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1、2013 年高考理科数学分类汇编函数与导数大题目1.（2013 北京卷 18 题）(本小题共 13 分)设 l 为曲线 C：ln xyx在点(1，0)处的切线 . (I)求 l 的方程；(II) 证明：除切点 (1，0)之外，曲线 C 在直线 l 的下方2.（2013 安徽卷 20 题）（本小题满分 13 分）设函数22222( )1(,)23nnnxxxfxxxR nNnK，证明：（）对每个nnN，存在唯一的2,13nx，满足()0nnfx；（） 对任意npN， 由 （） 中nx构成的数列nx满足10nnpxxn。【解析】（）224232224321)(0nxxxxxxfnxyxnnn为单调
2、递增的时，当是 x 的单调递增函数 ,也是 n 的单调递增函数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 27 页011) 1(, 01)0(nnff且. 010)(,321nnnnxxxxxfx，且满足存在唯一xxxxxxxxxxxxxfxnnn1141114122221)(,).1 , 0 (2122232322时当) 1 ,320) 23)(2(1141)(02nnnnnnnnxxxxxxxf综上，对每个nnN，存在唯一的2,13nx，满足()0nnfx；(证毕) （） 由题知04321)(,012242322nxxxx
3、xxfxxnnnnnnnnpnn0)() 1(4321)(2212242322pnxnxnxxxxxxfpnpnnpnnpnpnpnpnpnpnpn上式相减：22122423222242322)() 1(432432pnxnxnxxxxxnxxxxxpnpnnpnnpnpnpnpnpnnnnnnn）（）（2212244233222)() 1(-4-3-2-pnxnxnxxxxxxxxxxpnpnnpnnnnpnnpnnpnnpnpnn)111()111()(1) 1(1)() 1(22221pnpnnnpnnpnxnxpnpnnpnnxxnpnnpnn1-1113.（ 2013 福 建 卷17
4、 题 ）（ 本 小 题 满 分13 分 ） 已 知函 数( )ln()f xxax aR精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 27 页（1）当2a时，求曲线( )yf x在点(1,(1)Af处的切线方程；（2）求函数( )f x的极值本小题主要考查函数函数的导数不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想分类与整合思想，数形结合思想化归与转化思想满分13 分解：函数( )f x的定义域为(0,)，( )1afxx（）当2a时，( )2lnf xxx，2( )1(0)fxxx，(1)1,(1)1ff，( )yf x在点
5、(1, (1)Af处的切线方程为1(1)yx，即20 xy（）由( )1,0axafxxxx可知：当0a时，( )0fx， 函数( )f x为(0,)上增函数，函数( )f x无极值；当0a时，由( )0fx，解得xa；(0, )Q xa时，( )0fx，( ,)xa时，( )0fx( )f x在xa处取得极小值，且极小值为( )lnf aaaa，无极大值综上：当0a时，函数( )f x无极值当0a时，函数( )f x在xa处取得极小值lnaaa，无极大值4.（2013 广东卷 21 题）（本小题满分 14 分）设函数21xfxxekx(其中kR). ( ) 当1k时, 求函数fx的单调区间；
6、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 27 页( ) 当1,12k时, 求函数 fx 在0,k上的最大值M. 【解析】 () 当1k时, 21xf xxe x,1222xxxxf xexex xex xe令0fx, 得10 x,2ln 2x当x变化时 ,fxfx的变化如下表 : x,000,ln 2ln 2ln 2,fx00fxZ极大值极小值右 表 可 知 , 函 数fx的 递 减 区 间 为0,ln 2, 递 增 区 间 为,0,ln 2,. ()1222xxxxfxexekxxekxx ek, 令0fx, 得10 x,2l
7、n 2xk, 令ln 2g kkk, 则1110kgkkk, 所以g k在1,12上递增 , 所以ln 21ln 2ln0g ke, 从而ln 2kk, 所以ln 20,kk所 以 当0,ln 2xk时 ,0fx； 当ln 2,xk时,0fx；所以3max0 ,max1,1kMffkkek令311kh kkek, 则3khkk ek, 令3kkek, 则330kkee所以k在1,12上递减, 而1313022ee所以存在01,12x使得00 x, 且当01,2kx时,0k, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 27 页当0,
8、1kx时,0k, 所以k在01,2x上单调递增 , 在0,1x上单调递减 . 因为1170228he,10h, 所以0h k在1,12上恒成立 , 当且仅当1k时取得“”. 综上, 函数f x在0,k上的最大值31kMkek. 5.（2013 广西卷 22 题） （本小题满分 12 分）已知函数1= ln 1.1xxfxxx（I）若0,0,xfx时求 的最小值 ; ；（II）设数列211111,ln 2.234nnnnaaaann的通项证明：6. （2013 全国新课标二卷21 题）（本小题满分 12 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
9、-第 5 页，共 27 页已知函数f(x)=ex-ln(x+m)()设x=0是f(x)的极值点，求m, 并讨论f(x)的单调性；（）当m 2时，证明f(x)07. （2013 年河南山西河北卷21）（本小题满分共12分）已知函数( )f x2xaxb，( )g x()xecxd，若曲线( )yf x和曲线( )yg x都过点 P(0，2)，且在点 P处有相同的切线42yx（）求a， b，c， d 的值（）若x2 时，( )f x( )kg x，求 k 的取值范围。【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，考查运算求解能力及应用意识, 是中档题 .
10、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 27 页【解析】 （）由已知得(0)2,(0)2,(0)4,(0)4fgfg，而( )fx=2xb ，( )g x=()xe cxdc，a=4，b =2，c=2， d =2；4 分（）由（）知，2( )42f xxx，( )2(1)xg xex，设函数( )F x=( )( )kg xf x=22(1)42xkexxx（2x） ，( )Fx=2(2)24xkexx=2(2)(1)xxke，有题设可得(0)F0，即1k，令( )Fx=0 得，1x=ln k，2x=2，（1）若21ke，则21
11、x0，当1( 2,)xx时，( )F x0，当1(,)xx时，( )F x0， 即( )F x在1( 2,)x单调递减，在1(,)x单调递增，故( )F x在x=1x取最小值1()F x，而1()F x=21112242xxx=11(2)xx0，当x2 时，( )F x0，即( )f x( )kg x恒成立，(2)若2ke，则( )Fx=222(2)()xexee，当x2 时，( )Fx0，( )F x在( 2,+)单调递增，而( 2)F=0，当x2 时，( )F x0，即( )f x( )kg x恒成立，(3) 若2ke，则( 2)F=222ke=222()eke0，当x2 时，( )f x
12、( )kg x不可能恒成立，综上所述， k 的取值范围为 1,2e. 8.（2013 湖北卷 22 题）设n是正整数，r为正有理数。（I）求函数1( )111(1)rf xxrxx的最小值；（II）证明：11111111rrrrrnnnnnrr；（III ）设xR，记x为不小于x的最小整数，例如22，4，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 27 页312。令3333818283125SL，求S的值。（参考数据：4380344.7，4381350.5，43124618.3，43126631.7）证明： （I）( )111111
13、rrfxrxrrx( )f x在1,0上单减，在0,上单增。min( )(0)0f xf（II）由（ I）知：当1x时，1111rxrx（就是伯努利不等式了）所证不等式即为：11111111rrrrrrnrnnnrnn若2n，则11111111rrrrnrnnnrnn1111rrnn111rrnnQ，1rrnn11111rrrnnn，故式成立。若1n，1111rrrnrnn显然成立。11111111rrrrnrnnnrnn1111rrnn111rrnnQ，1rrnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 27 页11111rrr
14、nnn，故式成立。综上可得原不等式成立。（III ）由（ II）可知：当*kN时，4144433333331144kkkkk444125433338133112580210.22544kSkk444125433338133112681210.944kSkk211S9.（2013 年湖南卷 22 题）（本小题满分 13 分）已知0a，函数()2xafxxa。（I ） ；记()0, 4fxa在区间上的最大值为g(), 求ag()的表达式；（II ）是否存在a，使函数( )yf x在区间0, 4内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。精选学习资料
15、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 27 页10.（2013 年江苏卷 20 题） （本小题满分 16 分）设函数axxxfln)(，axexgx)(，其中a为实数（1）若)(xf在), 1(上是单调减函数，且)(xg在), 1(上有最小值，求a的取值范围；（2）若)(xg在), 1(上是单调增函数，试求)(xf的零点个数，并证明你的结论解： （1）axxf1)(0 在),1 (上恒成立，则ax1，)1( ，x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 27 页故：a1axg
16、xe)(，若 1ae，则axgxe)(0 在), 1(上恒成立，此时，axexgx)(在), 1 (上是单调增函数，无最小值，不合；若ae，则axexgx)(在)ln1 (a，上是单调减函数，在)(ln，a上是单调增函数，)ln()(minagxg，满足故a的取值范围为：ae（2）axgxe)(0 在), 1(上恒成立，则aex，故：a1e)0(11)(xxaxaxxf()若 0a1e，令)(xf0 得增区间为 (0，1a)；令)(xf0 得减区间为 (1a， )当 x0 时，f(x)；当 x时， f(x)；当 x1a时，f(1a)lna10，当且仅当a1e时取等号故：当a1e时，f(x)有
17、1 个零点；当 0a1e时，f(x)有 2 个零点()若 a0，则 f(x)lnx，易得 f(x)有 1 个零点()若 a0，则01)(axxf在)0( ，上恒成立，即：axxxfln)(在)0( ，上是单调增函数，当x0 时，f(x)；当x时， f(x)此时， f(x)有 1 个零点综上所述：当a1e或 a0 时，f(x)有 1 个零点；当 0a1e时 f(x)有 2 个零点11.（2013 年江西卷题）. (本小题满分 14 分) 已知函数1( )= (1-2-)2f xax，a为常数且0a. (1)证明：函数( )f x的图像关于直线1=2x对称；(2)若0 x满足00( ()=f f
18、xx， 但00()f xx， 则称0 x为函数( )f x的二阶周期点，如果( )f x有两个二阶周期点12,x x试确定a的取值范围；(3)对于（ 2）中的12,x x和a， 设 x3为函数 f（f（x） ）的最大值点， A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 27 页（x1，f（f（x1） ） ） ，B（x2，f（f（x2） ） ） ，C（x3，0） ，记 ABC的面积为 S（a） ，讨论 S（a）的单调性 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 2
19、7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 27 页12.（2013 年辽宁卷 22 题）（本小题满分 12 分）已知101( )( )( )(1)nkkkfxfxxfxf，其中()kn nk+N，设02122201( )()()()()11knnnnknnF xC fxC f xC fxC fxx，（I）写出(1)kf；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 27 页（II）证明：对任意的1211xx，恒有112()()2(2)1nF xF xnn（22）
20、本小题主要考查导数的基本计算，函数的性质，绝对值不等式及组合数性质等基础知识，考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力满分12分（I）解： 由已知推得1nkkfxnkx，从而有11kfnk 3分（II）证法一： 当 11x 时，21222212121121nnn knknnnnnF xxnC xnC xnkC xCxLL，当0 x时，0Fx，所以 F x 在 01 ， 上是增函数又 F x 是偶函数，所以 F x 在10， 上是减函数所以对任意的1x，211x， ，恒有1210F xF xFF 7分012110112knnnnnnFFCnCnCnkCCLL1210112nn
21、n knnnnnnCnCnkCCCLL1n kn kn knnnnkCnk CCQ! !knnnkCnkkg1 !1! !knnnCnkkg1121kknnnCCknL， ， 10分121121011110nnnnnnnnnFFn CCCCCCCLL12121nnn1221nnn因此结论成立 12分证法二： 当11x 时，21222212121121nnn knknnnnnF xxnC xnC xnkC xCxLL，当0 x时，0Fx，所以 F x 在 01 ， 上是增函数又 F x 是偶函数，所以 F x 在10， 上是减函数所以对任意的1x，211x， ，恒有1210F xF xFF 7分
22、012110112knnnnnnFFCnCnCnkCCLL，又12101023nnnnnFFCCnCCQL，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 27 页12121022nnnnFFnCCCL， 10分121110212nnnnFFnCCCL122212212nnnnng因此结论成立 12分证法三： 当11x 时，21222212121121nnn knknnnnnF xxnC xnC xnkC xCxLL，当0 x时，0Fx，所以 F x 在 01 ， 上是增函数又 F x 是偶函数，所以 F x 在10， 上是减函数所以
23、对任意的1x，211x， ，恒有1210F xF xFF 7分221n kkknknC fxnkC x2212-1n kn kn knknnnk CxCxknL， ， ，由111 ! !1! !n knknnnnnk CnknnCnkknkkgg，得2223212230210111nnnnnnnnnnnnFxnxCxCxCxCxCLL12122211nnnnxxxx 10分11102121221nnnFFnnn因此结论成立 12分证法四： 当11x 时，21222212121121nnn knknnnnnF xxnC xnC xnkC xCxLL，当0 x时，0Fx，所以 F x 在 01 ，
24、 上是增函数又 F x 是偶函数，所以 F x 在1,0 上是减函数所以对任意的1x，211x， ，恒有1210F xF xFF 7分112222111nnnnkn knnnnnnnxxxx C xC xC xCxCxQLL12112312nnkn knnnnnnnC xC xC xCxCxxLL精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 27 页对上式两边求导，得1111nnnnxxx nxnx112222111321nnkn knnnnnnnnC xnC xnkC xCxCxLL，1111nnnxx nxnx112222111
25、321nnnkn knnnnnnnxnC xnC xnkC xCxCxLL，12122211nnnF xxxnxnx 10分110221nFFnn因此结论成立 12分13.（2013 年山东卷21 题） （本小题满分 13 分）设函数2( )(2.71828xxf xc eeL是自然对数的底数，)cR. （1）求( )f x的单调区间，最大值；（2）讨论关于 x 的方程|ln|( )xf x根的个数 . 解答： （1）21 2( )xxfxe，令( )0fx得，12x，当1(, ),( )0,2xfx函数单调递增；1(),( )0,2xfx，函数单调递减；所以当12x时，函数取得最的最大值ma
26、x1( )2fxce（2）由（1）知，f(x)先增后减，即从负无穷增大到12ce，然后递减到 c，而函数 |lnx|是（0,1）时由正无穷递减到0，然后又逐渐增大。故令 f(1)=0 得，21ce，所以当21ce时，方程有两个根；当21ce时，方程有一两个根；当21ce时，方程有无两个根 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 27 页14.（2013 年陕西卷 21 题） .(本小题满分 14 分)已知函数( )e ,xf xxR. () 若直线 ykx1 与 f (x)的反函数的图像相切 , 求实数 k 的值; ()
27、设 x0, 讨论曲线 yf (x) 与曲线2(0)ymxm公共点的个数 . () 设 a ( )( )f bf aba【解析】 () f (x)的反函数xxgln)(. 设直线 ykx1 与xxgln)(相切与点220000000,xx1)(xgklnx1kx，则)y，P(xeke。所以2ek() 当 x 0，m 0 时， 曲线 yf (x) 与曲线2(0)ymxm的公共点个数即方程2)(mxxf根的个数。由2222)2()( )(,)(xxxexhxexhxemmxxfxxx令，则 h(x)在);(h(2),h(x)2 ,0(上单调递减，这时h(x).(h(2),h(x),),2(这时上单调
28、递增在4h(2)2e. 的极小值即最小值。是h(x)h(2)y所以对曲线 yf (x) 与曲线2(0)ymxm公共点的个数，讨论如下：当 m )4, 0(2e时,有 0 个公共点；当 m= 42e,有 1 个公共点；当 m 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 27 页），（42e有 2 个公共点；() 设)(2)()2()()2()()(2)()(abbfabafababafbfbfafaabbaeabeabababeabeab)(2)2()2()(2)2()2(令xxxexexxgxexxxg)1(1)21(1)( ,
29、0,)2(2)(则。）上单调递增，在（的导函数0)( 所以,0) 11()( )( xgexexxgxgxx，且,0)0(,),0()(0)( .0)0( gxgxgg而上单调递增在，因此0)(),0(xg上所以在。,0)2(2)(0baexxxgxx且时，当0)(2)2()2(aabeabeabab所以abafbfbfaf)()(2)()(,ba时当15.（2013 年上海卷 22 题）设函数( )(, ,)nnfxxbxcnNb cR. （1）当2,1,1nbc时，求函数( )nfx在区间1(,1)2内的零点；（2）设2,1,1nbc，证明：( )nfx在区间1(,1)2内存在唯一的零点；
30、（3）设2n，若对任意12,1,1x x，有2122()()4fxfx求b的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 27 页（2）证明：因为n1()0f。所以n1()2fn(1)0f。所以n(x)f在1(1)2，内存在零点 。12121212121x(,1),x (x )-f (x )=(x-)+(x -x )0, 存在唯一的 s, 使( )tf s. () 设()中所确定的 s 关于 t 的函数为( )sg t, 证明: 当2et时, 有2ln( )15ln2g tt. 精选学习资料 - - - - - - - -
31、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 27 页18. （2013 浙江卷 21 题）(本小题满分 14 分)已知 a0，b R，函数342fxaxbxab()证明：当 0 x1 时，()函数fx的最大值为 |2ab|a；() fx|2ab|a0；() 若1fx1 对 x 0，1恒成立，求 ab 的取值范围【解析】本题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能力。()()2122fxaxb当 b0 时，2122fxaxb0 在 0 x1 上恒
32、成立，此时fx的最大值为：1423fababab|2ab|a；当 b0 时，2122fxaxb在 0 x1 上的正负性不能判断，此时fx的最大值为：max2max(0)1 max()332babafxffbaabab ba，（），()，|2ab|a；综上所述：函数fx在 0 x1 上的最大值为 |2ab|a；() 要证fx|2ab|a0，即证gxfx|2ab|a亦即证g x在 0 x1 上的最大值小于 (或等于 )|2ab|a，342g xaxbxab，令212206bgxaxbxa当 b0 时，2122gxaxb0 在 0 x1 上恒成立，此时g x的最大值为：03gabab|2ab|a；当
33、 b0 时，2122gxaxb在 0 x1 上的正负性不能判断，maxmax ()1 6bgxgga，（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 27 页4max2 36463662bbabbaabbababababa，|2ab|a；综上所述：函数g x在 0 x1 上的最大值小于 (或等于)|2ab|a即fx|2ab|a0 在 0 x1 上恒成立()由()知：函数fx在 0 x1 上的最大值为 |2ab|a，且函数fx在 0 x1 上的最小值比 (|2ab|a)要大1fx1 对 x 0，1恒成立， |2ab|a1取 b 为纵
34、轴， a 为横轴则可行域为：21baba和231baab，目标函数为 zab作图如下：由图易得：当目标函数为zab 过 P(1，2)时，有max3z所求 ab 的取值范围为：3，【答案】 () 见解析； () 3，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 27 页19（2013 年重庆卷17 题）设256lnfxa xx，其中aR，曲线yfx在点1,1f处的切线与y轴相交于点0,6。（1）确定a的值； （2）求函数fx的单调区间与极值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 27 页