2022年八年级上册第五章二元一次方程组知识点整理 .pdf

《2022年八年级上册第五章二元一次方程组知识点整理 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年八年级上册第五章二元一次方程组知识点整理 .pdf（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、学习必备欢迎下载（数学教研组）八年级上册第五章二元一次方程组知识点整理一、本章知识点梳理：知识点 1：二元一次方程（组）的定义知识点 2：二元一次方程组的解定义知识点 3：二元一次方程组的解法知识点 4：一次函数与二元一次方程（组）知识点 5：实际问题与二元一次方程组二、各知识点分类讲解知识点 1：二元一次方程（组）的定义1、二元一次方程的概念含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1 的方程叫做二元一次方程注意： 1、(1) 方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数. (2)含有未知数的项的次数都是1. (3)二元一次方程的左右两边都必须是等式. （三个条件完全满足的就是二

2、元一次方程）2. 含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。 即若 axm+byn=c 是二元一次方程，则a0，b0 且m=1,n=1 例 1：已知（ a2） xby|a| 15 是关于 x、y 的二元一次方程，则a_，b_例 2：下列方程为二元一次方程的有_ yx52，14x，2xy，3yx，22yx，22yxxy，71yxyx23，1cba【巩固练习】下列方程中是二元一次方程的是（） A3x-y2=0 B2x+1y=1 C3x-52y=6 D4xy=3 2、二元一次方程组的概念由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组注意：方程组中有且只有两个未知数。方程组中含有未知数的项

3、的次数为1。方程组中每个方程均为整式方程。例： 下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A、228423119.23754624xyxyabxBCDxybcyxxy【巩固练习】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载1、 已知下列方程组： （1）32xyy， （2）324xyyz， （3）1310 xyxy， （4）30 xyxy，其中属于二元一次方程组的个数为（）A1 B. 2 C 3D 4 2、 若753313mnmyx是关于 x、y二元一次方程，则m=_，n=_。知识点 2：二元一次方程组的解定义一般

4、地，使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等 的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。类型题 1 根据定义判断例： 方程组422yxyx的解是（）A21yxB13yxC20yxD02yx【巩固练习】1、 当1mx，1my满足方程032myx，则m_. 2、下面几个数组中，哪个是方程7x+2y=19 的一个解（）。A、31xy B、31xy C、31xy D、31xy类型题 2 已知方程组的解，而求待定系数。此类题型只需将解代入到方程中，求出相应系数的值，从而求代数式的值例 1：已知12yx是方程组274123nyxymx的解，则m2n2的值为 _例 2：若满足方程组6) 12(423ykk

5、xyx的 x、y 的值相等，则k_【巩固练习】1、若方程组10)1(232ykkxyx的解互为相反数，则k 的值为。2、若方程组52243ybaxyx与5243yxbyxa有相同的解，则a= ，b= 。类型 3 列方程组求待定字母系数是常用的解题方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载例：若20yx，311yx都是关于x、y 的方程 axby 6的解，则ab 的值为例：关于 x，y 的二元一次方程axby 的两个解是11yx，12yx，则这个二元一次方程是【巩固练习】如果21yx是方程组10cybxb

6、yax的解，那么，下列各式中成立的是（）A、a4c2 B、4ac2 C、a4c20 D、4ac2 0 知识点 3：二元一次方程组的解法方法一：代入消元法【典型例题】例27838100 xyxy我们通过 代入 消去 一个未知数，将方程组转化为一个一元一次方程来解 ，这种解法叫做代入消元法。用代入消元法解二元一次方程组的步骤：（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来. （2）把（ 1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数. （3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值. （4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个

7、未知数的值，从而确定方程组的解. 【巩固练习】1、 方程x4y15用含 y 的代数式表示，x 是（）Ax4y15 Bx154y Cx4y15 Dx4y152、 把方程7x2y15写成用含x 的代数式表示y 的形式，得（）A x=215152715157.7722xxyxxB xC yD y3、 用代入法解方程组252138xyxy较为简便的方法是（） A先把变形 B先把变形C可先把变形，也可先把变形 D把、同时变形方法二：加减消元法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载例： 对于方程组 : 20240

8、xyxy分析： 这个方程组的两个方程中，y 的系数有什么关系？?利用这种关系你能发现新的消元方法吗？解：得，2xyxy4022即x18, 把x18代入得y4。所以4yx=18定义： 两个二元一次方程中同一未知数 的系数相反 或相等 时，把这两个方程的两边分别相加减 ，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程这种方法叫做加减消元法，简称加减法。例 1、方程组231534mnmn中， n 的系数的特点是，所以我们只要将两式，?就可以消去未知数，化成一个一元一次方程，达到消元的目的例 2、用加减法解341236xyxy时，将方程两边乘以，?把方程两边乘以，可以比较简便地消去未知数【方法掌握要诀】用加

9、减法解二元一次方程组时，两个方程中同一个未知数的系数必须相同或互为相反数， ?即它们的绝对值相等当未知数的系数的符号相同 时，用两式 相减 ；当未知数的系数的符号相反 时，用两式 相加。方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，就用适当的整数乘方程两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；? 把两个方程的两边分别相加或相减 ，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；解这个一元一次方程；将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解【巩固练习】1、 用加减法解方程组326231xyxy时，要使方程中同一个未知数的系数相等或互为相

10、反数，必须适当变形， 以下四种变形正确的是（）966961896186412(1)(2)(3)(4)462462462693xyxyxyxyxyxyxyxy A （1） （2） B （2） （3） C （ 3） （4） D （4） （1）2、 对于方程组2353433xyxy而言，你能设法让两个方程中x 的系数相等吗？你的方法是；若让精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载两个方程中y 的系数互为相反数，你的方法是3、 用加减消元法解方程组23537xyxy正确的方法是（） A2x5得 B3x12得 C3

11、x75得 Dx3y7x2先将变为，再得以下教科书中没有的几种解法（可以作为培优学生的拓展）(一)加减 -代入混合使用的方法. 例 1, 13x+14y=41 (1) 14x+13y=40 (2) 解:(2)-(1) 得x-y=-1 x=y-1 (3) 把(3)代入 (1)得13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41 27y=54 y=2 把 y=2 代入 (3)得x=1 所以 :x=1, y=2 特点 :两方程相加减,单个 x 或单个 y,这样就适用接下来的代入消元. (二)换元法例 2，(x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4 令 x+5=m,y-4=n 原方程可

12、写为m+n=8 m-n=4 解得 m=6, n=2 所以 x+5=6, y-4=2 所以 x=1, y=6 特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4 之类，换元后可简化方程也是主要原因。（三）另类换元例 3，x:y=1:4 5x+6y=29 令 x=t, y=4t 方程 2 可写为： 5t+6*4t=29 29t=29 t=1 所以 x=1,y=4 知识点 4：一次函数与二元一次方程（组）从数的角度看从形的角度看：求二元一次方程组的解x为何值时，两个函数的值相等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习

13、必备欢迎下载例 1已知二元一次方程xy3 与 3xy5 有一组公共解12yx, 那么一次函数y3x 与y3x5 的图象的交点坐标为 ( ) A(1,2)B(2,1) C(1,2) D ( 2,1) 例 2、二元一次方程2xy4 有_个解，以它的解为坐标的点都在函数_的图象上【巩固练习】1、已知点（ 3， 2）是两直线y1 2xa与y2xb的交点，则a_ ，b_. 2、已知关于x，y的二元一次方程3ax2by0 和 5ax3by19 化成的两个一次函数的图象的交点坐标为（1， 1） ，则a_，b_. 例 3、如图，直线l1：yx1 与l2：ymxn相交于点P（1，b） （1）求b的值（2）不解关

14、于x，y的方程组直接写出它的解（3）直线l3：ynxm是否也经过点P？说明理由练习：在直角坐标系中有两条直线：3955yx和362yx，它们的交点为P，第一条直线与x轴交于点A，第二条直线与x轴交于点B（1）求A，B两点的坐标 （2）求PAB的面积知识点 5：实际问题与二元一次方程组列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；

15、（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案. 列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。 其等量关系式是:两者的行程差开始时两者相距的路程；(2)相遇问题 :相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和总路程。求二元一次方程组的解是确定两条直线交点的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页

16、，共 12 页学习必备欢迎下载(3)航行问题：船在静水中的速度水速船的顺水速度；船在静水中的速度水速船的逆水速度；顺水速度逆水速度2水速。注意： 飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。2工程问题：工作效率工作时间=工作量 . 3商品销售利润问题：(1)利润售价成本(进价 )； (2)； (3)利润成本（进价）利润率；(4) 标价成本 (进价 )(1利润率 )；(5)实际售价标价打折率；打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）4储蓄问题：利息本金利率期数本息和本金利息本金本金利率期数本金(1利

17、率期数) 利息税利息利息税率本金利率期数利息税率。税后利息利息(1利息税率 ) 。5配套问题：解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。6增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量(1增长率 )增长后的量；原量 (1减少率 )减少后的量 . 7和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系是：较大量较小量多余量，总量倍数倍量. 8数字问题：解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n 为整数时，奇数可表示为 2n+1(或 2n-1)，偶数可表示为2n 等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字9优化方案问题：在

18、解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。经典例题透析类型一：列二元一次方程组解决行程问题例： 甲、乙两地相距160 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1 小时 20 分相遇 . 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1 小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？举一反三：【变式 1】甲、乙两人相距36 千米，相向而行，如果甲比乙先走2 小时，那么他们在乙出发2.5 小时后相遇；如果乙比甲先走2 小时，那么他们在甲出发3 小时后相

19、遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载【变式 2】两地相距280 千米，一艘船在其间航行，顺流用14 小时，逆流用20 小时，求船在静水中的速度和水流速度。类型二：列二元一次方程组解决工程问题例： 一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费用共3520 元；若先请甲组单独做 6 天，再请乙组单独做12 天可完成， 需付两组费用共3480 元，问：(1) 甲、乙两组工作一天， 商店应各付多少元？(2) 已知甲组单独做需12 天完成，乙组单

20、独做需24 天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？举一反三：【变式 3】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6 周完成需工钱5.2 万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9 周完成，需工钱4.8 万元 . 若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 类型三：列二元一次方程组解决商品销售利润问题例： 有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46 元。价格调整后，甲商品的利润率为 4% ，乙商品的利润率为5% ，共可获利44 元，则两件商品的进价分别是多少元？举一反三：【变式 4】某商场用36

21、万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6 万元，其进价和售价如下表：A B 进价（元 /件）1200 1000 售价（元 /件）1380 1200 （注：获利 = 售价 进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载类型四：列二元一次方程组解决银行储蓄问题例： 小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000 元钱，一种是年利率为2.25 的教育储蓄，另一种是年利率为2.25 的一年定期存款，一年后可取出2042.75 元，问这两种储蓄各存了

22、多少钱？（利息所得税利息金额20% ，教育储蓄没有利息所得税）举一反三：【变式 5】李明以两种形式分别储蓄了2000 元和 1000 元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92 元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%， 问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额 20% ）【变式 6】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000 元钱 . 第一种， 一年期整存整取，共反复存了3 次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%. 三年后同时取出共得利息303.75 元(

23、不计利息税 ) ，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？类型五：列二元一次方程组解决生产中的配套问题例： 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2 米的某种布料可做上衣的衣身3 个或衣袖5 只. 现计划用132 米这种布料生产这批秋装( 不考虑布料的损耗) ，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？举一反三：【变式 7】现有 190 张铁皮做盒子，每张铁皮做8 个盒身或22 个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？【变式 8】某工厂有工人60 人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14 个或螺母2

24、0个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。【变式 9】一张方桌由1 个桌面、 4 条桌腿组成，如果1 立方米木料可以做桌面50 个，或做桌腿300 条。现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载多少张方桌？类型六：列二元一次方程组解决增长率问题例： 某工厂去年的利润（总产值总支出）为200 万元，今年总产值比去年增加了20% ，总支出比去年减少了10% ，今年的利润

25、为780 万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？【变式 10】某城市现有人口42 万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1% ，求这个城市的城镇人口与农村人口。类型七：列二元一次方程组解决和差倍分问题例： “爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9 千顶，现某地震灾区急需帐篷14 千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的 1.6 倍、1.5 倍，恰好按时完成了这项任务求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？举一反三：【 变式 11】

26、 (20XX 年北京门头沟区中考一模试题) “地球一小时” 是世界自然基金会在20XX年提出的一项倡议号召个人、 社区、 企业和政府在每年3 月最后一个星期六20 时 30 分 21 时 30 分熄灯一小时， 旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活中国内地去年和今年共有119 个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3 倍少 13 个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动类型八：列二元一次方程组解决数字问题例： 一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？举

27、一反三：【变式 12】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？【变式 13】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。类型九：列二元一次方程组解决浓度问题例： 现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是37，乙种酒精溶液的酒精与水的比是41，今要得到酒精与

28、水的比为32 的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？举一反三：【变式 14】要配浓度是45% 的盐水 12 千克，现有10% 的盐水与 85% 的盐水，这两种盐水各需多少？【变式 15】一种 35% 的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为35% 的农药加水多少千克，才能配成 1.75%的农药 800 千克？类型十：列二元一次方程组解决几何问题例： 用长 48 厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3 厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？举一反三：【变式 16】一块矩形草坪的长比宽的2 倍多 10m ，它的周长是132

29、m ，则长和宽分别为多少？类型十一：列二元一次方程组解决年龄问题例： 今年父亲的年龄是儿子的5 倍， 6 年后父亲的年龄是儿子的3 倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载举一反三：【变式 17】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一. 小李发现， 12 年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一. 试求出今年小李的年龄. 、类型十二：列二元一次方程组解决 优化方案问题：例： 某商场计划拨款9 万元从厂家购进50 台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台

30、1500 元，乙种每台2100 元，丙种每台2500 元。(1) 若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50 台，用去9 万元，请你研究一下商场的进货方案；(2) 若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150 元、 200 元、 250 元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？举一反三：【变式 18】某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000 元；经粗加工后销售，每吨利润可达 4500 元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500 元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140 吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16 吨；如果进行细加工，每天可加工6 吨. 但两种加工方式不能同时进行 . 受季节条件的限制，公司必须在15 天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15 天完成你认为选择哪种方案获利最多？为什么？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页