2022年高考数学复习知识点按难度与题型归纳 .pdf-淘文阁

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1、C、 1012，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力C1.线段的定比分点公式设111(,)P x y，222(,)P xy，( , )P x y是线段12PP的分点，是实数，且12PPPP （或P2P=1P1P），则121211xxxyyy121OPOPOP12(1)OPtOPt OP （11t）推广 1：当1时，得线段21PP的中点公式：121222yyyxxx推广 2：MBAM则1PBPAPM（对应终点向量）三角形重心坐标公式：ABC的顶点332211,yxCyxByxA，重心坐标yxG,：12312333xxxxyyyy注意：在 ABC中，若 0 为重心，则0OCOBOA，这是充

2、要条件【公式理解】：*1. 是关键 (1) ( 内分 ) 0 (外分 ) 0 ( -1) (外分 ) 0 (-10) 若 P与 P1重合， =0 P与 P2重合，不存在 P 离 P2 P1无穷远， =1*2. 中点公式是定比分点公式1的特例；*3. 始点终点很重要，如若P分21PP的定比 =21，则 P分12PP的定比 =2；*4.12, ,x xx知三求一；*5. 利用有界性可求一些分式函数取值范围；*6.OP12OAOB则121是三点、、PAB共线的充要条件. C 2. 抽象函数抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递

3、推式等）的函数问题. 求解抽象函数问题的常用方法是：(1) 借助模型函数探究抽象函数：正比例函数型：( )f xcx()( )( ),(1)f xyf xfyfc. 指数函数型：( )xf xa( )()()()( )( ),(1,)0f xfxyfyf xyf x f yfa. 对数函数型：( )logaf xx()( )(),()( )( ),( )1(0,1)xffxfyyf xyf xfyf aaa. 幂函数型：( )f xx()( ) ( ),(1)f xyf x f yf,( )()( )xf xfyfy. 三角函数型：( )cosf xx,( )sing xx,()( ) ( )

4、( ) ( )f xyf x f yg x g y,0sin(0)1,lim1xxfx. OBAP1PP2P1P2PP2P1PP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 39 页( )f xtanx,( )()()1( )()f xfyf xyfx fy. （2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：（3）利用一些方法（如赋值法（令x0 或 1，求出(0)f或(1)f、令yx或yx等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。C 3. 函数图像的对称性(1) 一个函数图像自身的对称性性质 1：对于函数( )y

5、fx，若存在常数, ,a b 使得函数定义域内的任意x，都有的图像关于直线2abx对称. 【注】：()()(0)f amxf bmxm亦然 . 【特例】，当 ab时，()()( )f axf axf x的图像关于直线xa对称 . 【注】：( )(2)f xfax亦然 . 性质 2：对于函数( )yf x，若存在常数, ,a b 使得函数定义域内的任意x，都有()()f axf bx( )fx的图像关于点(,0)2ab对称 . 【特例】：当 ab时，()()( )f axf axf x的图像关于点( ,0)a对称 . 【注】：( )(2)f xfax亦然 . 事实上，上述结论是广义奇

6、( 偶 ) 函数的性质 . 性质 3：设函数( )yf x，如果对于定义域内任意的x，都有()()f amxf bmx( , ,0)a b mRm且，则( )yf x的图像关于直线2abx对称 .( 这实际上是偶函数的一般情形) 广义偶函数 . 性质 4：设函数( )yf x，如果对于定义域内任意的x，都有()()f amxf bmx( , ,0)a b mRm且，则( )yf x的图像关于点(2ab,0) 对称 .( 实际上是奇函数的一般情形) 广义奇函数 . 【小结】函数对称性的充要条件函数关系式 ( xR ) 对称性( )()ffxx函数( )f x图像是奇函数( )()ffxx函数(

7、)f x图像是偶函数( )(2)f xfax或()()f axf ax函数( )f x图像关于直线xa对称( )2(2)f xbfax或()2()f axbf ax函数( )f x图像关于点( , )P a b对称【注】：这里代数关系式中两个“f” （对应法则）内的“x” （变量）前的正负号相异，如果把两个“f”放在“”的两边，则“f”前的正负号也相异.因为对称性关乎翻转. (2) 两个函数图像之间的对称性1. 函数( )yfx与( )yf x的图像关于直线0y对称 . 2. 函数( )yfx与()yfx的图像关于直线0 x对称 . 3. 函数( )yfx与()yfx的图像关于原点(0

8、,0)对称 . 4. 函数( )yfx与它的反函数1( )yfx 的图像关于直线yx 对称 . 5. 函数()yf amx与()yf bmx的图像, ,0a b mR m() 关于直线2baxm对称 . 特别地，函数()yf ax与()yf bx的图像关于直线2bax对称 . C4.几个函数方程的周期( 约定0a) (1) 若( )()f xf xa，或()()22af xf xa，则( )f x的周期 Ta ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 39 页(2) 若( )()0f xf xa，或1( )()1( )f xf

9、xaf x，或()()22ffaaxx，或fxafxa，或1fxafx( ( )0)f x，或faxfaxfx为偶函数，或faxfaxfx为奇函数，或faxfaxfx为偶函数，或21( )( )(),( )0,1 )2f xfxf xaf x，则( )f x的周期2Ta ；(3) 若1( )1( )0)()f xf xfxa，则( )f x的周期3Ta ；(4) 若faxfaxfx为偶函数，或faxfaxfx为奇函数，或fxafxa，或1( )()1( )f xf xaf x，或1( )()1( )f xf xaf x，或121212()()()1()()f xfxf xxf xf x且121

10、2( )1( ()()1,0|2 )f af xfxxxa ，则( )f x的周期4Ta ；(5) 若( )()(2 )(3 )(4 )f xf xaf xaf xaf xa( )()(2 )(3 )(4 )f xf xaf xaf xaf xa ，则( )f x的周期5Ta ；(6) 若()( )()f xaf xf xa，则( )f x的周期6Ta. 【说明】函数yfx满足对定义域内任一实数x（其中a为常数） , 都有等式成立. 上述结论可以通过反复运用已知条件来证明. C5.对称性与周期性的关系定理 1：若定义在R上的函数( )f x的图像关于直线xa和 xb()ab对称，则( )f x

11、是周期函数，且2 ab是它的一个周期. 推论 1：若函数( )f x满足()()f axf ax及()()f bxf bx()ab，则( )f x是以2 ab为周期的周期函数 . 定理 2：若定义在R上的函数( )f x的图像关于点( ,0)a和直线 xb()ab对称，则( )f x是周期函数，且4 ab是它的一个周期. 推论 2：若函数( )f x满足()()f axf ax及()()f bxf bx()ab，则( )f x是以4 ab为周期的周期函数. 定理 3：若定义在R上的函数( )f x的图像关于点0( ,)a y和0( ,)b y()ab对称，则( )f x是周期函数，且2 ab是

12、它的一个周期. 推论 3：若函数( )f x满足0()()2f axf axy及0()()2f bxf bxy()ab，则( )f x是以2 ab为周期的周期函数. C6.函数图象的对称轴和对称中心举例函数满足的条件对称轴 ( 中心 ) 满足xafxaf的函数xfy的图像或xafxfxafxf2,2 ax满足faxfax的函数xfy的图像或2,2fxfaxfxfax ,0a满足xbfxaf的函数xfy的图像2bax满足faxf bx的函数xfy的图像,02ab满足xfxf的函数xfy的图像 ( 偶函数 ) 0 x满足fxfx的函数xfy的图像 ( 奇函数 ) 0,0精选学习资料 -

13、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 39 页满足xafy与xbfy的两个函数的图像2abx满足xfy与xfy的两个函数的图像0 x满足xfy与xfy的两个函数的图像0yC7.函数周期性、对称性与奇偶性的关系1、定义在R上的函数( )f x, 若同时关于直线xa和2xa对称 , 即对于任意的实数x, 函数( )fx同时满足()()f axf ax，(2)(2)fa xfax，则函数( )f x是以2Ta为周期的周期函数，且是偶函数. 2、定义在R上的函数( )f x, 若同时关于直线xa和点(2 ,0)a对称 , 即对于任意的实数x, 函数(

14、 )f x同时满足()()f axf ax，(2)(2)faxfax，则函数( )f x是以4Ta为周期的周期函数，且是奇函数 . 3、定义在R上的函数( )f x, 若同时关于点( ,0)a和直线2xa对称 , 即对于任意的实数x, 函数( )f x同时满足()()f axf ax，(2)(2)faxfa x，则函数( )f x是以4Ta为周期的周期函数，且是偶函数 . 4、定义在R上的函数( )f x, 若同时关于点( ,0)a和点(2 ,0)a对称 , 即对于任意的实数x, 函数( )fx同时满足()()f axf ax，(2)(2)fa xfa x，则函数( )f x是以2Ta为周期的

15、周期函数，且是奇函数. 5、若偶函数( )f x关于直线xa对称，即对于任意的实数x, 函数( )f x满足()()f axf ax，则( )f x是以2Ta为周期的周期函数. 6、若偶函数( )f x关于点( ,0)a对称，即对于任意的实数x, 函数( )fx满足()()f axf ax，则( )f x是以4Ta为周期的周期函数. 7、若奇函数( )f x关于直线xa对称，即对于任意的实数x, 函数( )f x满足()()f axf ax，则( )f x是以4Ta为周期的周期函数. 8、若奇函数( )f x关于点( ,0)a对称，即对于任意的实数x, 函数( )fx满足()()

16、f axf ax，则( )f x是以2Ta为周期的周期函数. 【拓展】：1、若函数()yf xa为偶函数，则函数)(xfy的图像关于直线xa对称 . 2、若函数()yf xa为奇函数，则函数)(xfy的图像关于点( ,0)a对称 . 3、定义在R上的函数( )f x满足()()f axf ax，且方程( )0f x恰有2n个实根，则这2n个实根的和为2na. 4、定义在R上的函数)(xfy满足()()( , ,)f axf bxc a b c 为常数，则函数)(xfy的图像关于点(, )22a b c对称 . C8.关于奇偶性与单调性的关系. 如果奇函数)(xfy在区间0,上是递增的 , 那

17、么函数)(xfy在区间,0上也是递增的 ; 如果偶函数)(xfy在区间0,上是递增的 , 那么函数)(xfy在区间,0上是递减的 ; 【思考】：结论推导C 9. 几何体中数量运算导出结论数量运算结论涉及到几何体的棱、侧面、对角面、截面等数量关系及几何性质. 1. 在长方体( , , )a b c中：体对角线长为222cba，外接球直径2222Rabc；棱长总和为4()abc；全 ( 表) 面积为2()abbcca，体积Vabc；体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,则有cos2+cos2+cos2=1， sin2+sin2+sin2=2. 体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,则有

18、cos2+cos2+cos2=2， sin2+sin2+sin2=1. 2. 在正三棱锥中：侧棱长相等( 侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心；侧棱两两垂精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 39 页a33a36a3212Va63a1arccos33arccos3C B A P直( 两对对棱垂直 )顶点在底上射影为底面垂心；斜高长相等( 侧面与底面所成角相等)且顶点在底上在底面内顶点在底上射影为底面内心. 3. 在正四面体中：设棱长为a，则正四面体中的一些数量关系：全面积23Sa；体积3212Va；对棱间的距离22d

19、a；相邻面所成二面角13arccos；外接球半径64Ra；内切球半径612ra；正四面体内任一点到各面距离之和为定值63ha. 4. 在立方体中：设正方体的棱长为a，则体对角线长为a3，全面积为26a，体积3Va，内切球半径为1r, 外接球半径为2r, 与十二条棱均相切的球半径为3r,则12ra,223ra,222ra, 且123123rrr:【点拨】：立方体承载着诸多几何体的位置关系特征，只要作适当变形，如切割、组合、扭转等处理，便可产生新几何体. 貌似新面孔，但其本原没变.所以，在求解三棱椎、三棱柱、球体等问题时，如果一般识图角度受阻，不妨尝试根据几何体的结构特征，构造相应的“正方

20、体”，将问题化归到基本几何体中，会有意想不到的效果. 5. 在球体中：球是一种常见的简单几何体球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点球面是到球心的距离等于定长( 半径 ) 的点的集合球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件，先寻求球面上两点间的弦长”，因为此弦长既是球面上两点间的弦长，又是大圆上两点间的弦长球心和截面圆的距离d与球的半径R及截面圆半径r之间的关系是22rRd. 掌握球面上两点A、B间的距离求法：计算线段AB的长；计算球心角AOB

21、的弧度数；用弧长公式计算劣弧AB的长 . 【注】：“经度是小小半径所成角，纬度是大小半径的夹角”. 【补充】：一、四面体1对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心；四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为 31；12 个面角之和为720，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为1802直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于

22、平面几何的直角三角形（在直角四面体中，记V、 l 、S、R、r 、h 分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：S2ABC+S2BCD+S2 ABD=S2ACD 3等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体（在等腰四面体ABCD 中，记 BC = AD =a，AC = BD = b ，AB = CD = c ，体积为 V，外接球半径为R，内接球半径为r ，高为 h），则有等腰四面体的体积

23、可表示为22231222222222cbabacacbV；等腰四面体的外接球半径可表示为22242cbaR；等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为OABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 39 页22232cbam；h = 4r二、空间正余弦定理空间正弦定理：sin ABD/sin A-BC-D=sin ABC/sin A-BD-C=sin CBD/sin C-BA-D 空间余弦定理：cosABD=cos ABCcos CBD+sinABCsinCBDcos A-BC-D 6. 直角四面体的性质：在直

24、角四面体OABC中,OA OB OC两两垂直 , 令,OAa OBb OCc, 则底面三角形ABC为锐角三角形；直角顶点O在底面的射影H为三角形ABC的垂心；2BOCBHCABCSSS；2222AOBBOCCOAABCSSSS；22221111OHabc；外接球半径R=22212abcR. 7. 球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长 (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长 (3)球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为61

25、2a, 外接球的半径为64aC10.圆锥曲线几何性质如果涉及到其两“焦点”，优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其“焦点”、“准线”或“离心率”，优先选用圆锥曲线第二定义；此外，如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF圆锥曲线第二定义（统一定义）：平面内到定点F和定直线 l 的

26、距离之比为常数e的点的轨迹简言之就是“e点点距点线距（数的统一）”，椭圆，双曲线，抛物线相对关系（形的统一）如右图. 当10e时，轨迹为椭圆；当1e时，轨迹为抛物线；当1e时，轨迹为双曲线；当0e时，轨迹为圆（ace，当bac, 0时）圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势 . 其中cea，椭圆中21bea、双曲线中21bea. 圆锥曲线的焦半径公式如下图：a exa ex0e1 e=1 a exa ex()a ex2pxasinacos,()bsinbcos(),NyxN的轨迹是椭圆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

27、- - - - -第 6 页，共 39 页特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点. C11.函数图像变换（主要有平移变换、翻折变换、对称变换和伸缩变换等）. 1. 平移变换向量平移法则：yfx按,ah k=() 平移得yfxhk，即,0Fx y按,ah k=() 平移得,0Fxh yk，当0m时，向右平移，0m时，向左平移. 当0n时，向上平移，0n时向下平移 . 对于“从yfx 到yfxhk ”是“左加右减，上加下减”，对于平移向量“,ah k=() ”是“左负右正，上正下负”.【小结

28、】：“按向量平移”的几个结论点( , )P x y按向量( , )ah k平移后得到点(,)P xh yk. 函数( )yf x的图像C按向量( , )ah k平移后得到图像C，则C的函数解析式为()yf xhk. 图像C按向量( , )ah k平移后得到图像C，若C的解析式( )yf x，则C的函数解析式为()yf xhk. 曲线C：( ,)0f x y按向量( , )ah k平移后得到图像C，则C的方程为(,)0f xh yk. 向量( ,)mx y按向量( , )ah k平移后得到的向量仍然为( ,)mx y. 2. 翻折变换(1) 由yfx得到|( ) |yf x，就是把yfx的图像在

29、x轴下方的部分作关于x轴对称的图像，即把x轴下方的部分翻到x轴上方，而原来x轴上方的部分不变. (2) 由 yfx 得到(|)yfx，就是把 yfx 的图像在y轴右边的部分作关于y轴对称的图像，即把y轴右边的部分翻到y轴的左边，而原来y轴左边的部分去掉，右边的部分不变. 3. 伸缩变换(1) 设点,P x y是平面直角坐标系内的任意一点，在变换/0:0 xxyy的作用下，点,P x y对应于点/,Pxy，函数 fx 在变换/0:0 xxyy下得到/1yfx(2) 将yfx的横坐标变为原来的a 倍，纵坐标变为原来的m 倍，得到xymfa即/xaxxyfxymfaymy4. 对称变换(1)

30、函数()yfx的图像可以将函数( )yfx的图像关于y轴对称即可得到；2pd22bla22bla2bdc22bla2bdc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 39 页()轴yyfxyfx(2) 函数( )yfx的图像可以将函数( )yfx的图像关于x轴对称即可得到；轴xyfxyfx(3) 函数()yfx的图像可以将函数( )yfx的图像关于原点对称即可得到；()原点yfxyfx(4) 函数)(yfx的图像可以将函数( )yf x的图像关于直线yx对称得到 . 直线yxyfxxfy(5) 函数)2(xafy的图像可以将函数(

31、)yfx的图像关于直线ax对称即可得到；()直线2xayfxyfax. 【注意】：函数图像平移和伸缩变换应注意的问题(1) 观察变换前后位置变化：. 函数图像的平移、伸缩变换中，图像的特殊点、特殊线也作相应的变换. (2) 观察变换前后量变化：直线、双曲线、抛物线通过伸缩变换后仍分别为直线、双曲线、抛物线，但可以改变直线的倾斜角，双曲线的离心率、抛物线的开口大小及它们的位置；深刻理解圆锥曲线在形和数上的统一. (2) 图像变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数、“函数0kyxkx”及函数0kyxkx等）相互转化 . (3)理解

32、等轴双曲线(0,)axbycadbccxd与反比例函数0kykx图像的本质联系. (4) 应特别重视“二次三项式”、“二次方程”、 “二次函数”、 “二次曲线”之间的特别联系, 理解函数、方程、曲线及不等方程的联系. C 12. 借助图象比较大小C 13. 常用的近似计算公式（当x充分小时）(1)xx2111；xnxn111. (2)(1)1()xxR；xx111. (3)xex1；xxln)1(. (4)xxsin（x为弧度）；xxtan（x为弧度）；tanarcxx（x为弧度） . C 14. 大小比较常用方法：作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；作商（常用于分数指数

33、幂的代数式）；分析法；平方法；分子（或分母）有理化；利用函数的单调性；寻找中间量与“ 0”比，与“ 1”比或放缩法；图像法 .其中比较法（作差、作商）是最基本的方法. C 15. 不定项填空题易误知识点拾遗：(1) 情况存在的“个数”问题空间中到四面体的四个顶点距离都相等的平面个. （7个）；O1C2C3C4Cyx5C6C1yx12yx2yxxyO113logxy2logxy4logxyxyO1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 39 页过直线外一点有个平面与该直线平行（无数个）；一直线与一平面斜交，则平面内有条直线与该直

34、线平行. （0）；3条两两相交的直线可以确定个平面（1个或 3个）；经过空间外一点，与两条异面直线都平行的平面有条（0或1）；3个平面可以把空间分个部分. （4或6或 7或8）；两两相交的 4条直线最多可以确定个平面（6个）；两异面直线成 60，经过空间外一点与它们都成30（45，60，80）的直线有条. （1；2；3；4）；(2) 平面与空间的“区分”问题1. 错误的命题垂直于同一条直线的两直线平行；平行于同一直线的两平面平行；平行于同一平面的两直线平行；过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直；两个不同平面内的两条直线叫做异面直线；一直线与一平面内无数条直线垂直，则该直线与这个平

35、面垂直2. 正确的命题平行于同一条直线的两条直线平行；垂直于同一条直线的两个平面平行；两平面平行，若第三个平面与它们相交且有两条交线，则两直线平行；两相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面(3) 易误提点：0a b是,a b为钝角的必要非充分条件. 截距不一定大于零，可为负数，可为零；0常常会是等式不成立的原因，0模为 0，方向和任意向量平行，却不垂直；在导数不存在的点，函数也可能取得极值；导数为0 的点不一定是极值点，一定要既考虑0()0fx，又要考虑检验“左正右负”或“左负右正”；直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0. C16关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住

36、几何要素的如下对应关系作对比：多面体多边形；面边体积面积；二面角平面角面积线段长； . D、1314，把关题，考点灵活/ 题型新颖 / 方法隐蔽D1.熟知几个重要函数1.( )f xxbax(1) 0,0ab时，( )f x为“双钩函数” ：定义域：(,0)(0,)；值域为(,)bbaa；奇偶性：奇函数（有对称中心）；单调性：在区间(,)bbaa上单调递增；在区间,0),(0bbaa上单调递减 . 极值：bxa时取到极大值，bxa时取到极小值. 记住( )f xxbax(0,0)ab的图像的草图. 不等式性质：0 x时，2( )abf xxbax；精选学习资料 - - - - -

37、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 39 页0 x时，2( )abf xxbax. (2) 0,0ab时，( )fx在区间00,（，）（，）上为增函数 . 【思考】：图像大致如何分布. (3) 常用地，当1ab时，( )1f xxx的特殊性质略. 【探究】：函数( )1f xxbax的图像变化趋势怎样？22,nnbbfxaxfxaxnxxN的有关性质 . 2.(0,)axbycadbccxd化简为，axbycxdbaccdxc定义域：(,)(,)ddcc；值域为ayc的一切实数；奇偶性：不作讨论；单调性：当0bc时，在区间(,)ddcc上单调递增；当0

38、bc时，在区间(,)ddcc上单调递减 . 对称中心是点(, )dacc；两渐近线：直线dcx和直线acy；【注意】：两条渐近线分别由分母为零和分子、分母中x的系数确定 . 平移变换：(0,)axbycadbccxd可由反比例函数(0)bckyx图像经过平移得到；反函数为bdxcxay；【说明】：分式函数(0,)axbycadbccxd与反比例函数(0)ccyx，离心率均为2，同源于yax2abbax(0,0)byaxabx2abbayO0ky0kxyb( , )abO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 39 页双曲线22

39、221yxab. 3. 三次函数图像与性质初步*1. 定义：形如)0(23adcxbxaxy的函数叫做三次函数. 定义域为R, 值域为R. *2. 解析式：一般式：32( )(0)f xaxbxcxd a；零点式：123( )()()()(0)f xa xxxxxxa*3. 单调性：【探究】：要尝试研究一个陌生函数的一些性质，以往在研究二次函数问题时，我们需要考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号. 在研究三角函数问题时，又采用过“五点”作图法. 那三次函数32( )(0)f xaxbxcxd a的图像及性质，要从那里入手呢？再结合探究

40、工具“导数”，我们不妨从函数图像几何特征角度，如零点、极值点、拐点、凹凸性、极值点区间等，确定研究的方向，把握三次函数的一些粗浅性质. )0(23adcxbxaxy所以，2( )32fxaxbxc ，导函数对称轴3xab. 【注意】：拐点横坐标所在处，也有可能是驻点所在处. 2412bac（ “极值判别式” ，当判别式小于等于零时，无极值点）（一）若24120bac令( )0fx，由根与系数关系知：1223xxba，1 23x xca两极值点：aacbbxaacbbx33,332221（ 1）当0a，0b，0c，约定0d，则拐点在y轴左边，极值点分布在y轴左边 . 根据零点的个数，尝

41、试做出如下图像：（ 2）当0a，0b，0c时，拐点在y轴左边，极值点分布在y轴两边，且左极值点绝对值大于右极值点绝对值；x( )fx( )f xOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 39 页abab2 xab2 xab2xabba（ 3）当0a，0b，0c时，拐点在y轴右边，极值点分布在y轴右边，且左极值点绝对值大于右极值点绝对值 . 图略（ 4）当0a，0b，0c时，拐点在y轴右边，极值点分布在y轴两边，且左极值点绝对值小于右极值点绝对值 . 图略（二

42、）若24120bac由212121224124()9bacxxxxx xa知：无极值点，拐点横坐标仍为3ab，所以图像如右图所示. （三）若0即032acb时，0)( xf在 R 上恒成立，即)(xf在),(为增函数 . x(- ，ab3) ab3（ab3，+)( xf的符号+ 0 + )(xf的单调性*4. 极值：函数在某点取得极值的充要条件是什么？等价表述，和单调性的联系 (1) 若230bac，则)(xf在 R上无极值； (2) 若032acb，则)(xf在 R上有两个极值；且)(xf在1xx处取得极大值，在2xx处取得极小值 . *5. 零点个数 ( 根的性质 ) 函数)0()(23

43、adcxbxaxxf的图像与x轴有几个交点？和函数的哪些性质相联系？（联系函数的极值，进行等价转化）一个交点：极大值小于0，或者是极小值大于0. 也可以表述为“极大值与极小值同号”；两个交点：极大值等于零，或者极小值等于零；三个交点：极大值大于零，极小值小于零. D2.几个重要图像 1.yaxb（0ab） 2.ya xb（0ab） 3.yxaxb（0ab） 4.yxaxb（0ab）yxOblaBAMxyO(,0)bayaxbxyOyaxb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 39 页am b（,）a bm（,）a b（,）a

44、m b（,）a bm（ ,）a b（ ,）5.xaybm 6.xaybmD3.函数)()()(xgxfxFy的零点处理：（1）)(xFy的零点（不是点而是数）( )0F x的根( )yF x与x轴的交点的横坐标)(),(xgyxfy的交点问题 . （2）注意讨论周期函数（特别是三角函数）在某区间内零点个数问题. （3）零点存在定理：)(xfy单调且端点值异号012(),xxx使0()0f x. 【说明】：1. 方程0)(xf在),(21kk上有且只有一个实根，与0)()(21kfkf不等价，前者是后者的一个必要而不是充分条件. 特别地，方程)0(02acbxax有且只有一个实根在),(21k

45、k内，等价于0)()(21kfkf，或0)(1kf且22211kkabk，或0)(2kf且22122kabkk. 2.fx在,a b上连续，且0fa f b，则fx在,a b上至少有一个零点（奇数个零点），可能有无数个零点.0f a f b，fx在, a b上可能无零点也可能有无数个零点. 3. 两个相同的根只能算一个零点，零点的表示方法不能用有序实数对,0 x. D4.比例的几个性质比例基本性质：bcaddcba；反比定理：cdabdcba；更比定理：dbcadcba；合比定理；ddcbbadcba；分比定理：ddcbbadcba；合分比定理：dcdcbabadcba；分合比定理：dcdcb

46、abadcba；等比定理：若nnbabababa332211，0321nbbbb，则11321321babbbbaaaann. D5.（1）三角形中的“三线定理”（斯德瓦定理）在ABC中，D是BC上任意一点，则DCBDBCBCABBDACAD222若AD是BC上的中线，2222221acbma；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 39 页若AD是A的平分线，appbccbta2，其中 p为半周长；若AD是BC上的高，cpbpappaha2，其中 p 为半周长（ 2）三角形“五心”的向量性质(P为平面ABC内任意一点 ) ：

47、O为ABC的重心13()POPAPBPC0OAOBOCO为ABC的垂心0OA BCOB CAOC ABOA OBOB OCOC OA222222OABCOBCAOCAB；O为ABC的内心|()()()ABACBABCCACBOAOBOCABACBABCCACB()|0PAPBPCABBCCA POBCCAABO为ABC的外心()()()0OAOBABOBOCBCOCOACA,OA ABOB BA OB BCOC CB OC CAOA AC222OAOBOC ；O为ABC中A的旁心|OAOBOCBCACAB；D6.含绝对值不等式(1) 复数集内的三角形不等式：121212zzzzzz其中左边在复

49、：222()22ababab（当a = b时，222()22ababab）【注意】：( ,)2ababa bR，2() ( ,)2ababa bR22223()()3()abcabcabbcca ( 当且仅当abc时取“ =”号) 2、均值不等式：两个正数ba、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均”2222“”1122ababababababab（当且仅当时取）【拓展】：BCM FHA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 39 页幂平均不等式：2222121

50、21.(.)nnaaaaaan( , ,)a b cR abc时取等 “算术平均几何平均（a1、a2an为正数）”：1212nnnaaaa aan（a1=a2=an时取等）3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：3322aba bab3332223()()abcabcabc abcabacbc3333abcabc（0abc等式即可成立，时取等或0cbacba）；33abcabc3()3abcabc3333abc4、柯西不等式：（代数形式）设dcba,均为实数，则22222()()()abcdacbd，其中等号当且仅当bcad时成立 . （向量形式）设，为平面上的两个向量，则| |

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