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1、对数函数的图象及性质【知识梳理】1对数函数的定义函数logayx (0a，且1a) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是0,2对数函数的图象与性质1a01a图象性质定义域：0,值域：R过点1,0，即当1x时，0y在0,上是增函数在0,上是减函数3对数函数与指数函数的关系指数函数xya和对数函数logayx(0a，且1a) 互为反函数【常考题型】题型一、对数函数的概念【例 1】判断以下函数是否是对数函数？并说明理由2logayx(0a，且1a) ；2log1yx；82logyx；logxya(0 x，且1x)；5logyx. 解 中真数不是自变量x，不是对数函数；精选学习资料 - - -
2、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页中对数式后减1，不是对数函数；中8log x前的系数是2，而不是1，不是对数函数；中底数是自变量x，而非常数a，不是对数函数为对数函数【类题通法】判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如logayx(0a且1a) 的形式，即必须满足以下条件：系数为1. 底数为大于0且不等于1的常数对数的真数仅有自变量x. 【对点训练】函数21fxaa1logax是对数函数，则实数a_. 解析：211aa，解得0a或1. 又10a，且11a，1a. 答案：1题型二、对数函数的图象【例 2】(1) 函数
3、log12ayx(0a，且1a) 的图象恒过点 _(2) 如下图的曲线是对数函数logayx，logbyx，logcyx，logdyx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为 _ 解析 (1) 因为函数logayx(0a，且1a) 的图象恒过点1,0，则令1 1x得0 x，此时log122ayx，所以函数log12ayx(0a，且1a) 的图象恒过点0, 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页(2) 由图可知函数logayx，logbyx的底数1a，1b， 函数logcyx，logdyx的底数01c,01d. 过点0,
4、1作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然1badc. 答案 (1)0, 2 (2)1badc【类题通法】1对数函数图象过定点问题求函数logaymfx(0a，且1a) 的图象过的定点时，只需令1fx求出x，即得定点为, x m2对数函数图象的判断根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线1y与所给图象相交， 交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小【对点训练】已知0a，且1a，则函数xya与logayx的图象只能是 ( ) 解析：选B 法一：假设01a，则函数xya的图象下降且过点0,1
5、，而函数logayx的图象上升且过点1,0，以上图象均不符合假设1a，则函数xya的图象上升且过点0,1，而函数logayx的图象下降且过点1,0，只有 B中图象符合法二：首先指数函数xya的图象只可能在上半平面，函数logayx的图象只可能在左半平面，从而排除A，C；再看单调性，xya与logayx的单调性正好相反，排除D.只有 B中图象符合 . 题型三、与对数函数有关的定义域问题【例 3】求以下函数的定义域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页(1)5log1yx；(2)1log5xy；(3)ln 43xyx； (4
6、)0.5log43yx 解 (1) 要使函数式有意义，需10 x，解得1x，所以函数5log1yx的定义域是1x x(2) 要使函数式有意义，需1011xx，解得1x，且0 x，所以函数1log5xy的定义域是10 x xx且(3) 要使函数式有意义，需4030 xx，解得4x，且3x，所以函数ln 43xyx的定义域是43x xx且(4) 要使函数式有意义，需0.5430log430 xx，解得314x，所以函数0.5log43yx的定义域是314xx【类题通法】求对数函数定义域应注意的问题定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，假设自
7、变量在真数上，则必须保证真数大于0；假设自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1. 【对点训练】求以下函数的定义域：(1)21logyx；(2)lg3yx；(3)2log164xy；(4)1log3xyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页解： (1) 要使函数式有意义，需20log0 xx，解得0 x，且1x. 函数21logyx的定义域是01x xx且(2) 要使函数式有意义，需30lg30 xx，即3031xx，解得4x. 所求函数的定义域是4x x(3) 要使函数式有意义，需1640 x，解得2x. 所求函数
8、的定义域是2x x(4) 要使函数式有意义，需301011xxx，解得13x，且2x. 所求函数的定义域是132xxx且【练习反馈】1函数11fxxlg 1x的定义域是 ( ) A, 1B1,C1,11,D,解析：选C 由题意知1010 xx，解得1x且1x. 2当1a时，函数logayx和1ya x的图象只能是 ( ) 解析：选B 因为1a，所以logayx为增函数，且函数图象过定点1,0，故排除C，D.又10a，所以直线1ya x应过原点，且经过第二象限和第四象限故选B. 3已知对数函数过点2,4，则fx的解析式为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
9、- - - - -第 5 页，共 6 页解析：设logafxx，则由2log 24af得42a，42a，42logfxx. 答案：42logfxx4函数2xfxalog11ax(0a，1a) 的图象必经过点_解析：当2x时，02falog 12a，所以图象必经过点2,2答案：2,25已知3logfxx. (1) 作出这个函数的图象；(2) 假设2f af，利用图象求a的取值范围解： (1) 作出函数3logyx的图象如下图(2) 令2fxf，即3log x3log 2，解得2x. 由图象知：当02a时，恒有2f af所求a的取值范围为02a. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页