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1、学而不思则惘，思而不学则殆一填空题1.设 A=0001001802025643，则 A=_10_ 2.若 D=22211211aaaa=-5，则 D1=22211211aaaa=_-5_ 3.设 D=121214312，则 D 的元素a23的代数余子式值=_-3_ 4.若行列式 =110110001a 0，则要求a满足条件 _a0_ 5.已知 =（1,2,3） ，=（ 1,1/2,1/3） ，设 A= T，则 A=_0_ 6.设 A 是 n 阶方阵， A* 是 A 的伴随矩阵，则AA*=A* A=_|A|E_ 7.方阵 A 的逆矩阵的行列式值为6，则 |A|=_1/6_ 8.若是 n 阶方阵
2、A 的特征值，则2A-3E 的特征值是 _2-3_ 9.设三阶方阵A 有三个不同特征值，且其中两个特征值分别为2,3，已知 |A|=48，则 A 的第三个特征值为_8_ 10.若 4 阶方阵 A 与对角阵diag（2,2,1,4）相似，则A 的特征值为 _ 11.掷两枚骰子，则出现点数之和等于3 的概率 =_1/18_ 12.已知 P（A）=0.5， P（B）=0.6， P（B/A ）=0.8，则 P（AUB ）=_0.7_ 13.设随机变量（X，Y）的分布律为1 2 1 1/6 1/3 2 1/9 a 3 1/18 b 则 a，b 应满足条件是 _ 14.设随机变量XB （n，p） ，则 E
3、（X）=_np_ 15.若随机变量XN(, 2)，则 E（X） =_ 16.设 XP( ),则 E（X）=_， D（ X）=_ 17.设 XN(, 2)，且 z=（x- ）/，则 Z_ 18.设随机变量X1，X2， Xn相互独立，且XiN（0,1） ， （i=1,2, ,n） ， 则 X2=X1 2+X22+ Xn2服从 _分布二.选择题1.设 n 阶方阵 A，B，C 满足 ABC=E ，E 为 n 阶单位矩阵，则（c ）A. | A|=1 B. | AB|=1 C. | BA|=1/|C| D. | A|=|B| 2.设 A 为 n 阶方阵，则下列方阵中，为对称矩阵的是（D ）A.A-ATB
4、.CACTC.AATD.( A AT)B,B 为 n 阶方阵3.设 A，B 是两个 n 阶方阵，则下列结论中正确的是（D ）A.（AB ）k=AkBk B. | -A|=|A| C.(BA)T=BTAT D.E2-A2=(E-A)(E+A) 4.设 n 阶方阵 A，B，C 满足 ABC=E ，则（ B ）X Y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆AACB=E B.BCA=E C.CBA=E D.BAC=E 5.设线性方程组A55X51=b 有唯一解，则必有（C ）A.R(A)=1 B. R
5、(A)=2 C. R(A)=5 D. R(A)=4 6.方程组 A X=0 仅有零解的充分必要条件是（B ）A. A 的行向量组线性无关B. A 的列向量组线性无关C. A 的行向量组线性相关D. A 的列向量组线性相关7.设三维列向量 1，2，3线性无关， A= （1，2，3） ，则 A 是（ D ）A.奇异矩阵B.对称矩阵C.正交矩阵D.可逆矩阵8.若 n 阶方阵 A 与 B 相似，则（A ）A.R(A)= R(B) B.R(A) R(B) C.R(A)R(B) 9.以 A 表示事件 ” 甲种产品畅销 ,乙种产品滞销” ，则其对立事件A为( D ) A. ” 甲种产品滞销，乙种产品畅销”B
6、.” 甲乙两种产品均畅销”C.” 甲种产品滞销 ”D.” 甲种产品滞销或乙种产品畅销”10.设 A，B 为两个事件，且BA,则下列结论中正确的是（A）A.P(A B)=P(A) B.P(AB)=P(A) C.P(B/A)=P(B) D.P(B-A)=P(B)-P(A) 11.设 P(A)=a ，P(B)=b，P(AB)=C ，则 P(AB)为（）A. a-b B. c-a C. a（ 1-b）D.b-a 12.袋中有 5 个球（ 3 个新球， 2个旧球），每次取一个，不放回的取三次，则第三次取到新球的概率为（）A.3/10 B.3/4 C.1/2 D.3/5 13.设 A，B 为两个互斥事件，
7、且P(A)0 ，P(B)0，则下列结论中正确的是（D ）A.P(B/A)0 B.P(A/B)=P(A) C.P(A/B)=0 D.P(AB)=P(A)P(B) 14. 设 A，B 为两个事件，则下列命题中正确的是（A ）A.若 A 与 B 独立，则A 与 B 互斥B.若 A 与 B 互斥，则A 与 B 独立C.若 A 与 B 互逆，则A 与 B 独立D.若 A 与 B 独立，则A 与B独立15.已知随机变量X 的分布律为( A ) X -2 -1 0 1 2 Pk1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 则 PX20 C. E(X) 0 D.D(X)E(X) 17.若随机变量X 与 Y 独立，且
8、 X 服从 N(1,6) ，Y 服从 N(1,2) ，则 Z= X-Y 服从（B ）A.N （0，4）B.N(0,4) C.N(0,8) D.（ 0,8）18.设 X1，X2， Xn 是总体 X 的样本，则11nni 1（Xi - X）2 是（C ）A样本矩B. 二阶原点矩C. 二阶中心距D. 统计量19.设X1， X2， Xn 是取自总体XN （ ， 2）的样本，则X=n1ni 1Xi服从分布（ A ）A.N （，2/n）B. N(，2) C. N(0，1 ) D. N （n，n2）20.设随机变量X 和 Y 都服从标准正态分布，则（A ）A. X+Y 服从正态分布B. X2+Y2服从 X2
9、分布C. X2和 Y2都服从 X2分布D.X2/Y2服从 F分布 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆21.设（ X1， X2， Xn）及（ Y1， Ym）分别来自两个独立的正态总体N( ，2) 的两个样本，其样本（无偏）方差分别为S12及 S22，则统计量F= S12/ S22服从 F 分布的自由度为（ C ）A. (n-1,m-1) B.(n,m) C.(n+1,m+1) D.（m-1， n-1）三计算题：1. 设 A=1111，求 An解：A2=A?A=11111111= 2111
10、1 =2A A3=A?A?A=2?A?A=22A A4=23A 则综上可得 An=2n-1?A=2n-111112. 若 n 阶方阵满足 A2=A，求（ A+E ）-1 解：A2=A，则 A2-A=0，则 A2+A-2A=0 A2+A-2A-2E=-2E A(A+E)-2(A+E)=-2E (A-2E)(A+E)=-2E -21(A-2E)(A+E)=E (A+E)-1=-21(A-2E) 3. 已知 A=201020102 , 求矩阵（ A-E）-1解：A-E=201020102-100010001=101010101E-A=20, 即 A-E 可逆，又（ A-E）-1=E-A1?*E)-(
11、A (A-E)-1=E-A*E)-(A=21101020101=21021010210214. 求二阶矩阵 A=badc的逆阵解： A =ad-bc, A 的余子式 M11=d M12=b M21=c M22=a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆A*=1211MM2221MM=bdacA-1=A1? A*=bcad 1bdac5. 求解齐次线性方程组0340222022432143214321XXXXXXXXXXXX解：对系数矩阵 A施行初等行变换为行最简行矩阵 A=3411221212
12、2112132rrrr4630463012212323/rrr0000342101221212rr00003421035201即得与原方程组同解的方程组03420352432431XXXXXX由此得432431342352XXXXXX（X3,X4为任意值），令 X3=C1,X4=C2把它写成通常的参数形式2413212211342352CXCXCCXCCX,其中 C1、C2为任意实数或写成向量形式4321XXXX=212121342352CCCCCC=C10122+C21034356. 求解齐次线性方程组02220202432143214321XXXXXXXXXXXX解：对系数矩阵 A施行初等
13、行变换变为行最简形矩阵 A=212211121211121322rrrr4300131012112132rrrr430030100101精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆即得与原方程组同解的方程组043030434231XXXXXX，由此得434231343XXXXXX, 令 X4=C得4321XXXX=C1343347. 求解非齐次线性方程组0895443313432143214321XXXXXXXXXXXX解：对增广矩阵 B施行初等行变换 B=08951443131131112133r
14、rrr1764017640113112324/rrr00000414723101131121rr000004147231045432301即得414723454323432431XXXXXX, 令 X3=C1,X4=C2得2413212211414723454323CXCXCCXCCX亦即4321XXXX=C1012323+C2104743+004145(C1,C2R) 8. 求非齐次12222412432143214321XXXXXXXXXXXX解：对增广矩阵 B施行初等行变换 B=11112212241111212132rrrr02000010001111221232rrrr0000001
15、00010112精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆即得0124321XXXX令 X2=C1,X3=C2 得021212142312211XCXCXCCX亦得4321XXXX=C100121+C201021+00021 (C1,C2R) 9. 设某动物由出生算起，活到20 岁的概率为 0.7 ，活到 25 岁的概率为 0.56 ，求现年龄为 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率。解：设活到 20 岁事件 P(A)=0.7, 活到 25 岁事件 P(B)=0.56 P(B/A)=)()(AP
16、ABP=7.056.0=0.8 10. 某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂的0.25 、0.35 、0.40 ，各车间产品的次品率分别为0.08 、0.05 、0.04 ，求全厂产品的次品率。解：P=0.250.08+0.35 0.05+0.40 0.04=0.0535 11. 已知随机变量的分布率-2 -210 2 4 PK8141816131求随机变量（ 1）+2， （2）2的分布率（概率第二节）解： （1）+2 0 232 4 6 PK8141816131（2）20 414 16 PK81412473112. 今有 5 件产品，其中 2 件是次品， 3 件
17、是正品，从 5 件中一次取出 2 件，每次取一件，取出一件后再放回去，用 X,Y 分别表示每次取得的次品件数，求（X,Y）的分布率。解：Y X 0 1 0 2592561 256254精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆13. 设二维随机变量（ X,Y）只能取下列各值：（0，0） ， （-1 ，0） ， （-1，31） ， （2，0）且取这些值概率依次是61、31、121、125，求（ X,Y）的分布律，关于X和关于 Y的边缘分布律。解：Y X 0 -1 2 0 61125311211 31
18、0 -1 2 PK61125125Y 0 311 PK1271213114. 若（X,Y）的概率密度为 f(x,y)=其它010, 102yxcxy求 c 解：F(x,y)=0101f(x,y)dxdy =0101cxy2dxdy=01x2cy2/201dy=012cy2dy=6cy301=6c又F（x,y ）=1,则6c=1，c=6 15. 设随机变量（ X,Y）的分布律为Y X -1 0 1 -1 8181810 810 811 818181求（X,Y）关于 X和 Y的边缘分布律。解： （1）-1 0 1 PK838283精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
19、- - - - - -第 7 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆（2）Y -1 0 1 PK83828316. 设（X,Y）分布律为Y X 1 2 0 41611 3141求（1） （X,Y）关于 X和关于 Y 的边缘分布律（ 2）2X+Y的分布律解：1 2 PK127125Y 0 1 PK1251272X+Y 2 3 4 5 PK41316141四证明题1. 设 A为 n 阶方阵，且 A 0, 证明*A= An-1证明： A?A*= A ?E,*AA=EA, A ?*A= An, A 0 *A= An-12. 若 n 阶方阵 A满足 A2=A，证明：矩阵 A+E可逆。证明： A2=A
20、 则 A2-A=0 A2+A-2A=0 A2+A-2A-2E=-2E A(A+E)-2(A+E)=-2E (A-2E)(A+2E)=-2E -21(A-2E)(A+E)=E A+E可逆。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆3已知 A=301030103，求矩阵 A-2E可逆。证明： A-2E=301030103-2100010001=101010101EA2=101010101=20 A-2E可逆。4. 设 A与 B都是 n 阶正交阵，证明 AB也是正交阵。证明： A,B 都是正交阵，则 A
21、TA=E,BTB=E,又（ AB ）T=BTA (AB)T(AB)=BTATAB=BT(ATA)B=BTEB=BTB=E 即 AB也是正交阵。5. 已知 P（AB）=P(AB), 求证： A，B相互独立。证明： P（AB）= P(AB) )()(BPABP=)()(BPBAP即 P(AB)P(B)=P(AB)P(B) 得 P(AB)(1BP=)()(ABPAPP(B) P(AB)-P(AB)P(B)=P(A)P(B)-P(B)P(AB) P(AB)=P(A)P(B) 即 A,B 相互独立。6. 若（X,Y）的概率密度为 f （x,y ）=其它010, 1062yxxy证明 X,Y 相互独立。证
22、明： fX(x)=f(x,y)dy=016xy2dy=2xy301=2x fY(y)= f(x,y)dx=016xy2dx=3y2 f(x,y)=6xy2= fX(x) fY(y) 所以 X,Y 相互独立。7设随机变量（ X,Y）的分布律为Y X -1 0 1 -1 818181精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学而不思则惘，思而不学则殆0 810 811 818181验证 X,Y 不是独立的。证明： P(X=-1,Y=-1)=81, 而 P(X=-1)= 81,P(Y=-1)= 81， P(X=-1)P(Y=-1)=641 P(X=-1,Y=-1)P(X=-1)P(Y=-1) X,Y 不是独立的8. 设（X,Y）的概率密度为 f(x,y)=其它00,20233yxey求 X,Y 是否相互独立。证明： fX(x)= f(x,y)dy=023e-3ydy=-21e-3y0=21 fY(y)= f(x,y)dx=0223e-3ydx=23e-3yx02=3e-3y f(x,y)= fX(x)fY(y) 所以 X，Y相互独立。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页