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1、1 第 2 章解三角形2.1.1 正弦定理教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用. 教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程：一、复习准备：1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？内角和、大边对大角是否可以把边、角关系准确量化？引入课题：正弦定理二、讲授新课
2、：1. 教学正弦定理的推导：特殊情况：直角三角形中的正弦定理：sin A=casinB=cbsinC=1 即 c=sinsinsinabcABC. 能否推广到斜三角形？先研究锐角三角形，再探究钝角三角形当ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sinsinCDaBbA,则sinsinabAB. 同 理 ，sinsinacAC 思 考 如 何 作高？，从而sinsinsinabcABC. * 其 它 证 法 ： 证 明 一 ： 等 积 法 在 任 意 斜 ABC当 中SABC=111sinsinsin222abCacBbcA. 两边同除以12abc即得：sinaA
3、=sinbB=sincC. 证明二： 外接圆法如下图，A D，2sinsinaaCDRAD，同理sinbB=2R，sincC 2R. abcOBCAD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页2 证明三：向量法过A 作单位向量j垂直于AC，由AC+CB=AB边同乘以单位向量j得 . 正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值. 2. 教学例题：出例如1：在ABC中，已知045A，060B，42acm ，解三角形. 分析已知条件
4、讨论如何利用边角关系示范格式小结：已知两角一边出例如2：06,45 ,2,ABCcAabB C中，求 和. 分析已知条件讨论如何利用边角关系示范格式小结：已知两边及一边对角练习：03,60 ,1,ABCbBcaA C中，求 和. 在ABC中，已知10acm ，14bcm，040A，解三角形角度精确到01，边长精确到1cm讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？3. 小结： 正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论. 三、稳固练习：1.已知ABC 中，A=60 ，3a，求sinsinsinabcABC. 2. 作业：教材P5 练习 1 (2) ， 2
5、题 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页3 2.1.2 余弦定理一教学要求：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用. 教学难点：向量方法证明余弦定理. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：正弦定理的文字语言？符号语言？基本应用？2. 练习：在ABC 中，已知10c， A=45 ，C=30 ，解此三角形. 变式3. 讨论：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？二、讲授新课：1. 教学余弦定理的推导：如图在ABC中
6、，AB、BC、CA的长分别为c 、 a 、b. ACABBC，()()ACACABBCABBC?222ABABBCBC?222| |cos(180)ABABBCBBC?222coscacBa. 即2222cosbcaacB，试证：2222cosabcbcA，2222coscababC. 提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 用符号语言表示2222cosabcbcA，等；基本应用：已知两边及夹角讨论：已知三边，如何求三角？余弦定理的推论：222cos2bcaAbc， 等 . 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？2. 教学例题：出例如1
7、：在ABC 中，已知2 3a，62c，060B，求 b 及 A. 分析已知条件讨论如何利用边角关系示范求b 讨论：如何求A？两种方法答案：2 2b，060A小结：已知两边及夹角cabABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页4 在ABC 中，已知13acm，8bcm，16ccm，解三角形. 分析已知条件讨论如何利用边角关系分三组练习小结：已知两角一边3. 练习：在 ABC 中，已知a 7， b 10， c 6，求 A、B 和 C. 在 ABC 中，已知a 2， b 3， C 82，解这个三角形. 4. 小结： 余弦定
8、理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边 . 三、稳固练习：1. 在ABC 中，假设222abcbc，求角A. 答案：A=12002. 三角形ABC 中， A 120， b 3， c 5，解三角形. 变式：求sinBsinC；sin B sinC. 3. 作业：教材P8 练习 1、 2 1题 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页5 2.1 .3 正弦定理和余弦定理练习教学要求：进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、
9、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式. 教学重点：熟练运用定理. 教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化. 教学过程：一、复习准备：1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式. 2. 讨论各公式所求解的三角形类型. 二、讲授新课：1. 教学三角形的解的讨论：出例如1：在 ABC 中，已知以下条件，解三角形. (i) A6， a 25， b 502；(ii ) A6， a 252， b 502；(iii ) A6，a5063，b 502；(iiii ) A6，a 50，b 502. 分两组练习讨论：解的个数情况为何会发生变化？用如以下图示分析解的情况. A
10、为锐角时 练习：在ABC 中，已知以下条件，判断三角形的解的情况. (i) A23，a25，b 502；(ii ) A23，a 25，b 102例 1.根据以下条件，判断解三角形的情况(1) a 20， b 28， A 120.无解(2) a 28， b 20， A 45；一解(3) c 54， b 39， C 115；一解(4) b 11， a 20， B 30；两解2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：babababaa已知边 a,b 和A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a bCH=bsinAaba=CH=bsinAaabsinA 有两解ab有一解ab有一解三、课堂精讲例题问题一：利用正弦定
11、理解三角形【例 1】 在ABC中， 假设5b，4B,1sin3A， 则a.5 23【例 2】在 ABC中，已知a=3,b=2,B=45 , 求 A、 C 和c. 【适时导练】1. 1 ABC中，a=8,B=60 ,C=75 , 求b; 2 ABC中， B=30 , b=4,c=8,求 C、 A、 a. . 问题二：利用余弦定理解三角形【例 3】设ABC的内角CBA、所对的边分别为cba、. 已知1a，2b，41cosC. 求ABC的周长； 求CAcos的值 .【例 4】 2010 重庆文数设的内角A、 B、 C 的对边长分别为a、b、c, 且 3+3-3=4bc . ( ) 求 sinA的值；
12、 ( ) 求的值 . 【适时导练】2 在 ABC中，a、b、c分别是角A， B，C的对边，且CBcoscos=-cab2. 1求角B的大小； 2假设b=13，a+c=4，求 ABC的面积 . 问题三：正弦定理余弦定理综合应用【例 5】 2011 山东文数 在ABC 中，内角A， B，C 的对边分别为a，b，ABC2b2c2a22sin()sin()441cos2ABCA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页15 c已知 I求的值；II 假设cosB=，ABC的周长为5，求b的长。【例 6】 2009 全国卷理在中，内
13、角 A、 B、 C 的对边长分别为、，已知，且求 b3 在 ABC 中， a、b、c 分别是角A、B、C 的对边， 且 8 sin22BC 2 cos 2A 7 1求角A 的大小； 2假设a3， b c 3，求 b 和 c 的值问题四：三角恒等变形【例 7】 08 重庆设ABC的内角A， B， C 的对边分别为a,b,c，且 A=60， c=3b. 求：ac的值； cotB +cot C的值 . 4. 2009江 西 卷 理 中 ，所 对 的 边 分 别 为，,. 1求； 2假设, 求.问题五：判断三角形形状【例 8】在 ABC 中，在ABC中，a,b,c分别是角A、 B、 C 所对的边，bc
14、osA acosB，试判断ABC三角形的形状. 【例 9】. 在 ABC 中，在ABC中，a,b,c分别是角A、B、C 所对的边，cosA-2cos C2c-a=cosBbsinsinCA14ABCabc222acbsincos3cossin,ACACABC,A B C, ,a b csinsintancoscosABCABsin()cosBAC,A C33ABCS,a c精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页16 假设cosAcosBba，【适时导练】5. 在 ABC 中，假设2cosBsinA sinC ，则 A
15、BC 的形状一定是A. 等腰直角三角形B . 直角三角形C. 等腰三角形D. 等 边 三角形 6.在 ABC 中，a、b、c 分别表示三个内角A、B、C 的对边，如果a2+b2 sin A - B =a2- b2 sin A +B ，判断三角形的形状. 问题六：与其他知识综合【例 10】 已知向量(, ),(,),0ac bac ba 且mnm n，其中 A，B，C是 ABC的内角，a,b,c 分别是角A，B，C 的对边. 1求角C 的大小； 2求sinsinAB的取值范围. 7 2009 浙江文在中，角所对的边分别为，且满足， I 求的面积； II 假设，求的值问题 7：三角实际应用【例11】要测量对岸A、 B 两点之间的距离，选取相距3km 的 C、 D两点，并测得ACB =75， BCD =45， ADC =30， ADB =45，求 A、 B 之间的距离. ABC,A B C, ,a b c2 5cos25A3AB ACABC1ca精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页17 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页