《2022年初中数学锐角三角函数提高题与常考题型和培优题 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年初中数学锐角三角函数提高题与常考题型和培优题 .pdf（46页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习必备欢迎下载锐角三角函数提高题与常考题和培优题(含解析 )一选择题（共11小题）1如果把一个锐角 ABC的三边的长都扩大为原来的3 倍，那么锐角 A 的余切值（）A扩大为原来的 3 被B缩小为原来的C没有变化D不能确定2在 ABC中， C=90 ，AB=5，BC=4 ，那么 A 的正弦值是（）ABC D3已知在 RtABC中， C=90 ，A= ，BC=2 ，那么 AB的长等于（）AB2sin CD2cos4如果锐角 的正弦值为，那么下列结论中正确的是（）A=30B=45 C30 45 D45 605如图，在 44 的正方形方格中， ABC和DEF的顶点都在边长为1 的小正方形顶点上，则
2、tanACB的值为（）ABC D36在 RtABC中，各边都扩大 3 倍，则角 A 的正弦值（）A扩大 3 倍B缩小 3 倍C 不变D不能确定7如图，港口 A 在观测站 O 的正东方向， OA=6km，某船从港口 A 出发，沿北偏东 15 方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东60 的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 46 页学习必备欢迎下载A3km B3km C4 km D （33）km8如图，在 22 的网格中，以顶点O 为圆心，以 2 个单位长度为
3、半径作圆弧，交图中格线于点 A，则 tanABO的值为（）AB2 CD39如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点 A，B，C都在格点上，则 ABC的正切值是（）A2 BCD10如图，点 D（0，3） ，O（0，0） ，C（4，0）在 A上，BD是A 的一条弦，则 sinOBD= （）ABC D11如图，已知在 RtABC中， ABC=90 ，点 D 沿 BC自 B 向 C运动（点 D 与点 B、C不重合） ，作 BEAD于 E ，CF AD于 F，则 BE +CF的值（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 46 页学习必备
4、欢迎下载A不变B增大C减小D先变大再变小二填空题（共12小题）12如果等腰三角形的腰与底边的比是5：6，那么底角的余弦值等于13如图， ABC中C=90 ，若 CD AB于 D，且 BD=4，AD=9，则 tanA=14如图，在 ABC中， C=90 ，AC=3 ，BC=2 ，边 AB的垂直平分线交 AC边于点 D，交 AB边于点 E，联结 DB，那么 tanDBC的值是15如图，小明家所在小区的前后两栋楼AB、CD，小明在自己所住楼AB 的底部 A 处，利用对面楼CD墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼AB顶部 B 处的仰角是 ，若 tan=0.45 ，两楼的间距为30 米，则小明家所住楼A
5、B的高度是米16如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C 、D 都在这些小正方形的顶点上， AB，CD相交于点 P，则的值=，tanAPD的值=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 46 页学习必备欢迎下载17如图，在半径为3 的O 中，直径 AB与弦 CD相交于点 E，连接 AC，BD，若 AC=2 ，则 tanD=18如图，在直角坐标系中，点A，B 分别在 x 轴，y 轴上，点 A 的坐标为（ 1，0） ，ABO=30 ，线段 PQ 的端点 P 从点 O 出发，沿 OBA的边按 O BAO运动一周，同时另一端点Q 随
6、之在 x 轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点 P运动一周时，点 Q 运动的总路程为19如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在 C点测得 ACB=30 ，D 点测得ADB=60 ，又 CD=60m ，则河宽 AB为m（结果保留根号）20如图， AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cosAOB的值是21如图， P（12，a）在反比例函数图象上， PH x 轴于 H，则 tanPOH的值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 46 页学习必备欢迎下载22已知 cos= ，则的值等于23 如图， ABC的三个顶点分别在边长
7、为1 的正方形网格的格点上， 则 tan （ + ）tan +tan （填“ ”“ =”“” ）三解答题（共17小题）24计算： cos245 +?tan30 25计算： 2cos230 sin30 +26如图，在 ABC中， C=150 ，AC=4 ，tanB= （1）求 BC的长；（2） 利用此图形求 tan15 的值 （精确到 0.1， 参考数据：=1.4，=1.7，=2.2）27如图，已知四边形ABCD中， ABC=90 ，ADC=90 ，AB=6，CD=4 ，BC的延长线与 AD的延长线交于点 E（1）若 A=60 ，求 BC的长；（2）若 sinA= ，求 AD的长（注意：本题中的
8、计算过程和结果均保留根号）28如图，在四边形 ABCD中，BCD是钝角，AB=AD ，BD平分 ABC ，若 CD=3 ，BD=，sinDBC=，求对角线 AC的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 46 页学习必备欢迎下载29如图，在 RtABC中，ACB=90 ，AC=BC=3 ，点 D在边 AC上，且 AD=2CD ，DEAB，垂足为点 E，联结 CE ，求：（1）线段 BE的长；（2）ECB的余切值30如图，在正方形 ABCD中，M 是 AD的中点， BE=3AE ，试求 sinECM的值31如图，ABC中，ACB=
9、90 ，sinA= ，BC=8 ，D 是 AB中点，过点 B作直线CD的垂线，垂足为点E（1）求线段 CD的长；（2）求 cosABE的值32如图，已知 MON=25 ，矩形 ABCD的边 BC在 OM 上，对角线 AC ON当AC=5时，求 AD 的长 （参考数据： sin25 =0.42；cos25=0.91；tan25 =0.47，结精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 46 页学习必备欢迎下载果精确到 0.1）33 一副直角三角板如图放置， 点 C在 FD的延长线上，ABCF ， F=ACB=90 ，E=45 ，A=6
10、0 ，BC=10，试求 CD的长34已知：如图，在 ABC中，ABC=45 ，AD是 BC边上的中线，过点 D 作 DEAB于点 E，且 sinDAB= ，DB=3求：（1）AB的长；（2）CAB的余切值35数学老师布置了这样一个问題：如果 ，都为锐角且 tan= ，tan= 求 +的度数甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题他们分别设计了图 1 和图 2（1）请你分别利用图1，图 2 求出 +的度数，并说明理由；（2）请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题：如果 ，都为锐角，当 tan=5 ，tan= 时，在图 3 的正方形网格中，利用已作出的锐角 ，画出 MON，使得 M
11、ON= 求出 的度数，并说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 46 页学习必备欢迎下载36如图，点 P、M、Q 在半径为 1 的O 上，根据已学知识和图中数据（0.97、0.26 为近似数），解答下列问题：（1）sin60 =；cos75 =；（2） 若 MHx 轴， 垂足为 H， MH 交 OP于点 N， 求 MN 的长 （结果精确到 0.01，参考数据：1.414，1.732）37阅读下面的材料：某数学学习小组遇到这样一个问题：如果 ，都为锐角，且 tan= ，tan= ，求 +的度数该数学课外小组最后是这样解决问
12、题的：如图1，把 ，放在正方形网格中，使得 ABD= ，CBE= ，且 BA，BC在直线 BD的两侧，连接 AC （1）观察图象可知： += ；（2） 请参考该数学小组的方法解决问题：如果 ， 都为锐角，当 tan=3 ， tan=时，在图 2 的正方形网格中，画出 MON= ，并求 MON 的度数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 46 页学习必备欢迎下载38阅读下列材料：在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在 RtABC中，ACB=90 ，AB=1 ，A= ，求 sin2 （用含 sin ，cos 的
13、式子表示）聪明的小雯同学是这样考虑的：如图 2，取 AB的中点 O，连接 OC ，过点 C作 CDAB于点 D， 则COB=2 ， 然后利用锐角三角函数在RtABC中表示出 AC， BC ，在 RtACD中表示出 CD ，则可以求出sin2 = =2sin ?cos阅读以上内容，回答下列问题：在 RtABC中， C=90 ，AB=1（1）如图 3，若 BC= ，则 sin =，sin2 =；（2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2的表达式（用含sin ，cos的式子表示）39图 1 是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景图 2 是小明锻炼时上半身由 EM 位置运动到与地面垂直的EN位
14、置时的示意图已知 BC=0.64米， AD=0.24米，=18 （sin18 0.31，cos18 0.95，tan18 0.32）（1）求 AB的长（精确到 0.01 米） ；（2）若测得 EN=0.8米，试计算小明头顶由M 点运动到 N 点的路径弧 MN 的长度（结果保留 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 46 页学习必备欢迎下载40某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A 射出的光线 AB，AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8 和 10 ，大灯 A 与地面离地面的距离为1m 求该车大灯照亮地面的宽度BC （不考虑其
15、它因素） （参数数据：sin8 =，tan8=，sin10 =，tan10 =）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 46 页学习必备欢迎下载锐角三角函数常考题型与解析参考答案与试题解析一选择题（共11小题）1 （2017?奉贤区一模） 如果把一个锐角 ABC的三边的长都扩大为原来的3 倍，那么锐角 A 的余切值（）A扩大为原来的 3 被B缩小为原来的C没有变化D不能确定【分析】根据 ABC三边的长度都扩大为原来的3 倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角 A 的大小没改变和余切的概念解答【解答】解：因为 ABC三边的长度都
16、扩大为原来的3 倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角 A 的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变故选： C【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中， 一个锐角的余切等于它的邻边与对边的比值是解题的关键2 （2017?金山区一模）在 ABC中，C=90 ，AB=5，BC=4 ，那么 A 的正弦值是（）ABC D【分析】 根据 sinA=代入数据直接得出答案【解答】 解： C=90 ，AB=5，BC=4 ，sinA=，故选 D【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中， 锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边3 （2017?浦东新区一模）已知在
17、RtABC中，C=90 ，A= ，BC=2 ，那么 AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 46 页学习必备欢迎下载的长等于（）AB2sin CD2cos【分析】 根据锐角三角函数的定义得出sinA=，代入求出即可【解答】 解：在 RtABC中， C=90 ，A= ，BC=2 ，sinA=，AB=，故选 A【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在RtACB中， ACB=90 ，则 sinA=，cosA=，tanA=4 （2017?静安区一模）如果锐角的正弦值为，那么下列结论中正
18、确的是（）A=30B=45 C30 45 D45 60【分析】 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），可得答案【解答】 解：由，得30 45 ，故选： C【点评】 本题考查了锐角三角形的增减性，当角度在0 90 间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正切值随着角度的增大 （或减小）而增大（或减小） 也考查了互余两角的三角函数之间的关系5 （2017?莒县模拟）如图，在44 的正方形方格中， ABC和DEF的顶点都在边长为 1 的小正方形顶点上，则tanACB的值为（）精选学习资料 - - - - - - - - -
19、 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 46 页学习必备欢迎下载ABC D3【分析】 根据勾股定理即可求出AC 、BC 、DE 、DF 的长度，然后证明 FDE ABC ，所以【解答】 解：由勾股定理可求出： BC=2，AC=2，DF=，DE=，FDE CAB ，DFE= ACB ，tanDFE=tan ACB= ，故选（ B）【点评】 本题考查解直角三角形，涉及勾股定理，相似三角形的判定与性质6 （2017 春?兰陵县校级月考）在RtABC中，各边都扩大 3 倍，则角 A 的正弦值（）A扩大 3 倍B缩小 3 倍C 不变D不能确定【分析】 根据锐角三角函数的定义，可得答案
20、【解答】 解：由题意，得RtABC中，各边都扩大 3 倍，则角 A 的正弦值不变，故选： C【点评】 本题考查了锐角三角函数的定义， 利用锐角三角函数的定义是解题关键7 （2017?兴化市校级一模）如图，港口A 在观测站 O 的正东方向， OA=6km，某船从港口 A 出发，沿北偏东 15 方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 46 页学习必备欢迎下载O处测得该船位于北偏东60 的方向，则该船航行的距离 （即 AB的长）为（）A3km B3km C4 km D （33）km【分析】 根
21、据题意，可以作辅助线ACOB于点 C，然后根据题目中的条件，可以求得 AC和 BC的长度，然后根据勾股定理即可求得AB的长【解答】 解：作 AC OB于点 C，如右图所示，由已知可得，COA=30 ，OA=6km ，AC OB，OCA= BCA=90 ，OA=2AC ，OAC=60 ，AC=3km ，CAD=30 ，DAB=15 ，CAB=45 ，CAB= B=45 ，BC=AC ，AB=，故选 A【点评】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，解答此类问题的关键是明确题意，利用在直角三角形中30 所对的边与斜边的关系和勾股定理解答8 （2017 春?萧山区月考）如图，在22 的网格中，以顶点O
22、 为圆心，以 2 个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 46 页学习必备欢迎下载单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A，则 tanABO的值为（）AB2 CD3【分析】 连接 OA，过点 A 作 AC OB于点 C，由题意知 AC=1 、OA=OB=2 ，从而得出 OC=、 BC=OB OC=2 ， 在 RtABC中， 根据 tanABO=可得答案【解答】 解：如图，连接 OA，过点 A 作 AC OB于点 C，则 AC=1 ，OA=OB=2 ，在 RtAOC中，OC=，BC=OB OC=2 ，在 RtABC中，tanAB
23、O=2+，故选： C【点评】本题主要考查解直角三角形， 根据题意构建一个以 ABO为内角的直角三角形是解题的关键9 （2016?安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点 A，B，C都在格点上，则 ABC的正切值是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 46 页学习必备欢迎下载A2 BCD【分析】 根据勾股定理，可得AC 、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案【解答】 解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，ABC为直角三角形，tanB= ，故选： D【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出 AC、A
24、B的长，再求正切函数10 （2016?攀枝花）如图，点D（0，3） ，O（0，0） ，C （4，0）在A 上，BD是A的一条弦，则 sinOBD= （）ABC D【分析】连接 CD，可得出 OBD= OCD ，根据点 D（0，3） ，C （4，0） ，得 OD=3，OC=4 ，由勾股定理得出CD=5 ，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sinOBD即可【解答】 解： D（0，3） ，C（4，0） ，OD=3，OC=4 ，COD=90 ，CD=5，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 46 页学习必备欢迎下载连接 CD，如图
25、所示：OBD= OCD ，sinOBD=sin OCD=故选： D【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键11 （2016?娄底）如图，已知在RtABC中， ABC=90 ，点 D 沿 BC自 B 向 C运动 （点 D 与点 B、 C不重合） ， 作 BE AD于 E， CF AD于 F， 则 BE+CF的值 （）A不变B增大C减小D先变大再变小【分析】 设 CD=a ，DB=b，DCF= DBE= ，易知 BE +CF=BC?cos ，根据 0 90 ，由此即可作出判断【解答】 解： BE AD于 E，CF AD于 F，CF BE，D
26、CF= DBF ，设 CD=a ，DB=b，DCF= DBE= ，CF=DC?cos ，BE=DB?cos ，BE +CF= （DB+DC ）cos=BC?cos ，ABC=90 ，O 90 ，当点 D 从 BD 运动时， 是逐渐增大的，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 46 页学习必备欢迎下载cos 的值是逐渐减小的，BE +CF=BC?cos 的值是逐渐减小的故选 C【点评】本题考查三角函数的定义、 三角函数的增减性等知识， 利用三角函数的定义，得到 BE +CF=BC?cos ，记住三角函数的增减性是解题的关键，属
27、于中考常考题型二填空题（共12小题）12 （2017?普陀区一模）如果等腰三角形的腰与底边的比是5：6，那么底角的余弦值等于【分析】 如图， ABC中，AB=AC ，AC ：BC=5 ：6，作 AEBC于 E，则 BE=EC ，在 RtAEC中，根据 cosC=，即可解决问题【解答】解：如图，ABC中，AB=AC ，AC：BC=5 ：6，作 AEBC于 E，则 BE=EC ，在 RtAEC中，cosC=，故答案为【点评】本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握所学知识， 掌握等腰三角形中的常用辅助线，属于中考常考题型精选学习资料 - - - - - - -
28、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 46 页学习必备欢迎下载13 （2017?宝山区一模）如图， ABC中C=90 ，若 CDAB于 D，且 BD=4 ，AD=9，则 tanA=【分析】先证明 BDC CDA ，利用相似三角形的性质求出CD的长度，然后根据锐角三角函数的定义即可求出tanA 的值【解答】 解： BCD +DCA= DCA+A=90 ，BCD= A，CD AB，BDC= CDA=90 ，BDC CDA ，CD2=BD?AD ，CD=6 ，tanA=故答案为：【点评】本题考查解直角三角形， 涉及锐角三角函数， 相似三角形的判定与性质14 （2017?
29、青浦区一模）如图，在 ABC中， C=90 ，AC=3 ，BC=2 ，边 AB 的垂直平分线交AC边于点 D，交 AB 边于点 E，联结 DB，那么 tanDBC的值是【分析】由 DE垂直平分 AB，得到 AD=BD ，设 CD=x ，则有 BD=AD=3 x，在直角三角形 BCD中，利用勾股定理求出x 的值，确定出 CD的长，利用锐角三角函数定义求出所求即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 46 页学习必备欢迎下载【解答】 解：边 AB的垂直平分线交 AC边于点 D，交 AB边于点 E，AD=BD ，设 CD=x ，则
30、有 BD=AD=AC CD=3 x，在 RtBCD中，根据勾股定理得：（3x）2=x2+22，解得： x=，则 tanDBC=，故答案为：【点评】此题考查了解直角三角形， 以及线段垂直平分线性质， 熟练掌握性质及定理是解本题的关键15 （2017?黄浦区一模）如图，小明家所在小区的前后两栋楼AB、CD ，小明在自己所住楼 AB的底部 A 处，利用对面楼 CD墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼 AB顶部 B处的仰角是 ，若 tan=0.45 ，两楼的间距为 30 米，则小明家所住楼 AB的高度是27米【分析】 作 PE AB于点 E，在直角 AEP中，利用三角函数求得AE的长，根据AB=2AE
31、即可求解【解答】 解：作 PE AB于点 E，在直角 AEP中， APE= ，则 AE=PE?tan APE=30 0.45=13.5（米） ，则 AB=2AE=27 （米） 故答案是： 27【点评】本题考查解直角三角形、仰角、俯角的定义，解题的关键是记住特殊三精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 46 页学习必备欢迎下载角形的边之间关系，学会把问题转化为方程解决，属于中考常考题型16 （2016?自贡）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上， AB，CD相交于点 P，则的值=3，tan
32、APD的值=2【分析】 首先连接 BE ，由题意易得BF=CF ，ACP BDP ，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP ：CP=1 ：3，即可得 PF ：CF=PF ：BF=1 ：2，在 RtPBF中，即可求得 tanBPF的值，继而求得答案【解答】 解：四边形 BCED是正方形，DB AC，DBP CAP ，=3，连接 BE，四边形 BCED是正方形，DF=CF= CD ，BF= BE ，CD=BE ，BE CD ，BF=CF ，根据题意得： AC BD，ACP BDP ，DP ：CP=BD ：AC=1 ：3，DP ：DF=1 ：2，DP=PF= CF= BF ，在 RtPBF中，ta
33、nBPF=2，APD= BPF ，tanAPD=2 ，故答案为： 3，2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 46 页学习必备欢迎下载【点评】 此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用17 （2016?枣庄）如图，在半径为3 的O中，直径 AB与弦 CD相交于点 E，连接 AC ，BD，若 AC=2 ，则 tanD=2【分析】连接 BC可得 RT ACB ， 由勾股定理求得 BC的长，进而由 tanD=tanA=可得答案【解答】 解：如图，连接
34、BC ，AB是O 的直径，ACB=90 ，AB=6 ，AC=2 ，BC=4，又 D=A，tanD=tanA=2故答案为： 2【点评】 本题考查了三角函数的定义、圆周角定理、解直角三角形，连接BC构造直角三角形是解题的关键精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 46 页学习必备欢迎下载18 （2016?舟山）如图，在直角坐标系中，点A，B 分别在 x 轴，y 轴上，点 A的坐标为（ 1，0） ，ABO=30 ，线段 PQ的端点 P从点 O 出发，沿 OBA的边按 O BAO 运动一周，同时另一端点Q随之在 x 轴的非负半轴上运动
35、，如果PQ=，那么当点 P运动一周时，点 Q 运动的总路程为4【分析】首先根据题意正确画出从O BA运动一周的图形， 分四种情况进行计算：点 P从 O B 时，路程是线段 PQ的长；当点 P从 BC 时（QC AB，C为垂足） ，点 Q 从 O 运动到 Q，计算 OQ的长就是运动的路程；点P 从 C A时，点 Q 由 Q 向左运动，路程为 QQ ；点 P从 AO 时，点 Q 运动的路程就是点 P运动的路程；最后相加即可【解答】 解：在 RtAOB中， ABO=30 ，AO=1，AB=2 ，BO=，当点 P从 O B 时，如图 1、图 2 所示，点 Q 运动的路程为，如图 3 所示， QC AB
36、，则 ACQ=90 ，即 PQ运动到与 AB垂直时，垂足为 P，当点 P从 BC 时，ABO=30 BAO=60 OQD=9060 =30cos30=AQ=2OQ=2 1=1则点 Q 运动的路程为 QO=1，当点 P从 C A 时，如图 3 所示，点 Q运动的路程为 QQ =2 ，当点 P从 AO 时，点 Q 运动的路程为 AO=1，点 Q 运动的总路程为：+1+2+1=4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 46 页学习必备欢迎下载故答案为： 4【点评】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正
37、确画出图形； 线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题19（2016?新疆） 如图， 测量河宽 AB （假设河的两岸平行）， 在 C点测得 ACB=30 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 46 页学习必备欢迎下载D点测得 ADB=60 ，又 CD=60m，则河宽 AB为30m（结果保留根号）【分析】先根据三角形外角的性质求出CAD的度数，判断出 ACD的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出AB的值【解答】 解： ACB=30 ，ADB=60 ，CAD=30 ，AD=CD=60m ，在 RtABD中，
38、AB=AD?sin ADB=60=30 （m） 故答案为： 30 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，难度适中20 （2016?港南区二模）如图， AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cosAOB的值是【分析】 首先连接AB，由勾股定理易求得OA2=12+32=10， AB2=12+32=10，OB2=22+42=20，然后由勾股定理的逆定理，可证得AOB是等腰直角三角形，继而可求得 cosAOB的值【解答】 解：连接 AB，OA2=12+32=10，AB2=12+32=10，OB2=22+
39、42=20，OA2+AB2=OB2，OA=AB ，AOB是等腰直角三角形，即 OAB=90 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 46 页学习必备欢迎下载AOB=45 ，cos AOB=cos45 =故答案为：【点评】此题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理以及勾股定理的逆定理此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用21 （2016?于田县校级模拟）如图， P（12，a）在反比例函数图象上， PHx 轴于 H，则 tanPOH的值为【分析】 利用锐角三角函数的定义求解，tanPOH为POH的对边比邻边，求出
40、即可【解答】 解： P（12，a）在反比例函数图象上，a=5，PH x 轴于 H，PH=5 ，OH=12，tanPOH=，故答案为：【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 46 页学习必备欢迎下载22 （2016?雅安校级模拟）已知cos= ，则的值等于0【分析】 先利用tan=得到原式 =，然后把cos= 代入计算即可【解答】 解： tan=，=，cos= ，=0故答案为 0
41、【点评】 本题考查了同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A=1；正余弦与正切之间的关系（积的关系） ：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即 tanA=或 sinA=tanA?cosA 23 （2016?鞍山二模）如图， ABC的三个顶点分别在边长为1 的正方形网格的格点上，则 tan（ + ）tan +tan （填“ ”“=”“” ）【分析】 根据正切的概念和正方形网格图求出tan 和 tan ，根据等腰直角三角形的性质和 tan45 的值求出 tan（ + ） ，比较即可【解答】 解：由正方形网格图可知，tan= ，tan= ，则 tan +tan= +=，AC=BC
42、，ACB=90 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 46 页学习必备欢迎下载 +=45，tan（ + ）=1，tan（ + ）tan +tan ，故答案为：【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、锐角三角函数的定义以及等腰直角三角形的性质， 熟记特殊角的三角函数值、 正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键三解答题（共17小题）24 （2017?普陀区一模）计算： cos245 +?tan30 【分析】 根据特殊角三角函数值，可得答案【解答】 解：原式 =（）2+=+1=【点评】 本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角
43、函数值是解题关键25 （2017?浦东新区一模）计算： 2cos230 sin30 +【分析】 根据特殊角三角函数值，可得答案【解答】 解：原式 =2（）2+=1+【点评】 本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键26 （2016?连云港）如图，在 ABC中， C=150 ，AC=4 ，tanB= （1）求 BC的长；（2） 利用此图形求 tan15 的值 （精确到 0.1， 参考数据：=1.4，=1.7，=2.2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 46 页学习必备欢迎下载【分析】 （1）过 A 作 A
44、DBC ，交 BC的延长线于点 D，由含 30 的直角三角形性质得 AD= AC=2 ，由三角函数求出CD=2，在 RtABD 中，由三角函数求出BD=16，即可得出结果；（2）在 BC边上取一点 M，使得 CM=AC ，连接 AM，求出 AMC=MAC=15 ，tan15 =tanAMD=即可得出结果【解答】 解： （1）过 A 作 ADBC ，交 BC的延长线于点 D，如图 1 所示：在 RtADC中，AC=4 ，C=150 ，ACD=30 ，AD= AC=2 ，CD=AC?cos30 =4=2，在 RtABD中，tanB=，BD=16 ，BC=BD CD=16 2；（2）在 BC边上取一
45、点 M，使得 CM=AC ，连接 AM，如图 2 所示：ACB=150 ，AMC=MAC=15 ，tan15 =tanAMD=20.270.3【点评】本题考查了锐角三角函数、 含 30 的直角三角形性质、 三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 46 页学习必备欢迎下载27 （2016?包头）如图，已知四边形ABCD中， ABC=90 ，ADC=90 ，AB=6，CD=4 ，BC的延长线与 AD的延长线交于点 E（1）若 A=60 ，求 BC的长；（2
46、）若 sinA= ，求 AD的长（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【分析】 （1）要求 BC的长，只要求出BE和 CE的长即可，由题意可以得到BE和 CE的长，本题得以解决；（2）要求 AD 的长，只要求出AE 和 DE 的长即可，根据题意可以得到AE 、DE的长，本题得以解决【解答】 解： （1）A=60 ，ABE=90 ，AB=6，tanA=，E=30 ，BE=tan60?6=6 ，又 CDE=90 ，CD=4 ，sinE=，E=30 ，CE= =8，BC=BE CE=68；（2） ） ABE=90 ，AB=6 ，sinA= =，设 BE=4x ，则 AE=5x ，得 AB=3x
47、，3x=6，得 x=2，BE=8 ，AE=10 ，tanE=，解得， DE=，AD=AE DE=10 =，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 46 页学习必备欢迎下载即 AD的长是【点评】本题考查解直角三角形， 解题的关键是明确题意， 找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答28 （2016?厦门）如图，在四边形ABCD中，BCD是钝角， AB=AD ，BD平分ABC ，若 CD=3 ，BD=，sinDBC=，求对角线 AC的长【分析】 过 D 作 DE BC交 BC的延长线于 E，得到 E=90 ，根据三角形函数
48、的定义得到 DE=2，推出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得到ACBD，AO=CO ，BO=DO=，根据勾股定理得到结论【解答】 解：过 D 作 DE BC交 BC的延长线于 E，则E=90 ，sinDBC=，BD=，DE=2，CD=3 ，CE=1 ，BE=4 ，BC=3 ，BC=CD ，CBD= CDB ，BD平分 ABC ，ABD= DBC ，ABD= CDB ，ABCD ，同理 ADBC ，四边形 ABCD是菱形，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 46 页学习必备欢迎下载连接 AC交 BD于 O，则 AC BD
49、，AO=CO ，BO=DO=，OC=，AC=2【点评】本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形， 正确的作出辅助线是解题的关键29 （2016?上海）如图，在 RtABC中，ACB=90 ，AC=BC=3 ，点 D 在边 AC上，且 AD=2CD ，DE AB，垂足为点 E，联结 CE ，求：（1）线段 BE的长；（2）ECB的余切值【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出A=B=45 ，由勾股定理求出AB=3，求出 ADE= A=45 ，由三角函数得出AE=，即可得出 BE的长；（2）过点 E作 EHBC ，垂足为点 H，由三角函数求出EH=BH=BE?cos45=2 ，得出 CH=1 ，在
50、 RtCHE中，由三角函数求出cotECB=即可【解答】 解： （1）AD=2CD ，AC=3 ，AD=2 ，在 RtABC中， ACB=90 ，AC=BC=3 ，A=B=45 ，AB=3，DE AB，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 46 页学习必备欢迎下载AED=90 ，ADE= A=45 ，AE=AD?cos45 =2 =，BE=AB AE=3=2，即线段 BE的长为 2；（2）过点 E作 EHBC ，垂足为点 H，如图所示：在 RtBEH中， EHB=90 ，B=45 ，EH=BH=BE?cos45=2 =2，B