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1、绝密启用前 安徽省皖南八校 2022 届高三上学期 10 月第一次联考理科数学试题 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1已知集合23Axx，27100Bx xx，则AB（ ） A23xx B22xx C25xx D25xx 2已知i为虚数单位，若复数1 iz ，z为z的共轭复数，则(1)zz（ ） A3i B3 i C1 3i D1 3i 3“| 3a ”是“3a ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知向量(1,2)a ，2(7, 2)ab，则向量a在向量b方向上的投影为（ ）
2、 A22 B22 C1313 D1313 5若0cos2costtxdx，其中0,2t，则t （ ） A6 B3 C2 D56 6 函数21( )21xxxxf x ，(lg3)af，1ln2bf，132cf， 则a，b，c的大小关系为 （ ） Aabc Bcab Cbac Dbca 71471 年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角） ，这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆
3、上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山上的铁塔， 塔高90m， 山高160m， 此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（ ） A12 B941 C1625 D916 8 已知函数( )cos 123f xx的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍， 再向右平移6个单位，得到的函数的一个对称中心是（ ） A,018 B,09 C2,09 D37,0288 9如图，在梯形ABCD中，/AB CD，33AB ，21CD ，14AD ，10BC ，A，B均为锐角，则对角线BD （ ） A5 B15 C25 D30 10
4、 已知定义在R上的函数( ) f x满足：(1)f x关于(1,0)中心对称，(1)f x 是偶函数， 且312f.则下列选项中说法正确的有（ ） A( ) f x为偶函数 B( ) f x周期为 2 C912f D(2)f x是奇函数 11 已知(cos ,sin)M，cos,sin33N，( 3,3)P， 则|2|PMPN的最大值为 （ ） A2 3 B3 3 C23 D23 12 已知函数3( )(3 )(1)xaf xaxa， 当2xe时，( )0f x 恒成立， 则实数a的取值范围为 （ ） A,3e B2e,3 C(1, )e D2e1,3 二、填空题 13命题“1x ，210 x
5、x ”的否定是_. 14已知3sin125，则sin 23_. 15 已知sin( 20)26( )|ln1 (0)xxf xxx， 若方程( )f xm恰有 4 个不同的实数解a，b，c，d，且abcd，则cdab_. 16如图，正三角形ABC内有一点P，2BPC，56APC，连接AP并延长交BC于D，则|CDCB_. 三、解答题 17若平面向量ab满足(3,3)a ，| 2b . （1）若258ab.求a与b的夹角； （2）若()/(2 )abab，求b的坐标. 18 已知( )sin(),0,2 2f xAxA .其图像相邻两条对称轴的距离为2， 且(0)1f，6fA. （1）求( )f
6、 x； （2）把函数( )f x图像向右平移12中得到函数( )g x图像，若( )1g a ，求tan()tan2aa的值. 19已知函数( )3xaf xxa的定义域为A，函数124( )21xxg x的值域为B. （1）当3a 时，求RAB； （2）若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 20在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若1c ，2sin4Ab. （1）求角C； （2）求ABC的面积的最大值. 21已知( )f x是定义在R上的奇函数，且当0 x 时，2 ( )log ()f xax. （1）求函数( )f x的解析式； （2）若对任意的 1,1
7、x ，都有不等式 22 220f xmxmfxmx恒成立，求实数m的取值范围. 22已知函数( )elnexf xax. （1）当1a时，讨论函数( )f x的零点存在情况； （2）当1a 时，证明：当0 x 时，( )2ef x . 参考答案 1C 思路： 化简 B，再根据并集的定义求AB. 由27100 xx，得25x，所以25Bxx， 因为| 23Axx ，所以25ABxx， 故选：C. 2A 思路： 由共轭复数定义求z，再根据复数的运算律计算(1)zz. 1 iz ，1 iz ，则(1)(2i)(1 i)3izz， 故选：A. 3A 思路： 根据绝对值的定义可得| 33aa且3a ，然
8、后利用充分、必要条件的定义判定. | 33aa且3a ，所以“3a ”是“3a ”的充分不必要条件， 故选:A. 4D 思路： 根据向量投影的定义计算向量a在向量b方向上的投影. (1,2)a ，2(7, 2)ab，(3, 2)b， 向量a在b方向上的投影为221 32 ( 2)1313|( 2)3a bb ， 故选：D. 5A 思路： 利用微积分基本定理求定积分， 然后利用余弦的二倍角公式转化为关于sint的方程， 进而求解即得. 00cossinsinttxdxxt，又0cos2costtxdx，cos2sintt， 即212sinsintt，解得sin1t 或1sin2t， 又0,2t，
9、6t ， 故选:A. 6B 思路： 适当变形，利用指数函数的性质可以判定函数( )f x在R上单调递增，根据指数、对数函数的单调性可以判定1312lg3ln2，进而得解. 211( )2121xxxxxf xx ，易知( )f x在R上单调递增， 因为0lg1lg3lg101，1lnln102，103221， 所以1312lg3ln2，所以1312(lg3)ln2fff，即cab. 故选：B. 7B 思路： 设此时视角为，塔底离地面高度为n，塔顶离地面高度为m，根据题意，lmn，然后利用两角差的正切值公式求得tan，进而利用同角三角函数关系求得“最大视角”的正弦值. 由米勒问题的解答可知，此人
10、应站在离塔水平距离为160250200ml 处观察， 设此时视角为，塔底离地面高度为n，塔顶离地面高度为m， 则lmn，则2()tan21mnl mnmnllm nmnlmnll， 故909sin250 16041mnmn. 故选：B 8C 思路： 根据平移伸缩变换可得函数解析式cos 36yx，再整体代换求解即可得答案. 函数( )cos 123f xx的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍， 得到图象的解析式为cos 33yx，再向右平移6个单位， 得到图象的解析式为cos 36yx， 令3()62xkkZ，解得2()39kxkZ， 当0k 时，29x， 所以2,09是函数cos 36y
11、x的一个对称中心. 故选:C. 9C 思路： 过点D作/DE BC交AB于点E，在三角形ADE中，利用余弦定理求得cos A, 然后在ABD中利用余弦定理求得25BD . 过点D作/DE BC交AB于点E， 则10DE ，12AE ，14AD . 由余弦定理得2221412105cos2 14 127A， 在ABD中，2222cos625BDABADAB ADA， 解得25BD . 故选：C. 10D 思路： 由于(1)f x关于(1,0)中心对称， 又将函数(1)f x向左平移 1 个单位后为( )f x， 可知( )f x是奇函数；又(1)f x 是偶函数，又将函数(1)f x 向右平移
12、1 个单位后为( )f x，可知( )f x关于直线1x 对称，由此即可求出函数的周期，进而可判断选项 A,B 是否正确；利用周期和对称性即可判断选项 C，D是否正确. 由于(1)f x关于(1,0)中心对称， 又将函数(1)f x向左平移 1 个单位后为( )f x， 所以( )f x关于(0,0)中心对称，即( )f x是奇函数；又(1)f x 是偶函数，又将函数(1)f x 向右平移 1 个单位后为( )f x，所 以( )f x关于直线1x 对称，即( )(2)f xfx； 所以( )(2)4f xf xf x ， 所以函数( )f x的周期4T ，所以选项 AB 错误； 119133
13、421222222ffffff ，故选项 C 错误； 对选项 D：由已知( )f x关于(0,0)和直线1x 对称，所以( )f x关于(2,0)对称， 又因为( )f x的周期4T ，可得( )f x关于( 2,0)对称， 所以(2)f x是奇函数，D 正确. 故选：D. 11B 思路： 根据题意分析，得到OMN为等边三角形，进而利用平面向量的数量积运算可求得| 2|3OMON， 利用向量的线性运算可得| 2| |2|PMPNPOOMON， 然后利用向量模的不等式即可求得其最大值. 由题可知，M，N为单位圆22:1O xy上的两个动点， 且满足60MON，故OMN为等边三角形， 则1| |
14、cos602OM ONOMON， 所以，2(2)4413OMONOM ON ，则| 2|3OMON. 由PMPOOM，PNPOON， 得|2| |2| |2PMPNPOOMONPOOMON， 又( 3,3)P，则| 2 3PO ，因此当PO与2OMON同向时，等号成立， 此时|2|PMPN的最大值为3 3. 故选：B. 12D 思路： 通过对3(3 )xaax，同时进行对数运算，构造函数ln( )(1)xg xxx，并讨论其单调性，结合1a ，得132ae，进而求得a的取值范围. ( )0f x 即3(3 )xaax，则ln(3 )3 lnxaax，则ln(3 )ln3axax， 令ln( )
15、(1)xg xxx，21 ln( )(1)xg xxx， 当(1,e)x，( )0g x，( )g x单调递增； 当( ,)xe，( )0g x，( )g x单调递减， 因为1a ，所以33ae， 又(3 )( )gag x，所以3(2 )ax xe恒成立， 故21,3ea. 故选：D. 【点评】 函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根
16、据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 1301x，20010 xx 思路： 根据含量词的命题的否定规律求命题“1x ，210 xx ”的否定. 命题“1x ，210 xx ”的否定是“01x，20010 xx ”， 故答案为：01x，20010 xx . 14725# 思路： 利用诱导公式变形，再借助二倍角的余弦公式计算作答. 因为3sin125，则sin 2sin 2cos 2312212 272sin11225 . 故答案为：725. 152320e 思路： 画出函数的图象，利
17、用数形结合方法判定易知112m，a，b关于直线103x 对称，结合0ced可知|ln1| |ln1|cd，进而求得. 如图，易知112m，a，b关于直线103x 对称， 所以203ab ，又0ced且|ln1| |ln1|cd， 所以1 lnln1cd，所以lnlnln2cdcd，所以2cde， 从而2320cdeab . 故答案为：2320e 1613 思路： 设正三角形边长为 2，2CD， 设CDP， 在CAD中， 得2sinsin3CDCA， 在CDP中，sinsin6CDCP，代入数据计算可得答案. 设正三角形边长为 2，2CD，设CDP， 在CAD中，23CAD，2sinsin3CD
18、CA， 代入数据可得，222sinsin3， 在CDP中，5cos2cos6CPCBBCP，sinsin6CDCP 代入数据可得，52cos64sin /得，152cossin263，解得tan3 3 ， 代入式得13. 所以12|1323CBCD. 故答案为：13. 17 （1）4； （2）( 2,2)或(2,2). 思路： (1)根据向量的模的性质化简258ab，由此可求a与b的夹角；(2) 设( , )bx y，根据向量共线的坐标表示和向量的模的坐标表示列方程求b的坐标. 解： （1）由(3,3)a 可知| 3 2a ， 由|2 |58ab可得224458aa bb ，即1841658a
19、 b ，解得6a b. 设a与b的夹角为，则2cos2|a ba b， 又0, ，4. （2）设( , )bx y，则(3,3)abxy，2(32 ,32 )abxy， ()/(2 )abab，所以(3)(32 )(3)(32 )0 xyyx， 解得xy. 又| 2b ，224xy. 由，解得2xy或2xy ， 所以b的坐标为( 2,2)或(2,2). 18 （1）( )2sin 26f xx； （2）4. 思路： 由图像相邻两条对称轴的距离为2可得函数( )f x的周期，由此可求w，再由(0)1f，6fA求A，由此可得( )f x，(2)根据函数图像变换求( )g x，由( )1g a 可得
20、1sincos4，化简tan()tan2aa并求值. 解： （1）2222TT. 2sin66fAA，则sin13， ,22 ，6 又(0)sin1fA，则2A， 故( )2sin 26f xx. （2）由题意可得( )2sin(2 )g xx， ( )2sin(2 )1g，1sincos4， 11tan()tantan42tansincos. 19 （1）(3,4)； （2）(, 14,) . 思路： (1)解不等式03xaxa得集合 A，求函数( )g x值域得集合 B，将3a 代入即可求解RAB； (2)由给定条件可得BA，再借助集合包含关系即可得解. （1）由03xaxa，解得：xa或
21、3xa，即(, (3,)Aaa ， 由于1242( )22121xxxg x， 显然21 1x ， 则10121x， 即222421x， 于是得(2,4)B ， 当3a 时，(,3(6,)A ，则R(3,6A ， 所以R(3,4)AB； （2）因“xA”是“xB”的必要不充分条件，于是得BA，即(2,4)(, (3,)aa， 因此，32a 或4a ，解得：1a 或4a ， 所以实数a的取值范围为(, 14,) . 20 （1）4； （2）214. 思路： （1）由已知2 sin4cAb，由正弦定理化边为角，化简可求 C，(2)由余弦定理可得 b，c 的关系，利用基本不等式可得 bc 的范围，由
22、此可求ABC的面积的最大值. 解： （1）由题意可得：222sincos22cAAb， 再由正弦定理得sinsinsincossinsin()CACABAC sin()sincoscossinACACAC，即sinsinsincosCAAC， 又sin0A，所以tan1C ，又(0,)C，所以4C. （2）2222coscababC，2212(22)ababab ， 故222ab， 1221sin244ABCSabCab，当且仅当ab时，取到最大值. 21 （1）22log (1)(0)( )log (1)(0)xxf xxx； （2）333,52. 思路： 由函数( )f x为奇函数可得(0
23、)0f，由此可求 a，再根据奇函数的性质求0 x 时，( )f x的解析式，由此可得函数( )f x的解析式； (2)先求函数( )f x的单调性， 根据单调性化简不等式， 由此可求实数m的取值范围. 解： （1）依题可知(0)0f，解得1a，所以当0 x 时，2( )log (1)f xx， 设0 x ，则0 x ，所以2()log (1)fxx， 又( )f x是奇函数，()( )fxf x ， 即2( )log (1)f xx，所以当0 x 时，2( )log (1)f xx ， 综上所述，22log (1)(0)( ).log (1)(0)xxf xxx （2）当0 x 时，2( )l
24、og (1)f xx，所以( )f x在(,0上单调递减， 又( )f x是R上的奇函数，( )f x在(0,)上单调递减， 从而( )f x在R上单调递减， 由 22220fxmxmfxmx， 可得2222222fxmxmfxmxfxmx ， 又( )f x在R上单调递减， 2222xmxmxmx ，即23220 xmxm对任意的 1,1x 恒成立， 记2( )322g xxmxm，对称轴为3mx ，依题意有min( )0g x， 当13m ，即3m 时，( )g x在 1,1上单调递增， min( )( 1)530g xgm，解得53m ，与3m 矛盾，此时无解； 当113m ，即33m
25、时，( )g x在1,3m上单调递减，在,13m上单调递增， 2min( )2033mmg xgm ，解得33333322m， 又因为33m ，所以此时33332m； 当13m，即3m 时，( )g x在 1,1上单调递减， min( )(1)50g xgm，解得5m ，又因为3m ，所以此时35m； 综上所述，实数m的取值范围为333,52. 22 （1）两个零点； （2）证明见解析. 思路： (1)将1a代入可得(1)0f， 求出函数( )f x的导数， 利用导数探讨函数的单调性并借助零点存在性定理即可求解； (2)根据已知条件构造函数( )eln2xg xx，证明( )0g x在0 x
26、时恒成立即可得解. (1)当1a时，( )elnexf xx，显然(1)0f，即 1 是( )f x的一个零点， 求导得 1exfxx， fx在(0,)上单调递增，且131e303f，(1)e10f 则 fx在1( ,1)3上存在唯一零点0 x，当00 xx时，( )0fx，当0 xx时，( )0fx， 因 此 ， 函 数( )f x在00, x上 单 调 递 减 ， 在0,x 上 单 调 递 增 ， 而 0(1)0f xf， 31e31e3e0ef ， 从而得在00, x上函数( )f x存在一个零点， 所以函数( )f x存在两个零点； (2)令( )eln2xg xx，0 x ，则1( )exg xx，由(1)知( )g x在(0,)上单调递增， 且在1( ,1)3上存在唯一零点0 x，即001xex， 当00,xx时，( )g x单调递减，当0,x 时，( )g x单调递增， 因 此 ， 000000011( )eln2eln220exxxg xg xxxx， 即ln2xex， 则elne2exx， 而1a ，有eexxa，于是得( )elneelne2exxf xaxx， 所以当1a ，0 x 时，( )2ef x .