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1、精品资料欢迎下载ABOCD1500m 4560解直角三角形（三角函数）例 1.如图 1，海上有一灯塔P，在它周围6 海里内有暗礁一艘海轮以18 海里 /时的速度由西向东方向航行，行至A 点处测得灯塔P 在它的北偏东60 的方向上，继续向东行驶20 分钟后，到达 B 处又测得灯塔P 在它的北偏东45 方向上，如果海轮不改变方向继续前进有没有触礁的危险? 解：过 P 作 PCAB 于 C 点，根据题意，得AB182060 6， PAB 90 60 30 ，PBC90 45 45 ， PCB 90 ，PCBC在 RtPAC 中，tan30 6PCPCABBCPC，即336PCPC，解得 PC 3 3
2、3 3 33 6，海轮不改变方向继续前进无触礁危险例 2.如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB 的长度已知在离地面1500m 高度 C 处的飞机上，测量人员测得正前方 A、B 两点处的俯角分别为60 和 45 求隧道AB 的长 (31.73) 解： OA350033150030tan1500，OB=OC=1500 ，AB=635865150035001500(m). 答：隧道AB 的长约为635m. 例 3.如图是工人将货物搬运上货车常用的方法,把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货物通过斜坡进行搬运.根据经验，木板与地面的夹角为20 （即图 2 中 ACB=20 ）时最为合适，已
3、知货车车厢底部到地面的距离AB=1.5m,木板超出车厢部分AD=0.5m,请求出木板CD 的长度（参考数据： sin200.3420,cos20 0.9397,精确到 0.1m）. 由题意可知： ABBC在 RtABC 中, sinACB=ABACAC= ABsin ACB= 1.5sin20 = 1.50.3420 4.39mCD = AC+AD= 4.39+0.5 = 4.89 4.9m答：木板的长度约为4.9m.例 4.九（ 1）班的数学课外小组，对公园人工湖中的湖心亭A 处到笔直的南岸的距离进行测量他们采取了以下方案：如图7，站在湖心亭的A 处测得南岸的一尊石雕C 在其东南方向，再向正
4、北方向前进10 米到达 B 处，又测得石雕C 在其南偏东30 方向你认为此方案A B P 北东图 1 A B P 6045北东C A B C D 图 1 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页精品资料欢迎下载NMBADCFEDCBA45376537北北A C B D B A D C 北东西南能够测得该公园的湖心亭A 处到南岸的距离吗？若可以，请计算此距离是多少米（结果保留到小数点后一位）？解：此方案能够测得该公园的湖心亭A 处到南岸的距离过点 A 作南岸所在直线的垂线，垂足是点D，AD 的长即为所求在RtADC中
5、，9045ADCDAC ，DCAD在RtBDC中，9030BDCDBC ，3BDCD由题意得：103ABBDADADAD，解得13.7AD答：该公园的湖心亭A 处到南岸的距离约是13.7 米例 5.如图，一巡逻艇航行至海面B处时，得知其正北方向上C处一渔船发生故障已知港口A处在B处的北偏西37方向上，距B处 20 海里；C处在 A 处的北偏东65方向上求,B C之间的距离（结果精确到0.1 海里）参考数据：sin370.60 cos370.80 tan370.75，sin 650.91 cos650.42 tan652.14.，解：过点 A 作ADBC，垂足为D在RtABD中，20AB，37B
6、，sin3720sin3712ADAB 3 分cos3720cos3716BDAB 在RtADC中，65ACD，125.61tan652.14ADCD5.61 1621.6121.6BCBDCD （海里）答：BC，之间的距离约为21.6 海里例 6.如图所示， A、B 两地之间有一条河，原来从A 地到 B 地需要经过桥DC，沿折线ADCB 到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB 从 A 地到达 B 地已知BC=12km ，A=45 ， B=37 桥 DC 和 AB 平行，则现在从A 地到达 B 地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km参考数据：1.412，sin37 0.60，cos3
7、70.80）解：过 C、D 分别作 CNAB,DM AB 垂足分别为N，M 在 RtBCN 中， sin37 =BCCN, CN=120.60=7.20 cos37 =BCBN, BN=120.80=9.60 (2 分) 在 RtADM 中， A=45 CN=DM=AM=7.20Cos45 =ADAMAD=AM2=1.41 7.20=10.15 (AD+DC+BC)-AB=(AD+DC+BC)-(AM+MN+MN) =(AD+BC)-(AM+BN)=( 10.15+12)-(7.20+9.60)=5.35 5.4答：从 A 地到达 B 地可比原来少走5.4 路程精选学习资料 - - - - -
8、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页精品资料欢迎下载A B C D 例 7.如图，斜坡AC 的坡度（坡比）为1:3 ，AC10 米坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B 点与 A 点有一条彩带AB 相连， AB 14 米试求旗杆BC 的高度解：延长 BC 交 AD 于 E 点，则 CEAD 在 RtAEC 中， AC 10，由坡比为1: 可知： CAE 30 ， CEAC sin30 10 5 AEAC cos30 10 在 RtABE 中，BE=11 BEBCCE， BCBECE 11-56（米）答：旗杆的高度为6 米例 8.坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子
9、灵踪塔始建于北宋（公元1112 年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑.数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子. （1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高. 图 1 为小华测量塔高的示意图.她先在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测出看塔顶()M的仰角35，在A点和塔之间选择一点B，测出看塔顶()M的仰角45，然后用皮尺量出A、B两点的距离为18.6m,自身的高度为1.6m.请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（tan350.7，结果保留整数）. （2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP的长为am（如图
10、2） ,你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题：在你设计的测量方案中，选用的测量工具是: ；要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？. 解:（1）设CD的延长线交MN于E点，MN长为xm，则(1.6)MExm. 045,1.6DEMEx.1.6 18.617CExx. （第 22ABCDMN图 1 图 2 PMN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页精品资料欢迎下载0tantan35MECE,1.60.717xx,解得45xm. 太子灵踪塔()MN的高度为45m(2) 测角仪、皮尺； 站在 P点看塔顶的
11、仰角、自身的高度. (注：答案不唯一) 例 10 如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ 移动，已知台风移动的速度为30 千米 /时，受影响区域的半径为200 千米， B 市位于点 P 的北偏东75 方向上，距离点P 320 千米处 . (1) 说明本次台风会影响B 市；（2）求这次台风影响B 市的时间 . (1) 作 BH PQ 于点 H, 在 RtBHP 中, 由条件知 , PB = 320, BPQ = 30 , 得 BH = 320sin30 = 160 200, 本次台风会影响B 市. (2) 如图 , 若台风中心移动到P1时 , 台风开始影响B 市, 台风中心移动到P2时, 台风
12、影响结束 . 由（ 1）得 BH = 160, 由条件得BP1=BP2 = 200, 所以 P1P2 = 222160200=240, 台风影响的时间t = 30240= 8(小时 ). 例 9.如图，某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30 方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装天然气的M 小区在 A 市东偏北60 方向，测绘员沿主输气管道步行2000 米到达 C处，测得小区M 位于 C 的北偏西60 方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长 . 解：过 M 作 MN AC，此时 MN 最小，AN 1500 米精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页