《2022年全国高考数学试题分类汇编直线与圆锥曲线的位置关系 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年全国高考数学试题分类汇编直线与圆锥曲线的位置关系 .pdf（5页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、10.4直线与圆锥曲线的位置关系3.(2015北京,20,14 分)已知椭圆 C:x2+3y2=3.过点 D(1,0)且不过点 E(2,1)的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,直线 AE 与直线 x=3 交于点 M.(1)求椭圆 C 的离心率 ;(2)若 AB 垂直于 x 轴,求直线 BM 的斜率 ;(3)试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系 ,并说明理由 .解析(1)椭圆 C 的标准方程为+y2=1.所以 a=,b=1,c=.所以椭圆 C 的离心率 e= =.(2)因为 AB 过点 D(1,0)且垂直于 x 轴,所以可设 A(1,y1),B(1,-y1).直线 AE 的方程为 y-1
2、=(1-y1)(x-2).令 x=3,得 M(3,2-y1).所以直线 BM 的斜率 kBM=-=1.(3)直线 BM 与直线 DE 平行.证明如下 :当直线 AB 的斜率不存在时 ,由(2)可知 kBM=1.又因为直线 DE 的斜率 kDE=-=1,所以 BM DE.当直线 AB 的斜率存在时 ,设其方程为 y=k(x-1)(k 1).设 A(x1,y1),B(x2,y2),则直线 AE 的方程为 y-1=-(x-2).令 x=3,得点 M-.由-得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0.所以 x1+x2=,x1x2=-.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
3、- - - - - - -第 1 页，共 5 页直线 BM 的斜率 kBM=-.因为 kBM-1=- -=-=-=0,所以 kBM=1=kDE.所以 BM DE.综上可知 ,直线 BM 与直线 DE 平行.4.(2015福建,19,12 分)已知点 F 为抛物线 E:y2=2px(p0)的焦点 ,点 A(2,m)在抛物线 E 上,且|AF|=3.(1)求抛物线 E 的方程 ;(2)已知点 G(-1,0),延长 AF 交抛物线 E 于点 B,证明:以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆 ,必与直线 GB 相切.解析(1)由抛物线的定义得 |AF|=2+ .因为|AF|=3,即 2+ =3,解得
4、 p=2,所以抛物线 E 的方程为 y2=4x.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页(2)解法一 :因为点 A(2,m)在抛物线 E:y2=4x 上,所以 m= 2,由抛物线的对称性 ,不妨设 A(2,2).由 A(2,2),F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y=2(x-1).由-得 2x2-5x+2=0,解得 x=2 或 x= ,从而 B-.又 G(-1,0),所以 kGA=- -=,kGB=- -=-,所以 kGA+kGB=0,从而 AGF= BGF,这表明点 F 到直线 GA,GB 的距离相等 ,故以 F 为
5、圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.解法二 :设以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆的半径为r.因为点 A(2,m)在抛物线 E:y2=4x 上,所以 m= 2,由抛物线的对称性 ,不妨设 A(2,2).由 A(2,2),F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y=2(x-1).由-得 2x2-5x+2=0,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页解得 x=2 或 x= ,从而 B-.又 G(-1,0),故直线 GA 的方程为 2x-3y+2=0,从而 r=.又直线 GB 的方程为 2x+3y+2=0,所以点
6、F 到直线 GB 的距离 d=r.这表明以点 F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.5.(2015湖南,20,13分)已知抛物线 C1:x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C2:+=1(ab0)的一个焦点 ,C1与 C2的公共弦的长为 2.过点 F 的直线 l 与 C1相交于 A,B 两点,与 C2相交于 C,D 两点,且与同向.(1)求 C2的方程 ;(2)若|AC|=|BD|,求直线 l 的斜率 .解析(1)由 C1:x2=4y 知其焦点 F的坐标为 (0,1).因为 F 也是椭圆 C2的一个焦点 ,所以 a2-b2=1.又 C1与 C2的公共弦的长为 2,C1与 C2都关于
7、y 轴对称 ,且 C1的方程为 x2=4y,由此易知 C1与 C2的公共点的坐标为,所以+=1.联立,得 a2=9,b2=8.故 C2的方程为+=1.(2)如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).因与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而 x3-x1=x4-x2,即 x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1.由得 x2-4kx-4=0.而 x1,x2是这个方程的两根 ,所以 x1+x2=4k,x1x2=-4.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页由得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而 x3,x4是这个方程的两根 ,所以 x3+x4=-,x3x4=-.将,代入,得 16(k2+1)=+,即 16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=16 9,解得 k= ,即直线 l 的斜率为 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页