2022年北师大版数学六年级知识点整理161 .pdf

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1、第一单元圆圆概念总结1圆的定义:平面上的一种曲线图形。2将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。圆心一般用字母 O 表示。它到圆上任意一点的距离都相等。例:圆是平面上的一种(曲线)图形,将一张圆形纸片至少对折(两)次可以得到这个圆的圆心。3半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r 表示。把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。例:要画一个周长是31.4 厘米的圆,圆规两角之间的距离是( 5 )厘米。4圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。例:(半径)决定圆的大小;(圆心)决定圆的位置。5直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d

2、 表示。例:圆中最长的线段是圆的(直径) 。6在同一个圆内,所有的半径都相等,所有的直径都相等。7在同一个圆内,有无数条半径,有无数条直径。例:圆有(无数)条半径,( 无数 )条直径,( 无数 )条对称轴。8在同一个圆内,直径的长度是半径的2 倍,半径的长度是直径的一半。用字母表示为: d2r r d 12用文字表示为:半径 =直径2 直径=半径2例:画一个直径 4 厘米的圆,那么圆规两脚间的距离应该是(2)厘米。9圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。10圆的周长总是直径的3 倍多一些,这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率,用字母表示。圆周率是一个无限不循环小数。

3、在计算时,取3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。例:圆的周长是它的直径的( 3 )倍多一些,这个倍数是一个固定的数,我们把它叫(圆周率) ,常用字母( )表示。它是一个(无限不循环)小数,取两位小数是( 3.14 ) 。11圆的周长公式: C=d 或 C=2r 圆周长 =直径圆周长 =半径2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页例:一个圆形养鱼池,直径是4 米,这个鱼池的周长是多少米?解:C=d=4 米 =4 米答:这个鱼池的周长是4 米。12圆的面积:圆所占面积的大小叫圆的面积。13把一个圆

4、割成一个近似的长方形,割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半,用字母(r)表示,宽相当于圆的半径,用字母(r)表示,因为长方形的面积=长宽,所以圆的面积 = rr。圆的面积公式:2 。例:把一个圆平均分成若干份,可以拼成一个近似于长方形。长方形的长相当于圆(周长的一半) ,宽相当于圆的(半径) ,所以圆的面积 S=(2 ) 。14圆的面积公式:2 或者 S=(d2)2 或者 S=(C2)2例:一个半圆形池塘,它的直径是4 米,求它的面积。解:S=(d2)2 2=2答:面积是 2 平方米15在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长。例:边长为 4 厘米的正方形中画一个最大的圆,这个圆

5、的面积是(4 )。2厘米16在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽。例:在一个长 8 厘米、宽 5 厘米的长方形纸板上剪一个最大的圆,圆的面积是( 6.25)平方厘米。17一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r,它的面积是 S=R22 或S=(R2 2) 。 (其中 Rr环的宽度)例:在一个直径是2 米的圆形水池四周修一条宽1 米的石子路,石子路的面积是多少?解:r=2 米2=1 米R=1 米1 米=2 米S=R2 2=(22-12)=3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页答:石子路的面积是3。18半

6、圆的周长等于圆的周长的一半加直径。半圆的周长与圆周长的一半的区别在于,半圆有直径,而圆周长的一半没有直径。半圆的周长公式:d2d或r2r圆周长的一半 =r例:半圆的周长就是用圆的周长除以2。( )19半圆面积圆的面积2公式为:2 2例:一个半径为 20 米的舞台,面积是多少?解:S=2 2=20202=200答:舞台的面积是200。20在同一个圆里,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。例:在同一个圆里,半径扩大4 倍,那么直径和周长就都扩大(4 )倍,而面积扩大( 16 )倍。21两个圆的半径比等于直径比等于周长比,而面积比等于以上比的平方

7、。例如:两个圆的半径比是2:3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2:3,而面积比是 4:9。22圆周长和直径的比是:1,比值是;圆周长和半径的比是2:1,比值是 2;例:已知一个圆形跑到的周长是1256 米,求该圆的直径和半径。解:d=c=12563.14=400米r=c2=200 米答:圆的直径和周长分别是400 米和 200 米。23当一个圆的半径增加厘米时,它的周长就增加2厘米;当一个圆的直径增加厘米时,它的周长就增加厘米。例:一个半径为 3 米的圆,半径增加1 米,周长增加多少米?解:C1 =2r=6 米精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

8、 - -第 3 页,共 14 页C2 =2r=8 米增加量: C2- C1=8-6=2 米答:周长增加了 2 米。24在同一圆中,圆心角占圆周角的几分之几,它所在扇形面积就占圆面积的几分之几;所对的弧就占圆周长的几分之几。25当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆的面积最大,长方形的面积最小。26扇形弧长公式:扇形的面积公式: S=2 (n 为扇形的圆心角度360n数,r 为扇形所在圆的半径)例:一个圆心角是90的扇形,半径是4 厘米,面积是多少?解:90360 r2=4 平方厘米答:面积是 4 平方厘米。27轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图

9、形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。28 有一条对称轴的图形有:角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。有 2 条对称轴的图形是:长方形有 3 条对称轴的图形是:等边三角形有 4 条对称轴的图形是:正方形有无数条对称轴的图形是:圆、圆环。29直径所在的直线是圆的对称轴。例:圆是(轴对称)图形,有(无数)条对称轴。半圆有(1)条对称轴。第二单元百分数应用题(一)百分数的基本概念1百分数的定义:表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。百分数表示两个数之间的比率关系,不表示具体的数量,所以百分数不能带单位。2百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几。例如: 25的

10、意义:表示一个数是另一个数的25。3百分数通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“”来表示。分子部分可为小数、整数,可以大于100,小于 100或等于 100。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页例:初一八班有 54 人,某次体育测试, 54人达标,那么初一八班体育达标率是多少?解:5454100%=100%答:体育达标率为100%。4小数与百分数互化的规则:把小数化成百分数,只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号;把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。5百分数与分数互化的规则:把分

11、数化成百分数,通常先把分数化成小数(除不尽的保留三位小数),再把小数化成百分数;把百分数化成分数,先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。=( 0.4 )=( 40 )%52(二)百分数应用题百分数应用题(一)求增加百分之几?减少百分之几?公式:增加百分之几 =增加的部分 单位 1减少百分之几 =减少的部分 单位 1 例:1、45 立方厘米的水结成冰后,冰的体积为50 立方厘米,冰的体积比原来水的体积增加百分之几?解题思路:根据公式增加百分之几=增加的部分 单位 1;先确定单位 1 是水,已经知道是 45;增加的部分不知道,可以利用50 减 45求得5;最后用增加的部分5单位 1 水的

12、45就等于增加百分之几。计算步骤:第一步:单位1:水: 45 立方厘米第二步:增加的部分: 5045=5 立方厘米第三步:增加百分之几:545=11.1%4、 “减少百分之几与增加百分之几”的解题方法完全相同。5、与增加百分之几相同的还有“多百分之几 ” “提高百分之几 ”“增长百分之几 “等。与减少百分之几相同的还有“少百分之几 ” “降低百分之几 ” “节约百分之几 ”等。百分数应用题(二)比一个数增加百分之几的数,比一个数减少百分之几的数。例 1、某小学去年有80名学生,今年的学生人数比去年增加了25%,今年有多少名学生?解题思路:单位 1 去年已经知道用乘法,增加用(1+25%)算式:

13、 80(1+25%)2、某小学去年有 80 名学生,今年的学生人数比去年减少了25%,今年有多少名学生?解题思路:单位 1 去年已经知道用乘法,减少用(1-25%)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页算式: 80(1-25%)3、某小学今年有 100 名学生,比去年增加了25%,去年有多少名学生?解题思路:单位 1 去年不知道用除法,增加用(1+25%)算式: 100(1+25%)4、某小学今年有 100 名学生,比去年减少了25%,去年有多少名学生?解题思路:单位 1 去年不知道用除法,增加用(1-25%)算式:

14、100(1-25%)百分数应用题(三)列方程解百分数应用题1、小明看一本书,第一天看了全书的25%,第二天看了全书的20%,第一天比第二天多看 20 页,这本书一共有多少页?解题思路:单位 1 一本书不知道,可以选用方程或除法来解答。根据“第一天比第二天多看20 页”可以知道第一天是多的,第二天是少的,第一天减去第二天等于多出的20 页。等量关系式:(第一天) (第二天) =20 页方法 1:解:设这本书一共有X 页。由“第一天看了全书的25%”可以知道第一天等于全书乘以25%,用 X 可以表示为 25%X,由“第二天看了全书的20%”可以知道第二天等于全书乘以20%,用 X 可以表示为 20

15、%X.依据等量关系式 “第一天 第二天 =20页”可以列方程为: 25%X20%X=20方法 2:“第一天比第二天多看20 页”可以知道 20 页是第一天和第二天的差。要求单位 1 只要用 20 页除以 20 页的对于分率。列算式为: 20(25%20%)2、小明看一本书,第一天看了全书的25%,第二天看了全书的20%,两天共看了 20页,这本书一共有多少页?等量关系式:由 “两天共看了 20 页”可以知道(第一天) +(等二天) =20 页。方程法:解:设这本书共有X 页,则第一天为 25%X,第二天为 20%X。方程列为: 25%X+20%X=20算术法:由 “两天共看了 20 页”可以知

16、道 20 页是第一天和第二天的和,要求单位 1 只要用 20 页除以 20 页的对于分率。列算式为: 20(25%+20%)3、小明看一本书,第一天看了全书的25%,第二天看了全书的20%,还剩 20 页,这本书一共有多少页?等量关系式:(一本书) (第一天) (第二天) =20 页方程法:解设这本书一共有X 页,则第一天为 25%X,第二天为 20%X。列方程为: X25%X20%X=20算术法:20(1- 25%- 20%)4、小明看一本书,第一天看了全书的25%,第二天比第一天多看10 页,还剩 20 页,这本书一共有多少页?方程法:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师

17、归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页解:设这本书一共有X 页,则第一天为 25%X,第二天为( 25%X+10)页。列方程为: X25%X(25%X+10)=20百分数应用题(四)利息的计算1.本金:存入银行的钱叫做本金。2利息:取款时银行多支付的钱叫做利息。利息=本金利率时间32008年 10月 9 日以前国家规定,存款的利息要按20的税率纳税。国债的利息不纳税。 2008年 10月 9 日以后免收利息税。所以如无特殊说明,就不在计算利息税。4利率:利息与本金的比值叫做利率。5银行存款税后利息的计算公式:税后利息利息( 20)6国债利息的计算公式:利息本金利率时间7本

18、息:本金与利息的总和叫做本息。8应纳税额:缴纳的税款叫应纳税额。9税率:应纳税额与各种收入的比率叫做税率。10应纳税额的计算:应纳税额各种收入税率例如:李老师把 2000 元钱存入银行,整存整取五年,年利率按4.14%计算,到期时,李老师的本金和利息共有多少元?解题思路:要求 “本金和利息共有多少元 ”应该用本金的 2000 元加上利息的。解题步骤:第一步:根据 “利息本金 利率时间”算利息利息: 20004.14%5=414 元第二步:本金 +利息: 2000+414=2414元。例如:李老师把 2000 元钱存入银行,整存整取五年,年利率按4.14%计算,到期时,李老师的本金和利息共有多少

19、元?(如果利息按20%来上税)解题思路:要求 “本金和利息共有多少元 ”应该用本金的 2000 元加上利息的。解题步骤:第一步:根据 “利息本金 利率时间”算利息利息: 20004.14%5=414 元第二步:算税后利息: 414(120%)=331.2元本金+利息: 2000+331.2=2331.2元。第三章图形的变换1、图形变换的三种方法:第一种平移:要说明向什么方向(上、下、左、右)平移几个单位。第二种旋转:要说明绕哪个点,顺时针还是逆时针,旋转多少度(90度、180 度、270度)第三种作对称图形:要说明是关于哪条直线作哪个图形的对称图形。2、比赛场次、握手次数的计算第一步:首先要算

20、出有多少个人(或多少支队伍)进行比赛。有多少个人进行握精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页手。第二步:计算比赛场次、握手次数。例如:如果是 5 人,从 1 加到 4,如果是 6 人,从 1 加到 5,如果是 8 人,从 1 加到 7,如果是 100人,从 1 加到 99.3、计算起跑线。例如:第一道的弯道半径是36 米,每个道的跑道宽度是1.2 米那么:第二道的弯道半径 =第一道的弯道半径 +跑道宽度 =36+1.2。第三道的弯道半径 =第一道的弯道半径 +跑道宽度 +跑道宽度 =36+1.2+1.2第四道的弯道半径

21、 =第一道的弯道半径 +跑道宽度 +跑道宽度 +跑道宽度=36+1.2+1.2+1.2第五道的弯道半径 =第一道的弯道半径 +跑道宽度 +跑道宽度 +跑道宽度 +跑道宽度=36+1.2+1.2+1.2+1.2不同的两个道的起跑点相差多少米的算法:第一步:先算出要跑几圈。第二步:计算出两个半圆性跑道所构成的圆的周长。第三步:有两个道的圆周长相减,就得出了在两个道种跑一圈的起点相差多少米。第四步:用这个相差数 要跑的圈数。第四章比的认识(一)比的基本概念1两个数相除又叫做两个数的比。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。2比值通常用分数、小数和整数表示。3比的后项不能为0。4同除法比较,比的前项相当

22、于被除数,后项相当于除数,比值相当于商;5根据分数与除法的关系,比的前项相当于分子,比的后项相当于分母,比值相当于分数的值。6比的基本性质:比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数(0 除外) ,比值不变。(二)求比值求比值:用比的前项除以比的后项例如: 36分:1 小时=0.6 8 立方分米: 2 立方分米 =4(三)化简比精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页化简比:用比的前项除以比的后项求出分数的比值后,在把分数比值改成比。例如: 12 : 16=3:4 (四)比的应用1、比的第一种应用:已知两个或几个数量的和

23、,这两个或几个数量的比,求这两个或这几个数量是多少?例如:六年级有 60 人,男女生的人数比是5:7,男女生各有多少人?题目解析: 60 人就是男女生人数的和。解题思路:第一步求每份:60(5+7)=5 人第二步求男女生:男生:55=25 人女生: 57=35人。2、比的第二种应用:已知一个数量是多少,两个或几个数的比,求另外几个数量是多少?例如:六年级有男生25 人,男女生的比是5:7,求女生有多少人?全班共有多少人?题目解析: “男生 25人”就是其中的一个数量。解题思路:第一步求每份:255=5 人第二步求女生:女生: 57=35 人。 全班: 25+35=60人3、比的第三种应用:已知

24、两个数量的差,两个或几个数的比,求这两个或这几个数量是多少?例如:六年级的男生比女生多20 人(或女生比男生少20 人) ,男女生的比是7:5,男女生各有多少人?全班共有多少人?题目解析: “男生比女生多 20 人”就是两个量的差。解题思路:第一步求每份:20(7-5)=10 人第二步求男生、女生、全班总人数:女生:105=50 人,男生: 107=70 人,全班: 5070=120人4、要求量 =已知量 已知量份数要求量份数5、比在几何里的运用:(1)已知长方形的周长,长和宽的比是:。求长和宽、面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

25、 9 页,共 14 页长=周长2宽=周长2面积长 宽baabab(2)已知已知长方体的棱长和,长、宽、高的比是:。求长、宽、高、体积长=周长宽=周长cbaacbab高=周长体积长 宽高cbac(3)已知三角形三个角的比是:,求三个内角的度数。三个角分别为:180 180 180cbaacbabcbac(4)已知三角形的周长,三条边的长度比是:,求三条边的长度。三条边分别为:周长周长 周长 cbaacbabcbac第五章圆柱和圆锥一、面的旋转1.“点、线、面、体 ”之间的关系是:点的运动形成线;线的运动形成面;面的旋转形成体。2.圆柱的特征:(1)圆柱的两个底面是半径相等的两个圆。(2)两个底面

26、间的距离叫做圆柱的高。(3)圆柱有无数条高,且高的长度都相等。3.圆锥的特征:(1)圆锥的底面是一个圆。(2)圆锥的侧面是一个曲面。(3)圆锥只有一条高。二、圆柱的表面积1.沿圆柱的高剪开,圆柱的侧面展开图是一个长方形(或正方形)。(如果不是沿高剪开,有可能还会是平行四边形)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页2.圆柱的侧面积底面周长高,用字母表示为: S侧ch。3.圆柱的侧面积公式的应用:(1)已知底面周长和高,求侧面积,可运用公式:S侧ch;(2)已知底面直径和高,求侧面积,可运用公式:S侧 dh;(3)已知底

27、面半径和高,求侧面积,可运用公式:S侧2 r h4.圆柱表面积的计算方法:如果用S侧表示一个圆柱的侧面积, S底表示底面积,d 表示底面直径, r 表示底面半径, h 表示高,那么这个圆柱的表面积为:S表=S侧+2S底或 S表= dh+ d2/2或 S表=2 rh+2 r25. 圆柱表面积的计算方法的特殊应用:(1)圆柱的表面积只包括侧面积和一个底面积的,例如无盖水桶等圆柱形物体。(2)圆柱的表面积只包括侧面积的,例如烟囱、油管等圆柱形物体。三、圆柱的体积1.圆柱的体积:一个圆柱所占空间的大小。2.圆柱的体积底面积 高。如果用 V 表示圆柱的体积, S表示底面积, h表示高,那么 VSh 。3

28、.圆柱体积公式的应用:(1)计算圆柱体积时,如果题中给出了底面积和高,可用公式:VSh 。(2)已知圆柱的底面半径和高,求体积,可用公式:V r2h;(3)已知圆柱的底面直径和高,求体积,可用公式:V (d/2)2h;(4)已知圆柱的底面周长和高,求体积,可用公式:V (C/2)2h;圆柱形容器的容积底面积高,用字母表示是VSh。5.圆柱形容器公式的应用与圆柱体积公式的应用计算方法相同。四、圆锥的体积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 14 页1.圆锥只有一条高。2.圆锥的体积 1/3底面积 高。如果用 V 表示圆锥的体积

29、, S表示底面积, h 表示高,则字母公式为:V=1/3Sh3.圆锥体积公式的应用:(1)求圆锥体积时,如果题中给出底面积和高这两个条件,可以直接运用 “v= 1/3 Sh”这一公式。(2)求圆锥体积时,如果题中给出底面半径和高这两个条件,可以运用 1/3r2h(3)求圆锥体积时,如果题中给出底面直径和高这两个条件,可以运用 1/3(d/2)2h(4)求圆锥体积时,如果题中给出底面周长和高这两个条件,可以运用 1/3(c/2)2h第六章正比例和反比例一、变化的量生活中存在着大量互相依存的变量,一种量变化,另一种量也随着变化。二、正比例1.正比例的意义:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着

30、变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。如果用字母x 和 y 表示两种相关联的量,用字母k 表示它们的比值(一定),正比例关系可以表示为:y/x=k(一定)。2.应用正比例的意义判断两种量是否成正比例:有些相关联的量,虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化,但它们相对应的数的比值不一定,就不成正比例,例如:被减数与差,正方形的面积与边长等。三、画一画正比例的图像是一条直线。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 14 页四、反比例1. 反比例的意义:两种相关联的量,一

31、种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x 和 y 表示两种相关联的量,用k 表示它们的乘积,反比例的关系式可以表示为:xy=k(一定)。2. 判断两个量是不是成反比例:要先想这两个量是不是相关联的量;再运用数量关系式进行判断,看这两个量的积是否一定;最后作出结论。例:A、B 、C 三种量的关系是 : A B C(1)如果 A 一定,那么 B 和 C 成(正)比例;(2)如果 B 一定,那么 A 和 C 成(正)比例;(3)如果 C 一定,那么A 和 B 成(正)比例五、观察与探究当两个变量成反比例关系

32、时,所绘成的图像是一条光滑曲线。六、图形的放缩一幅图放大或缩小,只有按照相同的比来画,画的图才像。七、比例尺1.比例尺:图上距离与实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。比例尺 =图上距离 实际距离图上距离 =实际距离 比例尺实际距离 =图上距离 比例尺例:在一幅地图上量得甲乙两地距离6 厘米,乙丙两地距离8 厘米;已知甲乙两地间的实际距离是120千米,乙丙两地间的实际距离是( 160 )千米;这幅地图的比例尺是(1:2000000 ) 。2.比例尺的分类:比例尺根据实际距离是缩小还是扩大,分为缩小比例尺和放大比例尺。根据表现形式的不同,比例尺还可分为线段比例尺和数值比例尺。例:一种微型零件的长5 毫米,画在图纸上长20 厘米,这幅图的比例尺是(40:1) 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页3.比例尺的应用:(1)、已知比例尺和图上距离,求实际距离比例尺 =图上距离 实际距离图上距离 =实际距离 比例尺实际距离 =图上距离 比例尺例如:在比例尺是1:4000000 的地图上,图上距离1 厘米表示实际距离( 40)千米。也就是图上距离是实际距离的,实际距离是图上距离的( 4000000)倍。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页

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