（ 1） 求1B到面BEA1的距离；解：如图，建立空间直角坐标系xyzD，则),1, 1 ,0(),0 ,21, 1(11BAEA，设),(zyxn为面BEA1的法向量则00210011zyyxBAnEAn取1x，得2,2
18、 zy，)2,2 , 1(n选点1B到面BEA1的斜向量为)0, 1 ,0(11BAOPnAdOPnAdlOPnAdAaPbndABCD1A1B1C1DEyzxsin|sinAPdAPd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 26 页得点1B到面BEA1的距离为32|11nnBAd（2）求CD1到面BEA1的距离；)2, 2, 1() 1(:1nBEA的法向量知平面由解)0, 0, 1 (11AD斜向量31|1111nnADdBEAD的距离为到面点(3) 求面DBA1与面11CBD的距离；) 1 , 1 , 1(:11ACnB
19、DA的法向量为由图知平面解)0,0 , 1(11AD又斜向量31|1111nnADdBDAD的距离为到面点33111的距离为与即面CBDBDA(4) 求异面直线BD1与EA1的距离 . xyzD系如图建立空间直角坐标解 :) 1, 1 , 1 (),0 ,21, 1(11BDEABDEAzyxn11,),(是与设都垂直的向量，则xzxyBDnEAn320011，取1x，得一个法向量为)3 ,2, 1(n选11BDEA与的两点向量)0, 0, 1(11AD得11BDEA与的距离为1414|11nnADd练习 1：1 如图在直三棱柱111CBAABC中，1BCAC, 90ACB，21AA， 求点1
20、B到面BCA1的距离 . ABCD1A1B1C1DEyzxABCD1A1B1C1DEyzxABCD1A1B1C1DEyzx111(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1)2DBAE则B1A1C1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 26 页2已知棱长为1 的正方体1111DCBAABCD，求平面11CDA和平面CAB1间的距离3已知棱长为1 的正方体1111DCBAABCD，求直线1DA和AC间的距离。4已知棱长为1 的正方体1111DCBAABCD中，E、F分别是11CB和11DC的中点，求点1A到平面DB
21、EF的距离。ADCB1A1C1B1DADCB1A1C1B1D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 26 页5 如图在直三棱柱111CBAABC中，1CABCAC，21AA， 求点1B到面BCA1的距离 . 6在直三棱柱111ABCA B C中，90A，1,O O G分别为111,BC B CAA的中点，且12ABACAA（） 求1O到面11ACB的距离； （22）（） 求BC到面11GB C的距离 （2 63）立体几何中的向量方法-空间角问题空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角（）求异面直线所成的角设
22、a、b分别为异面直线 a、b 的方向向量 ,则两异精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 26 页面直线所成的角=arccos|a bab（）求线面角设l是斜线 l 的方向向量，n是平面的法向量，则斜线 l 与平面所成的角=arcsin| |l nln（）求二面角法一、在内al，在内bl，其方向如图，则二面角l的平面角=arccos|a bab法二、设12,n n是二面角l的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l的平面角=1212arccos|n nnn例如图，在棱长为的正方体1111ABCDA B
23、 C D中，E、F 分别是棱1111,A DA B的中点（）求异面直线1DEFC与所成的角；（II）求1BC和面 EFBD 所成的角；（III ）求1B到面 EFBD 的距离解： （）记异面直线1DEFC与所成的角为，则等 于 向 量1DEFC与的夹角或其补角，11| |111111cos|()()| |222|,arccos5555DEFCDEFCDDDEFBB CDEFC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 26 页（II）如图建立空间坐标系Dxyz，则(1,0,2)DE，(2,2,0)DB设面EFBD的法向量为( ,
24、,1)nx y由00DEnDB n得( 2,2,1)n又1( 2,0,2)BC记1BC和面 EFBD 所成的角为则1112sin|cos,| |2|BCnBC nBCn1BC和面 EFBD 所成的角为4（III ）点1B到面 EFBD 的距离等于向量1BB在面 EFBD 的法向量上的投影的绝对值，1|BB ndn13例 2如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是正方形，侧棱ABCDPD底面，DCPD，点E是PC的中点，作PBEF交PB于点F. （1）求证：EDBPA平面/；（2）求证：EFDPB平面（3）求二面角DPBC的大小 . EDCPF精选学习资料 - - - - - - - - -
25、名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 26 页练习：在正四面体 SABC中，棱长为a，E,分别为 SA 和 BC 的中点，求异面直线 BE 和 SF所成的角（2arccos3）在边长为的菱形ABCD 中，60ABC，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后 BD，求二面角 BACD 的余弦值（13）典型例题： 1已知正方体ABCD A1B1C1D1中， E 为 C1D1的中点，则异面直线AE 与 BC 所成角的余弦值为。 2在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形， ACB=90，平面， EF，. = . （）若是线段的中点，求证：平面; （）若= ,求二面角 - -的
26、大小 3.如图，在五棱锥P ABCDE 中，PA平面 ABCDE ，AB/CD ，AC/ED ，AE/BC ，42,22,45AEBCABABC，三角形PAB 是等腰三角形。（）求证：平面PCD 平面 PAC；（）求直线PB 与平面 PCD 所成角的大小；（）求四棱锥PACDE 的体积。必修五 ：一、解三角形： （1）三角形的面积公式：AbcBacCabSsin21sin21sin21：（2）正弦定理：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 26 页2()2ababCRcBRbARaRCcBbAasin2sin2,sin2,2
27、sinsinsin，边用角表示：（3） 、余弦定理：)1 (2)(cos2cos2cos22222222222cocCabbaCabbacBaccabAbccba（4）求 角：abcbaCacbcaBbcacbA2cos2cos2cos222222222二. 数列1、数列的前n 项和：nnaaaaS321； 数列前 n 项和与通项的关系：2、等差数列： （1） 、定义 ：等差数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数)(1daann；（2） 、通项公式 ：dnaan)1(1（其中首项是1a，公差是d； ）（3） 、前 n 项和：nSdnnnaaandnan2)1(2)()0(111
28、（d0）（4） 、等差中项：A是a与b的等差中项：或baA2，三个数成等差常设：a-d，a，a+d3、等比数列： （1） 、定义 ：等比数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数)(1qaann（0q） 。（2） 、通项公式：11nnqaa（其中：首项是1a，公比是q）（3） 、前 n 项和：（4） 、等比中项：G是a与b的等比中项： ，即abG2（或abG，等比中项有两个）三：不等式1、重要不等式： （1）,a bR222abab或 (当且仅当ab 时取“ =”号 ) 2、均值不等式： （2）,a bR2abab或111(1)(2)nnnaSnaSSn2abA111,(1)(1), (1)11nnnnaqSaa qaqqqqGbaG222abab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 26 页( 当且仅当ab 时取“ =”号 ) 一正、二定、三相等注意：解指数、对数不等式的方法：同底法，同时对数的真数大于0；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 26 页