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1、优秀学习资料欢迎下载高一下期末复习五：解三角形一、知识梳理1正弦定理：Aasin=Bbsin=Ccsin=2R（ R 为 ABC 外接圆半径） ，了解正弦定理以下变形：CBAcbaCcBbAaCBAcbaRcCRbBRaACRcBRbARasinsinsinsinsinsinsin:sin:sin:2sin,2sin,2sinsin2,sin2,sin2最常用三角形面积公式：AbcBacCabahSaABCsin21sin21sin21212 正弦定理可解决两类问题：1两角和任意一边，求其它两边和一角；（唯一解）2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（解可能不唯一）了解：已
2、知a, b和 A, 用正弦定理求B 时的各种情况: 若 A 为锐角时 :)(ba),(babsinA)(bsinA asin锐角一解一钝一锐二解直角一解无解Abababababaa已知边 a,b和A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a bCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACBACB1ABACB2CHHH若 A 为直角或钝角时:)(ba锐角一解无解ba3余弦定理：Abccbacos2222bcacbA2cos222Bacacbcos2222cabacB2cos222Cabbaccos2222abcbaC2cos2224余弦定理可以解决的问题：（1）已知三边，求三个角；（解
3、唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角（解可能不唯一）5掌握用解三角形的知识解决测量、航海、几何、物理学等方面的简单应用问题解三角形问题一般解题思想：一般来讲，无论是应用性问题，还是纯数学问题，如果涉及到一个三角形中的边角关系的计算与证明，常应联想到正弦定理和余弦定理。二典型例题例 1.在ABC中，已知3a，2b，45B，求,A C及 c精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页优秀学习资料欢迎下载解： （法一）由正弦定理得：23245sin
4、3sinsinbBaA，4590B，即ba，60A或120，当60A时75C，22645sin75sin2sinsinBCbc，当120A时15C，22645sin15sin2sinsinBCbc（法二）：设cx，由余弦定理Baccabcos2222，将已知条件代入，整理得：0162xx，解之得：226x；当226c时，2)13(231226223)226(22cos2222bcacbA当226c时， cosA=21变式 :在ABC 中，已知54sin A，135cosB，则cosC的值为. 解:)23,22(54sin A，34A或4332A，21135cosB， 23B， 从 而A为 锐
5、角 ， （ 4332A， A+B 应 舍 去 ） ， 于 是1312sin,53cosBA，coscos()CAB(coscossinsin)ABAB3365CcBbAaBbAaABCcoscoscos2coscos12）（）（的形状断、根据所给的条件，判例积，求三边的长和它的面且最大角为，中，已知：在例0120,243bcabaABCa=14,b=10,c=6 S=153例 4：如图，在海岸 A 处发现北偏东45方向， 距 A 处(3 1) 海里的 B 处有一艘走私船在 A 处北偏西 75方向，距A 处 2海 里 的C 处的我方缉私船，奉命以 103海里时的速度追截走私船 ， 此时走私船正以
6、10 海里时的速度，从 B 处向北偏东30方向逃窜问：辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间解：设辑私船应沿CD方向行驶小时，才能最快截获( 在D点) 走私船，角形。为等腰三角形或直角三ABC) 1(为等边三角形ABC)2(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页优秀学习资料欢迎下载则CD103海里，BD10海里BC2AB2AC22ABACcosA（31）2222（31） 2cos120 6, BC6226120sin2sinsinsinsinBCAACABCABCACABCABC45，B点在C点的正东方向
7、上，CBD90 30 120,21310120sin10sinsinsinsinttCDCBDBDBCDCBDCDBCDBDBCD30, DCE90 30 60由CBD120，BCD30得D30BDBC，即 106106 ( 小时 ) 15( 分钟 ) 例 5.（ 05 全国 III ）ABC中，内角A，B，C 的对边分别为, ,a b c，已知, ,a b c成等比数列，且3cos4B。（I）求CAtan1tan1的值；（II ）设32BA BC，求ac的值。解： （I）由3cos4B得7sin4B，由2bac得2sinsinsinBAC于是22coscossin()sin14cotcot7
8、sinsinsinsinsin7ACACBACACBBB。（II ）由32BA BC，得3cos2caB，由3cos4B，得2ca，即22b。又2222cosbacacB。得225ac，222()29acacac，得3ac。三课后作业：1. ,30,ABCabcabcBABC3中、 、 分别为 A、B、C的对边如果 、 、 成等差数列,的面积为2那么b=( )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页优秀学习资料欢迎下载13.2A.13B23.2C.23D答案： B 2.设 A 是 ABC 中的最小角，且11cosaaA，则
9、实数a 的取值范围是（ A ）Aa3 B a 1 C 1a3 D a0 3.飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 得俯角为30，向前飞行10000 米，到达B处，此时测得正前下方目标C的俯角为75，这时飞机与地面目标的水平距离为（132500）A 5000 米B 50002米C4000 米D24000米4.已知 ABC 的三边长6,5,3cba，则 ABC 的面积为（B ）A14B142C15D1525.在 ABC 中， a=x，b=2， B=45.若解此三角形可得两解，则x 的取值范围是 _ 222X6.在ABC 中，若22tantanAaBb，试判断 ABC 的形状 . 解法
10、 1：由正弦定理：BABAAAABBA2sin2sinsinsincosAcosBsinsincossincossin22即：2A = 2B 或 2A = 180 2B即： A= B 或 A + B = 90 ABC 为等腰或直角三角形解法 2：由题设：22222222222222sincoscossinbaRbbcacbacbcaRabaBABA化简： b2(a2 + c2b2) = a2(b2 + c2a2) (a2 b2)(a2 + b2c2)=0 a = b 或 a2 + b2 = c2 ABC 为等腰或直角三角形7. （2）22bA=600 C=750 8.在 ABC 中，10ba，
11、cosC 是方程02322xx的一个根，求ABC 周长的最小值。解：02322xx21, 221xx又Ccos是方程02322xx的一个根21c o s CCAbBcaABCO,45,26,32求，中，已知在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页优秀学习资料欢迎下载由余弦定理可得：abbaabbac2222212则：7551010022aaac当5a时， c 最小且3575c此时3510cbaABC 周长的最小值为35109 在ABC中，已知角B45，D是BC边上一点，AD5，AC7，DC3，求AB解：在ADC中，cos
12、C,14113725372222222DCACADDCAC又 0C180， sinC1435在ABC中，CABBACsinsinAB.265721435sinsinACBC10. 在ABC中，A.B.C的对边分别为a.b.c。若 a,b,c 成等比数列， 求 f(B)=sinB+3cosB 的值域。解析(1) acb2, acca22221222cos222acacacacbcaB当且仅当ca时取等号 , 30Bf(B)=sinB+3cosB=)3sin(2B3233B)(Bf的值域为2,311. 若钝角ABC的三边长为2，6，x，求 x 的取值范围解：当 0 x6时，0464cos2xx即022x20 x当 x6时，06464cos2x即0102x10 x1020 xx或又26102262626xxx或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页