2022年高考数学含答案 .pdf

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1、2006 年 上 海 高 考 （数学理工）一填空题 （本大题满分48 分）1已知集合 A 1，3，2m 1，集合 B3，2m 若 BA，则实数m2 已知圆2x 4x42y0的圆心是点P， 则点 P到直线xy10 的距离是3若函数)(xfxa（a0，且a 1）的反函数的图像过点（2， 1） ，则a4计算：1lim33nCnn5若复数z同时满足zz 2i，ziz（i为虚数单位），则z6如果cos51，且是第四象限的角，那么)2cos(7已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（ 23，0） ，且长轴长是短轴长的2 倍，则该椭圆的标准方程是8 在极坐标系中， O 是极点， 设点 A （4，3） ，B （5，

2、 65） ， 则 OAB 的面积是9两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1 本，共 8 本将它们任意地排成一排，左边4 本恰好都属于同一部小说的概率是（结果用分数表示） 10如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是11若曲线2y |x| 1 与直线ykxb没有公共点，则k、b分别应满足的条件是12三个同学对问题“关于x的不等式2x25|3x52x|ax在1，12上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把

3、不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是二选择题 （本大题满分16 分）13如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（）（A）ABDC；（B）ADABAC；（C）ABADBD； （D）ADCB014若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是 “这四个点在同一平面上”的（）（A）充分非必要条件； （B）必要非充分条件； （C）充要条件； （D）非充分非必要条件15 若关于x的不等式xk )1(24k4 的解集是 M， 则对任意实常数k，

4、 总有（）（A）2M，0M； （B）2M ，0M； （C）2M，0M； （D） 2M，0M16如图，平面中两条直线1l和2l相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M 到直线1l和2l的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点 M 的“距离坐标” 已知常数p0，q 0，给出下列命题：若pq0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1 个；A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页若pq0，且pq0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有2 个；若pq0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4 个上述

5、命题中，正确命题的个数是（）（A）0； （B）1； （C）2； （D） 3三解答题 （本大题满分86 分）本大题共有6 题17 （本题满分12 分）求函数y2)4cos()4cos(xxx2sin3的值域和最小正周期18 （本题满分12 分）如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10 海里 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1）？19 （本题 6+8=14 分）在四棱锥PABCD 中，底面是边长为2 的菱形， DAB 60，对角线 AC 与 BD

6、相交于点O，PO平面 ABCD ，PB 与平面 ABCD 所成的角为60 （1）求四棱锥PABCD 的体积；（2）若 E 是 PB 的中点，求异面直线DE 与 PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 1l2lO M（p，q）北20 10 A B ?C P A B C D O E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页20 （本题6+8=14 分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线2y2x相交于A、B两点 （1）求证：“如果直线l过点 T（3，0） ，那么OA OB3”是真命题；（2）写出（ 1）中命题的逆命

7、题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由21 （本题 4+6+6=16 分）已知有穷数列na 共有 2k项（整数k2） ，首项1a2设该数列的前n项和为nS，且1nanSa) 1(2（n1，2，2k1） ，其中常数a 1（1）求证：数列na 是等比数列；（2）若a 2122k，数列nb 满足nb)(log1212naaan（n1，2， 2k） ，求数列nb 的通项公式；（3）若（ 2）中的数列nb 满足不等式 |1b23|2b23| |12kb23| |kb223|4，求k的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页22

8、 （本题 3+6+9=18 分）已知函数yxxa有如下性质：如果常数a0，那么该函数在(0，a 上是减函数，在a，)上是增函数（1）如果函数yxxb2（x0）的值域为6，)，求b的值；（2）研究函数y2x2xc（常数c0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数yxxa和y2x2xa（常数a 0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(xFnxx)1(2nxx)1(2（n是正整数）在区间21，2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

9、4 页，共 13 页上海数学 (理工农医类 )参考答案2006 年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海数学试卷（理工农医类）考生注意：1答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚2本试卷共有22 道试题，满分150 分， 考试时间 120 分钟请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上一填空题 （本大题满分48 分）本大题共有12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得零分 ）1已知集合A1，3，2m1，集合 B3，2m 若 BA，则实数m；解： 由2211mmm，经检验，1m为所求；2 已知圆2x 4x42y0的圆心是点P， 则点 P到直线

10、xy10 的距离是；解： 由已知得圆心为：(2,0)P，由点到直线距离公式得：|20 1|221 1d；3若函数)(xfxa（a0，且a1）的反函数的图像过点（2，1） ，则a；解： 由互为反函数关系知，)(xf过点( 1,2)，代入得：1122aa；4计算：1lim33nCnn；解：33223333321(1)(2)321limlimlimlim161(1) 3!(1) 3!(1) 3!nnnnnCn nnnnnnnnnnn；5若复数z同时满足zz 2i，ziz（i为虚数单位），则z；解： 已知2211iZiZiZii；6如果cos51，且是第四象限的角，那么)2cos(；解： 已知22 6

11、cos()sin(1 cos)25；7已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（ 23，0） ，且长轴长是短轴长的2 倍，则该椭圆的标准方程是；解： 已知222222242 ,2 3161164( 2 3,0)bab cyxaabcF为所求；8 在极坐标系中， O 是极点， 设点 A （4，3） ，B （5， 65） ， 则 OAB 的面积是；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页解： 如图 OAB 中，554,5,2()366OAOBAOB154 5 sin526AOBS(平方单位 )；9两部不同的长篇小说各由第一、二、三、

12、四卷组成，每卷1 本，共 8 本将它们任意地排成一排，左边4 本恰好都属于同一部小说的概率是（结果用分数表示） ；解： 分为二步完成：1) 两套中任取一套，再作全排列，有124CP种方法；2) 剩下的一套全排列，有4P种方法；所以，所求概率为：12448135C P PP；10 如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中， 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对” 的个数是；解： 正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24 个“正交线面对” ；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12 个“正交线

13、面对”，所以共有36 个“正交线面对” ；11 若曲线2y |x| 1 与直线ykxb没有公共点，则k、b分别应满足的条件是解： 作出函数21,0| 11,0 xxyxxx的图象，如右图所示：所以，0,( 1,1)kb；12 三个同学对问题“关于x的不等式2x25|3x52x|ax在1，12上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路甲说： “只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说： “把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说： “把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”参 考 上 述 解 题 思 路 ， 你 认 为 他 们 所 讨 论 的 问 题 的

14、 正 确 结 论 ， 即a的 取 值 范 围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页是；解： 由2x25|3x52x|225,112|5 |axxaxxxx，而2525210 xxxx，等号当且仅当5 1,12x时成立；且2|5| 0 xx，等号当且仅当5 1,12x时成立；所 以 ，2min25|5 |10axxxx， 等 号 当 且 仅 当5 1,12x时 成 立 ； 故(,10a；二选择题 （本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分

15、16 分）须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内） ，一律得零分13 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是答（）（A）ABDC；（B）ADABAC；（C）ABADBD；（D）0ADCB；解： 由向量定义易得，（C）选项错误；ABADDB；14若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是 “这四个点在同一平面上”的答 （）（A）充分非必要条件； （B）必要非充分条件； （ C）充要条件；（D）非充分非必要条件；解：充分性成立：“这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况：1）第四点在共线三点所在的直线上，

16、可推出“这四个点在同一平面上”；2）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一个平面内” ；必要性不成立： “四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上” ；故选（ A）15 若关于x的不等式xk )1(24k4的解集是 M， 则对任意实常数k， 总有 答 （）（A）2M，0 M； （B）2M，0M； （C） 2M， 0M； （D）2M，0M；解： 选（A）方法1：代入判断法，将2,0 xx分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是否为R；方法 2：求出不等式的解集：xk )1 (24kA B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总

17、结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页4422min222455(1)2(1)22 52111kxkxkkkk；16如图，平面中两条直线1l和2l相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M 到直线1l和2l的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点 M 的“距离坐标” 已知常数p0，q0，给出下列命题：若pq0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1 个；若pq0，且pq 0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有2 个；若pq0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4 个上述命题中，正确命题的个数是答（）（ A）0； （B）1； （C）2； （D）3解： 选（D）

18、正确，此点为点O； 正确，注意到,p q为常数，由,p q中必有一个为零，另一个非零， 从而可知有且仅有2 个点， 这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为q（或p） ； 正确，四个交点为与直线1l相距为p的两条平行线和与直线2l相距为q的两条平行线的交点；三解答题 （本大题满分86 分）本大题共有6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤17 （本题满分12 分）求函数2cos()cos()3sin244yxxx的值域和最小正周期解 2cos()cos()3sin244yxxx22112( cossin)3sin222cos23sin22sin(2)6xxxxxx 函数2cos()cos()

19、3sin244yxxx的值域是 2,2,最小正周期是；18 （本题满分12 分）如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距 10 海里 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1）？1l2lO M（p，q）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页解 连接 BC,由余弦定理得BC2=202+1022 20 10COS120 =700. 于是 ,BC=107. 710120sin20si

20、n ACB, sinACB=73, ACB90 ACB=41乙船应朝北偏东71 方向沿直线前往B 处救援 . 19 （本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分）在四棱锥PABCD 中，底面是边长为2 的菱形， DAB 60 ，对角线AC 与 BD相交于点 O，PO平面 ABCD ，PB 与平面 ABCD 所成的角为60 （1）求四棱锥PABCD 的体积；（2）若 E 是 PB 的中点，求异面直线DE 与 PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 解（1）在四棱锥 P-ABCD 中 ,由 PO平面 ABCD, 得PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成

21、的角 , PBO=60 . 在 RtAOB 中 BO=ABsin30 =1, 由 POBO, 于是 ,PO=BOtg60 =3,而底面菱形的面积为23. 四棱锥P-ABCD 的体积 V=31 233=2. （2）解法一： 以 O 为坐标原点 ,射线 OB、 OC、OP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴建立空间直角坐标系. 在 Rt AOB 中 OA=3,于是 ,点 A、B、D、P 的坐标分别是A(0, 3,0), B (1,0,0), D (1,0,0), P (0,0, 3). E 是 PB 的中点 ,则 E(21,0,23) 于是DE=(23,0, 23),AP=(0, 3,3)

22、. 设AP与DE的夹角为,有 cos=4233434923, =arccos42, 异面直线DE 与 PA 所成角的大小是arccos42；P A B C D O E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页解法二： 取 AB 的中点 F,连接 EF、DF. 由 E 是 PB 的中点 ,得 EFPA， FED 是异面直线DE 与 PA 所成角 (或它的补角 )，在 RtAOB 中 AO=ABcos30 =3=OP，于是 , 在等腰 Rt POA 中，PA=6，则 EF=26. 在正 ABD 和正 PBD 中,DE=DF=

23、3，cosFED=34621DEEF=42异面直线DE 与 PA 所成角的大小是arccos42. 20 （本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线2y2x相交于 A、B 两点（1）求证：“如果直线l过点 T（3， 0） ，那么OA OB3”是真命题；（2）写出（ 1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由解（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x 于点 A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为x=3, 此时 ,直线l与抛物线相交于点A(3,6)、B(

24、3,6). OBOA=3；当直线l的钭率存在时 ,设直线l的方程为(3)yk x，其中0k，由22(3)yxyk x得2122606kyyky y又 22112211,22xyxy，2121212121()34OA OBx xy yy yy y，综上所述，命题“ 如果直线l过点 T(3,0)，那么OBOA=3” 是真命题；(2)逆命题 是：设直线l交抛物线y2=2x 于 A、 B 两点 ,如果OBOA=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是 假命题 . 例如：取抛物线上的点A(2,2) ，B(21,1)，此时OA OB=3, 直线 AB 的方程为：2(1)3yx，而 T(3,0)不在直线AB

25、 上；说明：由抛物线y2=2x 上的点 A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足OBOA=3，可得 y1y2= 6，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页或 y1y2=2，如果 y1y2=6，可证得直线AB 过点 (3,0)；如果 y1y2=2，可证得直线AB 过点 (1,0),而不过点 (3,0). 21 （本题满分16 分，本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分6 分，第 3小题满分 6 分）已知有穷数列na 共有 2k项（整数k 2） ，首项1a 2设该数列的前n项和为nS，且1nanS

26、a) 1(2（n1，2， 2k1） ，其中常数a1（1）求证：数列na 是等比数列；（2）若a 2122k，数列nb 满足nb)(log1212naaan（n1，2， 2k） ，求数列nb 的通项公式；（3） 若 （2） 中的数列nb 满足不等式 |1b23|2b23| |12kb23|kb223| 4，求k的值(1)证明 当 n=1 时,a2=2a,则12aa=a；2 n 2k1 时, an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2, an+1an=(a1) an, nnaa1=a, 数列 an 是等比数列 . (2) 解：由 (1) 得 an=2a1n, a1a2an=2na)

27、1(21n=2na2)1(nn=212) 1(knnn, bn=112112)1(1knknnnn(n=1,2, ,2k).（3）设 bn23,解得 n k+21,又 n 是正整数 ,于是当 nk 时, bn23. 原式 =(23 b1)+(23b2)+ +(23bk)+(bk+123)+ +(b2k23) =(bk+1+ +b2k)(b1+ +bk) =12)10(2112) 12(21kkkkkkkkk=122kk. 当122kk 4, 得 k28k+40, 423k4+23,又 k2,当 k=2,3,4,5,6,7 时,原不等式成立 . 精选学习资料 - - - - - - - - -

28、名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页22 （本题满分18 分，本题共有3 个小题，第1 小题满分3 分，第 2 小题满分6 分，第 3小题满分 9 分）已知函数yxxa有如下性质： 如果常数a0，那么该函数在(0，a 上是减函数，在a，)上是增函数（1）如果函数yxxb2（x0）的值域为6，)，求b的值；（2）研究函数y2x2xc（常数c 0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数yxxa和y2x2xa（常数a0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例 研究推广后的函数的单调性（只须写出结论， 不必证明）， 并求函数)(xFnxx)1(2nxx)1(2（n

29、是正整数）在区间21， 2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论） 解（ 1）函数 y=x+xb2(x0) 的最小值是2b2，则 2b2=6, b=log29. (2) 设 0 x1x2,y2y1=)1)(2221212221212222xxcxxxcxxcx. 当4cx1y1, 函数 y=22xcx在4c,+ )上是增函数；当 0 x1x24c时 y20),其中 n 是正整数 . 当 n 是奇数时 ,函数 y=nnxax在 (0,na2上是减函数 ,在na2,+ ) 上是增函数 , 在 (, na2上是增函数 , 在na2,0)上是减函数；当 n 是偶数时 ,函数 y=nnxax在 (0,n

30、a2上是减函数 ,在na2,+ ) 上是增函数 , 在 (, na2上是减函数 , 在na2,0)上是增函数；F(x)=nxx)1(2+nxx)1(2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页=)1()1()1()1(323232321220nnnnrnrnrnnnnnnnxxCxxCxxCxxC因此 F(x) 在 21,1上是减函数 ,在1,2上是增函数 . 所以，当x=21或 x=2 时， F(x)取得最大值 (29)n+(49)n；当 x=1 时 F(x)取得最小值2n+1；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页