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1、学习必备欢迎下载第七课时等比数列 (一) 教学目标：掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公式及推导；培养学生的发现意识，提高学生创新意识，提高学生的逻辑推理能力，增强学生的应用意识. 教学重点：等比数列的定义及通项公式. 教学难点：灵活应用等比数列的定义式及通项公式解决一些相关问题. 教学过程：.复习回顾前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容. .讲授新课下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点? 1，2，4，8， 16， 263；5，25， 125， 625，；1，12，14，18，；仔细观察数列，寻其共同特点. 对于数列，an 2n1；anan12
2、(n2) 对于数列，an 5n；anan15(n2) 对于数列，an (1)n+112n1；anan112(n 2) 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数. 也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点. 1.定义等比数列： 一般地， 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(q0)，即： anan1q(q0) 如：数列，都是等比数列，它们的公比依次是2，5，12.与等差数列比较，仅一字之差 . 总之，若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”为常数
3、， 则为等差数列， 之 “比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”. 注意（ 1）公差“ d”可为 0， （2）公比“ q”不可为 0. 等比数列的通项公式又如何呢? 2.等比数列的通项公式请同学们想想等差数列通项公式的推导过程，试着推一下等比数列的通项公式. 解法一：由定义式可得：a2a1q，a3a2q(a1q)qa1q2，a4a3q (a1q2)qa1q3，anan1qa1qn1(a1，q0)， n1 时，等式也成立，即对一切nN*成立 . 解法二：由定义式得：(n1)个等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，
4、共 5 页学习必备欢迎下载a2a1 q a3a2 q anan1 q n1若将上述 n1 个等式相乘，便可得：a2a1a3a2a4a3anan1qn1 即： ana1qn1(n2) 当 n1 时，左 a1，右 a1，所以等式成立，等比数列通项公式为：ana1qn1(a1，q 0) 如：数列，an 12n12n1(n64) 数列： an55n15n，数列： an1 (12)n1(1)n112n 1与等差数列比较，两者均可用归纳法求得通项公式. 或者， 等差数列是将由定义式得到的n1 个式子相 “加”，便可求得通项公式；而等比数列则需将由定义式得到的n1 个式子相“乘” ，方可求得通项公式. 下面
5、看一些例子：例 1培育水稻新品种，如果第一代得到120 粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120 粒种子，到第 5 代大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？分析：下一代的种子数总是上一代种子数的120 倍，逐代的种子数可组成一等比数列，然后可用等比数列的有关知识解决题目所要求的问题. 解：由题意可得：逐代的种子数可组成一以a1120，q120 的等比数列 an. 由等比数列通项公式可得：ana1 qn1120 120n1120n a512052.51010. 答：到第 5 代大约可以得到种子2.5 1010粒. 评述：遇到实际问题，首先应仔细分析
6、题意，以准确恰当建立数学模型. 例 2一个等比数列的第3 项与第 4 项分别是12 与 18，求它的第1 项与第 2 项. 分析：应将已知条件用数学语言描述，并联立，然后求得通项公式. 解：设这个等比数列的首项是a1，公比是q则：a1 q212 a1 q318 得： q32代入得：a1163ana1qn1163（32）n1，a2a1q163328. 答：这个数列的第1 项与第 2 项分别是163和 8. 评述：要灵活应用等比数列定义式及通项公式. .课堂练习精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载课本 P4
7、8练习 1，2，3 已知 an 是无穷等比数列，公比为q. (1)将数列 an中的前 k 项去掉， 剩余各项组成一个新数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？解：设 an为： a1，a2， ak，ak+1，则去掉前 k 项的数可列为：ak+1，ak+2， an，可知，此数列是等比数列，它的首项为ak+1，公比为q. (2)取出数列 an 中的所有奇数项， 组成一个新的数列， 这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？解：设 an为： a1， a2，a3， a2k1， a2k，取出 an 中的所有奇数项，分别为：a1，a3，a5， a7， a2k1，a2k+1，a
8、2k+1a2k1a1q2ka1q2k2q2(k1) 此数列为等比数列，这个数列的首项是a1，公比为q2. (3)在数列 an中，每隔10 项取出一项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？解：设数列 an为： a1，a2， an，每隔 10 项取出一项的数可列为：a11， a22，a33，可知，此数列为等比数列，其公式为：a22a11a11q11a11 q11. 评述：注意灵活应用等比数列的定义式和通项公式. .课时小结本节课主要学习了等比数列的定义，即：anan1q(q 0，q 为常数， n2) 等比数列的通项公式：ana1qn1(n2)及推导过程 . .课后作业课
9、本 P52习题1，2， 3，4 等比数列 (一) 1已知 Sn是数列 an的前 n项和， Snpn，那么数列 an是（）A.等比数列B.当 p0 时为等比数列C.当 p0， p1 时为等比数列D.不可能为等比数列2公差不为0 的等差数列 an中， a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于（）A. 12B. 13C.2 D.3 3数列 an的前 n 项之和是Sn anb(a、b 为常数且a0，1)，问数列 an是等比数列吗？若是，写出通项公式，若不是，说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载4已
10、知等比数列x，34，y，2716，8132，求x，y. 5已知数列 an 是等比数列，首项为a1，公比不等于1，又其中有连续三项分别是一等差数列的第t，k，p 项，求数列 an 的通项公式 . 6已知数列 an 为等比数列， a1 a310，a4a654，求 a4的值 . 等比数列 (一)答案1D 2D 3数列 an的前 n 项之和是Sn anb(a、b 为常数且a0，1)，问数列 an是等比数列吗？若是，写出通项公式，若不是，说明理由. 分析：利用等比数列的定义解题. 解： a1S1ab，当 n2 时， anSnSn1(a1)an1又 a1(a1)a0a1 若 a1 ab，即 b 1 时，显
11、然数列an不是等比数列 . 若 a1ab，即 b 1 时，由 an(a1)an1(n1)，得anan1a(n 2) 故数列 an是等比数列 . 4x12，y985已知数列 an 是等比数列，首项为a1，公比不等于1，又其中有连续三项分别是一等差精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载数列的第t，k，p 项，求数列 an 的通项公式 . 分析一：先从等比数列入手解决问题. 解法一：设符合题设的等比数列an 中的连续三项为am，am+1，am+2，则：am+1amq， am+2 am+1q (q 为公比 ) 两
12、式相减，得qam2am1am1am又 am+1am(kt)d，即 am+1am (kt)d同理 am+2am+1(pk)d(d 为公差），故 q（ pk）d（kt）dp kkt所求通项公式为ana1( pkkt)n1. 分析二：先从等差数列入手解决问题. 解法二：设等差数列为bn，公差为d，则b1b1（ t1）dbkb1（ k1）dbpb1（ p1）d由题设知， bt，bk，bp是等比数列 an中的连续三项：故qbkbtbpbk利用等比定理，可得bkbtbpbkbkbt（pk） d（kt）dpkktqpkkt，an a1(p kkt)n1. 6已知数列 an 为等比数列， a1 a310，a4a654，求 a4的值 . 分析：要求a4可以先求an，这样求基本量a1和 q 的值就成了关键，结合条件考虑运用方程思想解决 . 解：设此数列的公比为q,由已知得：a1a1 q210a1 q3 a1 q554a1（1q2） 10 a1 q3（ 1q2）54由 a10，1 q20，得， q318q12a1 8. a4a1q38181. 评述：本题在求基本量a1和 q 时，运用方程思想把两个方程相除达到消元的目的，此法应重视 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页