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1、多练出技巧巧思出硕果常微分方程期末考试试卷一 填空题（共 30 分，9 小题，10 个空格，每格 3 分） 。1、当_ 时，方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 称为恰当方程，或称全微分方程。2、_ 称为齐次方程。3、求dxdy=f(x,y)满足00)(yx的解等价于求积分方程 _ 的连续解。4、 若函数 f(x,y)在区域 G内连续， 且关于 y满足利普希兹条件，则方程),(yxfdxdy的解 y=),(00yxx作为00,yxx的函数在它的存在范围内是_。5、若)(),.(),(321txtxtx为 n 阶齐线性方程的 n 个解，则它们线性无关的充要条件是_。6、方程组xtAx)(
2、/的_ 称之为xtAx)(/的一个基本解组。7、若)(t是常系数线性方程组Axx/的基解矩阵，则 expAt =_。8、满足 _ 的点（*,yx） ，称为方程组的奇点。9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部_时，零解是稳定的，对应的奇点称为 _ 。二、计算题（共 6 小题，每题 10 分） 。1、求解方程：dxdy=312yxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页多练出技巧巧思出硕果2、解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0 3、讨论方程23dxdy31y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定
3、理的条件，并求通过点（ 0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：texxxtcos32/5、试求方程组Axx/的一个基解矩阵，并计算3421,为其中AeAt6、试讨论方程组cydtdybyaxdtdx,（1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且 ac0。三、证明题（共一题，满分10 分） 。试证：如果Axxt/）是（满足初始条件)(0t的解，那么)(t)(0ttAe答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页多练出技巧巧思出硕果一、填空题。（30分）1、xyxNyyxM),(),(2、)(xyfdxdy3、y=0y +dx
4、yxfxx0),(4、连续的5、w0)(),.,(),(21txtxtxn6、n 个线性无关解7、)0()(1t8、X(x,y)=0,Y(x,y)=0 9、为零稳定中心二、计算题。（60分）1、解： (x-y+1)dx-(x+2y +3)dy=0 xdx-(ydx+xdy)+dx-2y dy-3dy=0 即21d2x-d(xy)+dx-331dy-3dy=0 所以Cyyxxyx33121322、解：2)(1)(2yxyxdxdy，令 z=x+y 则dxdydxdz1,212121zzzzdxdzdxdzzz12所以 z+3ln|z+1|=x+1C ， ln3|1|z=x+z+1C即yxCeyx
5、23)1(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页多练出技巧巧思出硕果3、解： 设 f(x,y)= 2331y ,则)0(2132yyyf故在0y的任何区域上yf存在且连续，因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，显然，0y是通过点（ 0，0）的一个解；又由23dxdy31y 解得， |y|=23)(cx所以，通过点（ 0，0）的一切解为0y及|y|=是常数0),()()(023ccxcxcx4、解： (1)i 21,0322, 12齐次方程的通解为x=)2sin2cos(21tctcet(2)i1不是特征根，
6、故取tetBtAx)sincos(代入方程比较系数得A=415，B=-414于是tettx)sin414cos415(通解为 x=)2sin2cos(21tctcet+tett)sin4cos5(4115、解： det(AE)=05434212所以，5, 121设11对应的特征向量为1v精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页多练出技巧巧思出硕果由0110442211vv可得取211121vv同理取所以，)(t= 251vevetttttteeee552ttttttttttttttttAteeeeeeeeeeeeeeeet
7、e5555551551222231111223121112)0()(6、解： 因为方程组（ 1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件00accba，故奇点为原点（ 0，0）又由 det(A-E)=0)(02accacba得ca21所以，方程组的奇点（ 0，0）可分为以下类型：a，c 为实数不稳定结点，稳定结点奇点为奇结点奇点为退化结点奇点为鞍点（不稳定）不稳定结点稳定结点奇点为结点,0,00,0,0,00,0,0,0,00cacabbcaaccacaacca三、证明题。（10 分）证明： 设)(t的形式为)(t=CeAt（1）（C 为待定的常向量）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页多练出技巧巧思出硕果则由初始条件得)(0t=CeAt0又1)(0Ate=0Ate所以， C=1)(0Ate=0Ate代入（ 1）得)(t=)(00ttAAtAteee即命题得证。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页多练出技巧巧思出硕果精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页