2022年高中数学必修一至必修五知识点总结完整版 3.pdf

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1、高中数学必修 1 知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明： (1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

2、3、集合的表示： , 如 我校的篮球队员 ， 太平洋,大西洋 ,印度洋,北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合： A= 我校的篮球队员 ,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列举法与描述法。非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于”属于” 的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合 A 的元素，就说 a属于集合 A 记作 aA ，相反， a不属于集合 A 记作列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号含有有限个元素的集合（2） 无限集含有无限个元素的集合（3

3、） 空集不含任何元素的集合例：x|x2=5二、集合间的基本关系1. “包含” 关系子集注意： 有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分， ； （2）A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A 2“ 相等” 关系(5 5 ，且 55 ，则 5=5) - 1 - 实例：设A=x|x2-1=0 B=- 1,1 “ 元素相同 ”结论：对于两个集合A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时 ,集合 B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A等于集合 B，即： A=B 任何一个集合是它本身的子集。精选学

4、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 44 页真子集 :如果且那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作或如果那么如果同时那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义：一般地，由所有属于A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作 AB(读作”A 交 B”) ，即 AB=x|x A，且 xB 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集。记作： AB(读作”A 并 B”)，即

5、 AB=x|x A，或 xB 3、 交集与并集的性质： AA = A, A = , A B = B A，AA = A, A= A ,A B = BA. 4、全集与补集（1）补集：设 S是一个集合， A 是 S 的一个子集（即） ，由 S中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做S 中子集 A 的补集（或余集）（2）全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U 来表示。四、函数的有关概念1函数的概念：设A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应， 那么就称

6、 f：AB为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记作： y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| x A 叫做函数的值域注意：如果只给出解析式 y=f(x) ，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域， 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数- 2 - 不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式

7、的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合 .（6）指数为零底不精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 44 页可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域注意： （1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

8、（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致， 而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致(两点必须同时具备 ) (见课本 21 页相关例 2) 值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中， 以函数 y=f(x) , (x A)中的 x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x，y)的集合 C，叫做函数y=f(x),(x A)的图象 集合 C

9、上每一点的坐标 (x， y)均满足函数关系y=f(x)， 反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对x、y 为坐标的点 (x，y)，均在 C 上 . 即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , x A , 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线 ),也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2) 画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 . B、图象变换法（请参考必修4 三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换

10、和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质； 2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。4了解区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间； （3）区间的数轴表示5什么叫做映射一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素x，在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，- 3 - 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 44 页那么就称对应 f： A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f：A B”

11、 给定一个集合 A 到 B 的映射，如果 aA,bB.且元素 a和元素 b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素 a的象，元素 a 叫做元素 b 的原象说明：函数是一种特殊的映射， 映射是一种特殊的对应， 集合 A、B 及对应法则 f 是确定的；对应法则有 “ 方向性 ” ，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的；对于映射f：AB来说，则应满足： （）集合 A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；（）集合 A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个； （）不要求集合 B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。常用的函数表示法及各自的

12、优点：1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、 折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域； 3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征； 4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征 解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值 . 补充一：分段函数（参见课本 P24-25）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程， 而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来

13、，并分别注明各部分的自变量的取值情况 （1）分段函数是一个函数， 不要把它误认为是几个函数； （2） 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集补充二：复合函数如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(x A),则 y=fg(x)=F(x) ， (xA) 称为f、g 的复合函数。例如: y=2sinx y=2cos(2x+1) 7函数单调性（1） 增函数设函数 y=f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量a，b，当 a<b 时，都有 f(a)<f(b) ，那么就说 f(x)在区间 D上是增函数。区间D 称为 y=f(x) 的

14、单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值a，b，当 a<b 时，都有 f(a)f(b)，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数 .区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量a，b；当 a<b 时，总有 f(a)<f(b) 。（2） 图象的特点如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有 (严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减 函数的图象从左到右是下降的.

15、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 44 页(3).函数单调区间与单调性的判定方法- 4 - (A) 定义法：任取 a，bD，且 a<b ；2 作差 f(a)f(b)；3 变形（通常是因式分解和配方） ；4 定号（即判断差 f(a)f(b)的正负） ；5 下结论（指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性）(B)图象法 (从图象上看升降 )_ (C)复合函数的单调性复合函数 fg(x) 的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关注意： 1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同

16、的区间和在一起写成其并集. 2、 还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？8函数的奇偶性（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域（2） 、 利- 5 - 用图象求函数的最大（小）值（3） 、 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x) 在区间 a，b上单调递增，在区间 b，c上单调递减则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最大值 f(b)；如果函数 y=f(x) 在区间 a，b上单调递减，在区间 b，c上单调递增则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最小值 f(b)；第二章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1根式的概念：一般地，如果，那么 x

17、叫做 a 的 n 次方根（n th root） ，其中 n>1，且 nN*当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数， 负数的 n 次方根是一个负数此时， a的 n 次方根用符号 a 表示式子 a叫做根式（ radical） ，这里 n叫做根指数（ radical exponent ） ，a叫做被开方数（ radicand ） 当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个， 这两个数互为相反数 此时，正数 a的正的 n 次方根用符号 a 表示，负的 n 次方根用符号 a 表示正的n 次方根与负的 n次方根可以合并成 a （a>0） 由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是

18、0，记作。注意：当 n 是奇数时，当 n 是偶数时， a 2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 44 页0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后， 指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3实数指数幂的运算性质（1）（2）； （3）（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数且叫做指数函数（ exponential function） ，其中 x 是自变量，函数的定义域为R 注意

19、：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1- 6 - （1） 在a， b上，且值域是 f(a),f(b) 或f(b),f(a) ；（2）若，则；f(x)取遍所有正数当且仅当；（3）对于指数函数且，总有； （4）当时，若，则； 二、对数函数（一）对数1对数的概念：一般地，如果，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数，记作：（a 底数， N 真数， logaN 对数式）1 注意底数的限制，且； 说明： ； 3 注意对数的书写格式两个重要对数：1 常用对数：以 10 为底的对数 2 自然对数：以无理数为底的对数的对数lnN 对数式与指数式的互化x 对数式指数式- 7 - 精选学习资料 - -

20、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 44 页对数底数 a 幂底数对数 x 指数 真数 N 幂 （二）对数的运算性质如果，且，那么： （1）logaN； （2）log M a N a M logaN； （3）logaM n a M 注意：换底公式loglog cc ba （，且；，且1；） m 利用换底公式推导下面的结论（1）log a n nm log a b ； （2）1log b a （二）对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，

21、共 44 页其中 x 是自变量，函数的定义域是（0，+）1 对数函数的定义与指数函数类似， 都是形式定义， 注意辨别。 注意：如：，x 5 5 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数2 对数函数对底数的限制： (，且- 8 - 三、幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（ 0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1） ；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当 x 从右边趋向原点时， 图象在 y 轴右方无限地逼近y

22、 轴正半轴， 当 x趋于时， 图象在 x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数 x 叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与 x 轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与 x 轴有交点函数有零点3、函数零点的求法：求函数的零点：1 （代数法）求方程的实数根；2 （几何法）对于不能用求根公式的方程， 可以将它与函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 44 页的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数

23、的零点：二次函数），方程有两不等实根，二次函数的图象与 x 轴有两个交点，二次函数有两个零点），方程有两相等实根（二重根） ，二次函数的图象与 x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点），方程无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点- 9 - 高中数学必修二知识点一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即。斜率反映直线与

24、轴的倾斜程度。当时， ；当时， ；当时，不存在。过两点的直线的斜率公式：注意下面四点： (1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90 ；(2)k 与 P1、P2的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0 时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为 90 时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 b 两点式：（）

25、直线两点，截矩式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 44 页其中直线与轴交于点 ,与轴交于点 ,即与轴、轴的截距分别为。一般式：（A，B 不全为 0）注意：各式的适用范围特殊的方程如：平行于 x 轴的直线： （b 为常数） ；平行于 y 轴的直线： （a为常数） ；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0 的常数）的直线系：（C 为常数）（二）垂直直线系垂直于已知直线（是不全为0 的常数）的直线系：（C 为常数）- 10 - （三）过定点的直线系（）斜率为 k 的直线系：，直线过

26、定点；（）过两条直线，的交点的直线系方程为（为参数），其中直线不在直线系中。（6）两直线平行与垂直当，时，；注意： 利用斜率判断直线的平行与垂直时， 要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解；方程组有无数解与重合（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则（9）点到直线距离公式：一点到直线的距离（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。二、圆的方程1、圆的定义：平面当时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法： 先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，

27、b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点， 以此来确定圆心的位置。- 11 - 3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线，圆，圆心到l 的距离为，则有；（2）过圆外一点的切线： k 不存在，验证是否成立 k 存在，设精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 44 页点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解 k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为 (x0，y0)，则过此点的

28、切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（ d）之间的大小比较来确定。设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（ d）之间的大小比较来确定。当时两圆外离，此时有公切线四条；当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，当时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点三、立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：几何特征： 两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截

29、面是与底面全等的多边形。（2）棱锥几何特征： 侧面、对角面都是三角形； 平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：几何特征：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征： 底面是全等的圆； 母线与轴平行； 轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。- 12 - （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征： 底面是一个圆； 母线交于圆锥的顶点； 侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征

30、：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 44 页注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。3、空间几何体的直观图 斜二测画法斜二测画法特点：原来与 x 轴平行的线段

31、仍然与x 平行且长度不变；原来与 y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长， h 为高，为斜高， l为母线）（3）柱体、锥体、台体的体积公式（4）球体的表面积和体积公式：V= ； S= 4、空间点、直线、平面的位置关系公理 1：如果一条直线的两点在一个平面应用：判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：公理 2： 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线- 13 - 符号：平面 和 相交，交线是 a，记作 a。符号语言：公理 2 的作

32、用：它是判定两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。公理 3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公理 3 及其推论作用：它是空间它是证明平面重合的依据公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义：不同在任何一个平面B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。（8）空间直线与平面之间的位置关

33、系直线在平面a A a（9）平面与平面之间的位置关系：平行没有公共点； 相交有一条公共直线。 b 5、空间中的平行问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 44 页- 14 - （1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面线线平行线面平行线面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面（线面平行面面平行），（2）如果在两个平面内，各有两组相交直

34、线对应平行，那么这两个平面平行。（线线平行 面面平行），（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 （面面平行 线面平行）（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （面面平行 线线平行）7、空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直： 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。平面和平面垂直： 如果两个平面相交， 所成的二面角 （从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）

35、是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。（2）垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。- 15 - 性质定理：如果两个平面互相垂直， 那么在一个平面平面的垂线与平面所成的角： 规定为。平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面垂面法： 已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角精选学习资

36、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 44 页高中数学必修三知识点- 16 - 第一章 算法初步1.1.1 算法的概念1、 算法概念： 在数学上， 现代意义上的“ 算法” 通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成. 2. 算法的特点: (1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的 . (2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可 . (3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明

37、确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题 . (4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法 . (5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 1.1.2 程序框图 1、程序框图基本概念：（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、 指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。一个程序框图包括以下几部分： 表示相应操作的程序框； 带箭头的流程线； 程序框外必要文字说明。（二）构

38、成程序框的图形符号及其作用程序框 名称 起止框 不可少的。表示一个算法输入和输出的信息，可用在算输入、输出框法中任何需要输入、输出的位置。赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、处理框 公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。判断某一条件是否成立， 成立时在出口处标判断框 明“ 是” 或“Y” ； 不成立时标明 “ 否” 或 “N ” 。 学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。 3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框

39、分两大类，一类判断框“ 是”与“ 否” 两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。（三） 1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的， 它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一 种基本算法结构。 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A 框和 B 框是依次执行的，只有在执行完A 框指定的操作后，才能接着执行 B 框所指定的操作。

40、2、条件结构：、条件结构：功能 表示一个算法的起始和结束，是任何流程图 A B 条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。条件 P 是否成立而选择执行A 框或 B 框。无论 P 条件是否成立，只能执行A 框或 B 框之一，不可能同时执行A 框和 B 框，也不可能 A 框、 B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。 3、循环结构： 在一些算法中，经常会出现从某处开始， 按照一定条件，反复执行某一处理、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 44 页循环结构：步骤的情况，这就是循环结构，反

41、复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：（1） 、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件 P 成立时，执行A 框，A 框执行完毕后，再判断条件P 是否成立，如果仍然成立，再执行A 框，如此反复执行 A 框，直到某一次条件P 不成立为止，此时不再执行A 框，离开循环结构。（2） 、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件 P 是否成立，如果 P 仍然不成立，则继续执行A 框，直到某一次给定的条件P 成立为止， 此时不再执行A 框，离开循环结构。A P 不成立 p P 成立 成立 A

42、 不成立 当型循环结构直- 17 - 到型循环结构注意： 注意： 1 循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“ 死循环” 在循环结构中都有一个计数变量和累加变。2 量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步 执行的，累加一次，计数一次。1.2.1 输入、输出语句和赋值语句输入、 1、输入语句 、 （1）输入语句的一般格式图形计算器格式 INPUT “提示内容 ” ；变量 INPUT “ 提示内容 ” ，变量 （2）输入语句的作用是实现算法的输入信息功能； “ 提示内容 ” 提示用户输入什么样的（3

43、） 信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；（4）输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；（5）提示内容与变量之间用分号“ ； ” 隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“ ， ” 隔开。 2、输出语句、 （1）输出语句的一般格式图形计算器格式 PRINT “提示内容 ” ；表达式 Disp “提示内容 ” ，变量 （2）输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；“ 提示内容 ” 提示用户输入什么样的（3） 信息，表达式是指程序要输出的数据；（4）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。 3、赋值语句、 （1）赋值语句的一般格式 图形计算器格式 变量表达

44、式表达式 变量 （2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句中的 “ ” 称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。 赋值号的左右两边不能对换， 它将赋值号右边的表达 式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（5）对于一个变量可以多次赋值。注意： 注意：赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X 是错误的。赋值号左右不能对换。 如“A=B ” “B=A ”的含义运行结果是不同的。 不能利用赋值语句进行代数式的演算。 （如化简、因式分解、解方程等）赋值号“=”与数学中的等号意义不同。122 条

45、件语句 1、条件语句的一般格式有两种：、 （1）IFTHENELSE 语句； （2）IFTHEN 语句。2、IF 、 THENELSE 语句 IFTHENELSE 语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2。 IF 条件 语句 1 ELSE 语句 2 END IF THEN 满足条件？是 语句 1 否 语句 2 图 1 图 2 分析：在 IFTHENELSE 语句中，“ 条件” 表示判断的条件，“ 语句 1” 表示满足条件时执行的操作内容；“ 语句 2” 表示不满足条件时执行的操精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 44 页

46、作内容；END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时， 首先对 IF 后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN 后面 的语句1；若条件不符合，则执行 ELSE 后面的语句2。 3、IFTHEN 语句 、 IFTHEN 语句的一般格式为图3，对应的程序框图为图4。 IF 条件 THEN 语句 END IF （图 3）（图 4） 满足条件？否 是 语句 注意： “ 条件” 表示判断的条件；“ 语句 ” 表示满足条件时执行的操注意： 作内容，条件不满足时， 结束程序；END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对 IF 后的条件进行判断，如果条件符合就执行THEN 后边的语句，若条

47、件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句。123 循环语句 循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE 型）和直到型（ UNTIL 型）两种语句结构。即WHILE 语句和 UNTIL 语 句。 1、WHILE 语句 、 （1）WHILE 语句的一般格式是对应的程序框图是循环体WHILE 条件 循环体 WEND 满足条件？否（ 2）当计算机遇到WHILE 语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE 与 WEND 之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行， 直到某一次条件不符合为

48、止。这时， 计算机将不执行循环体，直接跳到 WEND 语句后，接着执行WEND 之后的语句。 因此，当型循环有时也称为“ 前测试型 ” 循环。 是 2、UNTIL 语句 、 （1）UNTIL 语句的一般格式是对应的程序框图是DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 循环体 满足条- 18 - 件？ 是 否（2） 直到型循环又称为 “ 后测试型 ” 循环， 从 UNTIL 型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL 语句后执行其

49、他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。分析： （先由学生讨论再归纳）分析：当型循环与直到型循环的区别：（1） 当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；在 WHILE 语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTIL 语句中，是当条件不满足时执行循环 1.3.1 辗转相除法与更相减损术1、辗转相除法。 也叫欧几里德算法， 用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：（1） ：用较大的数m 除以较小的数n 得到一个商为 m，n 的最大公约数；若 （3） ： 若 商 S0 和一个余数R0 ； ： 若 R0 0， 则 n （2）R0 0 ，则用除数n 除以余数R0 得到一个商S1 和一个余数R1

50、 ； R1 0，则 R1 为 m，n 的最大公约数；若R1 0 ，则用除数R0 除以余数R1 得到一个依次计算直至S2 和一个余数R2 ； Rn 0，此时所得到的Rn ?1 即为所求的最大公约数。2、更相减损术我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在九章算术中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母 ?子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 翻译为： ：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2 约简；若不是，执（1） 行第二步。：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减（2） 小数。继续这个操作，直到所得的数相等