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1、学习必备欢迎下载全国初中数学奥林匹克竞赛试卷（八年级）一、选择题（本大题共6 小题，每个小题 7 分，满分 42 分） ，每小题均给出四个选项，其中有且仅有一个正确的选项， 请将正确的选项的代号填在下表指定的位置题号1 2 3 4 5 6 得分正确选项1、已知三点 A（2,3),B(5，4)，C（-4，1）依次连接这三点，则A、构成等边三角形B、构成直角三角形C、构成锐角三角形D、三点在同一直线上解：AB的解析式为 y=13x+73当 x= -4时，y=1，即点 C在直线 AB上，选 D 2、边长为整数，周长为20 的三角形个数是（）A、4 个B、6 个C、8 个D、12 解设三进行三边为 a
2、、b、c 且 abc，a+b+c=20 ，a7，又 b+ca，2a20a10，又 7a9，可列出（ a、b、c）有： （9，9，2） （9，8，3） （9，7，4） （9，6，5）（8，8，4） （8，7，5） （8，6，6） （7，7，6）共八组，选 C 3、N=31001+71002+131003，则 N 的个位数字是（）A、3 B、6 C、9 D、0 解 31001的个位数字为 3，71002的个位数字为 9，131003的个位数字为7，N 的各位数字为 9，选 C 4、P为正方形 ABCD内一点，若 PA:PB:PC=1 ：2：3，则 APB的度数为（）A、120B、135C、150D
3、、以上都不对解：过 P作 BP BP，且使 BP =BP ，连 PA 易得 PABPBC, 则 PA=PC, 设 PA=k ，则 PB=2k，PC=P A=3k，连 PP ,则 RtPBP 中， P PB=45 且 PP =2 2 k，在 PAP中有： PA2=P P2+PA2, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载P PA=90 ， APB=135 选 B 5、在函数 y= -a2+1x（a 为常数）的图象上有三点：（-1，y1） （-14，y2） （12，y3） ，则函数值 y1，y2，y3的大小关
4、系是（）A、y1y2y3B、y3y2y1C、y3y1y2D、y2y1y3 -（a2+1）0，在每个象限， y 随 x 的增大而增大，因此y1y2又（ -1，y1）在第二象限，而（12，y3）在第四象限， y3y1选 C 6、已知 a+b+c0，且a+bc=b+ca=a+cb=p，则直线 y=px+p不经过（）A、第一象限B、第二象限C 、第三象限D、第四象限解bpacapcacpba20)()(2pcbacbapcba因此，直线 y=px+p不可能通过第四象限，选D 二、填空题（本大题有4 小题，每小题 7 分，满分 28 分）请将正确答案填在下表的指定位置题号7 8 9 10 得分正确答案7
5、、如果 a 是方程 x2-3x+1=0的根，那么分式2a5-6a4+2a3-a2-13a的值是；解 根据题意 a2-3a+1=0 ，原式 =2a3(a2-3a+1)-(a2+1)3a=-a2+13a=-1，填 -1 8、甲乙两个机器人同时按匀速进行100 米速度测试，自动记录仪表明：当甲距离终点差 1 米，乙距离终点2 米；当甲到达终点时，乙距离终点1.01 米，经过计算，这条跑道长度不标准，这这条跑道比100 米多；解设跑道实际长为 x 米，甲、乙两位机器人的速度分别为v甲，v乙，甲距离终点 1 米时说花的时间为t，v乙t=x-2，于是v甲v乙=x-1x-2又设甲到达终点时所花的时间为t 则
6、 v甲t =x，v乙t =x-1.01 于是v甲v乙=xx-1.01，因此可得方程x-1x-2=xx-1.01，解得 x=101米，因此，这条跑道比100 米多 1 米，填 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载9、根据图中所标的数据，图中的阴影部分的面积是；解有对称性可知 5 个三角形中的面积为S0=S0, S1=S1,且S0S1=32即 2S0=3S1, 又 2S0+S1=152即 3S1+ S1=152, S1=258S0=4516又 S2+S1=2,S2=5-S1=258填25810、有三个含
7、有30角的直角三角形，它们的大小互不相同，但彼此有一条边相等，这三个三角形按照从大到小的顺序，其斜边的比为；解设三角形甲的勾 =三角形乙的股 =三角形丙的弦，则三者的弦分别为2，2 33，1 即所求比为 2：233：1，填 2：2 33：1 三、解答题（本大题共有3 小题，第 11 小题 20 分，第 12、13 小题各 25 分，满分 70 分）11、已知 ABC是等边三角形， E是 AC延长线上一点，选择一点D，使得 CDE是等边三角形，如果M 是线段 AD的中点， N 是线段 BE的中点，求证： CMN是等边三角形证明： ACD BCE AD=BE,AM=BN 6 分又 AMCBNC C
8、M=CN, ACM=BCN 12分又NCM=BCN- BCM ACB= ACM-BCM NCM=ACB=60 CMN是等边三角形20 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载12、已知 n 是大于 1 的整数求证： n3可以写出两个正整数的平方差证明： n3=（n2）24n 8 分=（n2）2(n+1)2-（n-1）2 15 分=n2(n+1)2-n2(n-1)220 分n（n+1） ，n（n-1）不仅大于 1，而且均能被 2 整除n2(n+1)，n2(n-1)均为正整数因此，命题得证25分13、已知正整
9、数 x、y 满足条件：2x+1y=a， （其中， a 是正整数，且 xy）求 x 和 y 解x1，y2，2x+1y2+12，即 a212因此 a=1或 a=2 当 a=1是，2x+1y=1，若 x=1，则1y=-1，与 y 是正整数矛盾， x1，若 x=2，则1y=0，与 y 是正整数矛盾， x2 若 x3，则2x+1y23+141，与2x+1y=1 矛盾， x3 综上所述， a1 当 a=2时有2x+1y=2，若 x=1，则1y=0，与 y 是正整数矛盾， x1 若 x3，则2x+1y23+14，与2x+1y=2 矛盾， x3 因此 1x3，x=2，y=1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页