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1、精品资料欢迎下载函数的奇偶性的归纳总结考纲要求： 了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。教学目标： 1、理解函数奇偶性的概念；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法；3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法；4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。教学重点： 1、理解奇偶函数的定义；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。教学难点： 1、对奇偶性定义的理解；2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。教学过程：一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(xf，如果对于函数定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么函数)(
2、xf就叫做偶函数。一般地，对于函数)(xf，如果对于函数定义域内任意一个x，都有)()(xfxf,那么函数)(xf就叫做奇函数。理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“ 整体 ” 性质，单调性是一个“ 局部 ” 性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页精品资料欢迎下载奇函数图
3、象关于原点成中心对称的函数，偶函数图象关于y轴对称的函数。4、函数奇偶性的性质：具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说， 函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在 0 处有定义，则f(0)0。奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。 奇函数 f(x)在区间 a,b(0ab)上单调递增（减） ，则 f(x)在区间 b,a上也是单调递增（减） ；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。 偶函数f(x)在区间 a,b（ 0ab）上单调递增（减） ，则 f(x)在区间 b,a上
4、单调递减（增）任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。若函数g(x)，f(x)，fg(x)的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时， y=fg(x)是奇函数； u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= fg(x)是偶函数。复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 5、判断函数奇偶性的方法：、定义法：对于函数( )f x的定义域内任意一个x，都有xfxf或1xfxf或0 xfxf函数 f （x）是偶函数；对于函数( )f x的定义域内任意一个x，都有xfxf或1xfxf或0 xfxf函数 f （x）是奇函数
5、；判断函数奇偶性的步骤：、判断定义域是否关于原点对称；、比较)(xf与)(xf的关系。、扣定义，下结论。、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数是偶函数。 ，、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：奇函数 +奇函数 =奇函数；偶函数+偶函数 =偶函数；奇函数奇函数=偶函数；奇函数偶函数=奇函数。若( )f x为偶函数，则()( )(|)fxf xfx。二、典例分析1、给出函数解析式判断其奇偶性：分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看f(x)与 f(x)的关系 . 【例 1】 判断下列函数的奇偶性：(1)
6、.2( )21;fxxx(2) .223( ),0 ;3xxf xxxxx解：()f x函数的定义域是()，2()21f xxx，2()()21fxxx221()xxf x，2()21f xxx为偶函数。（法 2图象法）：画出函数2( )21f xxx的图象如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页精品资料欢迎下载由函数2()21fxxx的图象可知，2()21f xxx为偶函数。说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性。(2) . 解：由303xx，得x(， 3(3，+).定义域
7、不关于原点对称，故是非奇非偶函数. 【例 2】 判断下列函数的奇偶性：(1). 24( );33xfxx(2) .3( )3sin(2 );2f xx(3). 021()1xfxx。解： (1). 由240330 xx，解得2206xxx且定义域为 2 x0或 0 x2 ，则2244();33xxf xxx. 224()4()( ) ;xxfxf xxx. 24()33xf xx为奇函数 . 说明：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。 (2) . 函数3( )3sin(2 )2f xx定义域为 R，3( )3sin(2 )3cos22
8、f xxx，()3cos2()3cos2( )fxxxfx， 函数3( )3sin(2 )2f xx为偶函数。(3). 由2010 xx，解得01xx，函数定义域为0,1xR xx，又022111()011xf xxx，()0fx，()( )fxfx且()()fxf x，所以022111()011xf xxx既是奇函数又是偶函数。【例 3】 判断下列函数的奇偶性：(1). 20.5()log(1)f xxx；(2). (1) , (0)( )0 ,(0)(1) , (0)xxxf xxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共
9、 7 页精品资料欢迎下载解： (1) . 定义域为 R，220.50.5()()log()1)log(1)fxf xxxxx20.50.5log(1)log10 xx， f(x)=f(x)，所以 f(x)为奇函数。说明：给出函数解析式判断其奇偶性，一般是直接找()fx与()f x关系，但当直接找()fx与( )fx关系困难时， 可用定义的变形式：0 xfxf函数 f（x）是偶函数；0 xfxf函数 f （x）是奇函数。 (2) . 函数的定义域为R，当0 x时，0 ,()()(1)(1)();xfxxxxxfx当0 x时，0 ,()0();xfxf x当0 x时，0 ,()() 1()(1)(
10、 ).xfxxxxxf x综上可知，对于任意的实数x，都有()()fxf x，所以函数()f x为奇函数。说明：分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。分段函数判断奇偶性，也可用图象法。2、抽象函数判断其奇偶性：【例 4】 已知函数()(0) ,fxxRx且对任意的非零实数1 ,2,xx恒有1212()()() ,f xxfxf x判断函数()(0)f xxRx且的奇偶性。解：函数的定义域为(, 0)(0 ,)，令121xx，得(1)0f，令121xx，则2( 1)(1) ,( 1)0 ,fff取121 ,xxx，得()( 1)( ) ,fxffx()( ) ,f
11、xf x故函数()(0)fxxRx且为偶函数。3、函数奇偶性的应用：(1) .求字母的值：【例 5】已知函数21( )(, ,)axfxa b cZbxc是奇函数，又(1)2f，(2)3f，求,a b c的值 . 解：由()( )fxfx得()bxcbxc，0c。又(1)2f得12ab，而(2)3f得4132ab，4131aa，解得12a。又aZ，0a或1a. 若0a，则12bZ，应舍去；若1a，则1bZ b=1Z. 1,1,0abc。说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想( 建立方程或不等式，组成混合组)，使问题得解 . 有时也可用特殊值，如f(1)=f(1)，得 c =0。 (2)
12、.解不等式：【例 6】若 f(x)是偶函数，当x0，+) 时， f(x)=x1，求 f(x1)0 的解集。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页精品资料欢迎下载分析：偶函数的图象关于y 轴对称，可先作出f(x)的图象，利用数形结合的方法. 解：画图可知f(x)0 的解集为x1x1，f(x1)0 的解集为 x0 x2. 答案： x0 x2说明 ：本题利用数形结合的方法解题较快、简捷.本题也可先求f(x)的表达式，再求f(x1)的表达式，最后求不等式的解也可得到结果. (3) . 求函数解析式：【例 7】已知 f(x)是 R
13、 上的奇函数，且x(，0)时，f(x)=xlg(2x)，求 f(x). 分析：先设x0，求 f(x)的表达式，再合并. 解： f(x)为奇函数， f(0)=0. 当 x0时， x0，f(x)=xlg(2+x)，即 f(x)=xlg(2+x)，f(x)=xlg(2+x) (x0). lg(2) (0)()lg(2) (0)xxxf xxxx。说明 ：注意自变量在区间上的转化，分段函数的处理和分类讨论的思想紧密相连。三、巩固训练：一、选择题1.若 y=f(x)在 x0，+) 上的表达式为y=x(1x)，且 f(x)为奇函数，则x( ，0时 f(x)等于A.x(1x) B.x(1+x) C.x(1+
14、x) D.x(x1) 2.已知四个函数：21log1xyx，11xxeye， y=3x+3-x，y=lg(3x+3-x).其中为奇函数的是A. B.C. D.3.已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数， 当 x0 时，f(x)=x22x，则在 R 上 f(x)的表达式为A.x(x2) B. x（x2）C.x(x2) D.x（ x2）二、填空题4.已知 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数，且定义域为a1，2a，则 a=_，b=_. 5.若1( )21xf xa(xR 且 x0) 为奇函数，则a=_. 6.已知 f(x)=ax7bx+2 且 f(5)=17，则 f(5)=_. 7.已知
15、( )f x是定义在( 3,3)上的奇函数，当 03x时，( )f x的图像如右图所示，那么不等式( ) cos0f xx的解集是 _三、解答题8.已知11( )()2()G xf xf x且 x=lnf(x)，判定 G(x)的奇偶性。9.已知函数 f(x)满足 f(x+y)+ f(xy)=2f(x) f(y)(x、yR)，且 f(0) 0，试证 f(x)是偶函数 . 10.设函数()fx是偶函数，函数( )g x是奇函数，且3()()3f xg xx，求()fx和()g x的解析表达式。11.已知 f(x) x5+ax3-bx-8，f(-2)10，求 f(2)。精选学习资料 - - - -
16、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页精品资料欢迎下载12.已知()( )f xg x、都是定义在 R 上的奇函数，若( )( )( )2Fxafxbg x在区间(0 ,)上的最大值为5，求( )Fx在区间(, 0)上的最小值。13.已知()f x是奇函数，在区间( 2 , 2)上单调递增，且有(2)(12 )0fafa，求实数a的取值范围。四、巩固训练参考答案：一、选择题1. 解析： x( ，0， x0 ，f(x)=(x)(1+x)，f(x)=x(1+x). f(x)=x(1+x). 答案： B 2. 提示：可运用定义，逐个验算.答案： D 3.
17、解析：设 x0，则 x0，f(x)是奇函数， f(x)=f(x)=(x)22(x)=x22x. 222(0)()2(0)xxxf xxx x，即 f(x)= x（|x|2），故答案： B 。二、填空题4. 解析：定义域关于原点对称，故a1=2a，13a，又对于 f(x)有 f(x)=f(x)恒成立， b=0. 答案：13， 0 。5. 解析：特值法：f(1)=f(1) ，1111()2121aa，12a。答案：12。6. 解析：整体思想：f(5)=a(5)7b(5)+2=17(a 575b)=15， f(5)=a 57b 5+2=15+2=13. 答案： 13 。7. 解析：( )f x是定义
18、在( 3,3)上的奇函数， 补充其图像如图，又不等式( ) cos0f xx同解于()0cos0f xx或()0cos0f xx，解得32x，或12x或01x，不等式( ) cos0f xx的解集是,10 , 1, 322，答案：,10 , 1, 322。三、解答题8. 解：由 x=lnf(x)得 f(x)=ex. 11( )()2()G xf xf x111()22xxxxeeee。又()Gx11()()()22xxxxeeeeGx， G(x)为奇函数。9. 证明：令 x=y=0，有 f(0)+f(0)=2f2(0). f(0) 0， f(0)=1. 令 x=0，f(y)+f(y)=2f(0
19、) f(y)=2f(y). f(y)=f(y). f(x)是偶函数 . 归纳：赋值法 (代入特殊值 )在处理一般函数问题时经常用到. 10. 解：3( )()(1)3fxg xx，3()()3fxgxx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页精品资料欢迎下载又函数()f x是偶函数，函数( )g x是奇函数，()()fxfx，()( )gxg x，上式化为3()()(2)3f xg xx，解(1),(2)组成的方程组得29()(,3)9f xxR xx，23( )(,3)9xg xxR xx。11. 分析： 问题的结构特
20、征启发我们设法利用奇偶性来解解： 令 g(x)=x5+ax3-bx，则 g(x) 是奇函数，所以g(-2)g(2)，于是 f(-2)g(-2)-8, g(-2)=18.所以 f(2)=g(2)-8=-g(-2)-8=-26. 12. 解：设( )()( )h xafxbg x，则( )()()h xafxbg x为奇函数，因为当(0 ,)x时，()5 ,Fx所以()()()()23 ,h xafxbg xFx所以当(,0)x时，()2( )()()3 ,Fxh xafxbg x即()1 ,Fx故( )Fx在区间(, 0)上的最小值为 -1 。13. 解：因为函数( )f x是奇函数，所以()().fxf x由(2)(12 )0fafa得(2)(12 )fafa，即(2)(21).fafa又()fx在区间( 2 , 2)上单调递增，故得2222212221aaaa，解得10.2a所以实数a的取值范围为1(, 0).2注意：利用函数的奇偶性、单调性求变量的范围，是函数奇偶性及单调性的逆用，培养逆向思维能力，判断出2,21( 2 , 2)aa是解决本题的关键。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页