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1、精品资料欢迎下载偏微分方程数值解试题(06B) 参考答案与评分标准信息与计算科学专业一 （ 10 分 ）、 设 矩 阵 A 对 称 ， 定 义)(),(),(21)(nRxxbxAxxJ，)()(0 xxJ. 若0)0(, 则称称0 x是)(xJ的驻点（或稳定点）. 矩阵 A对称（不必正定），求证0 x是)(xJ的驻点的充要条件是：0 x是方程组bAx的解解: 设nRx0是)(xJ的驻点 ,对于任意的nRx,令),(2),()()()(2000 xAxxbAxxJxxJ, (3 分) 0)0(, 即 对 于 任 意 的nRx,0),(0 xbAx, 特 别 取bAxx0, 则 有0|),(20
2、00bAxbAxbAx,得到bAx0. (3 分) 反之,若nRx0满足bAx0,则对于任意的x,)(),(21)0() 1()(00 xJxAxxxJ,因此0 x是)(xJ的最小值点 . (4 分) 评分标准 :)(的展开式 3 分, 每问 3 分,推理逻辑性 1 分二（ 10 分） 、 对于两点边值问题：0)(,0)(),()(buaubaxfqudxdupdxdLu其中),(,0),(,0)(min)(),(0min,1baHfqbaCqpxpxpbaCpbax建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的 Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。解 : 设0)(
3、),(|11aubaHuuHE为 求 解 函 数 空 间 ,检 验 函 数 空 间 .取),(1baHvE,乘方程两端 ,积分应用分部积分得到(3 分) )().(),(vffvdxdxquvdxdvdxdupvuababa,),(1baHvE即变分问题的 Galerkin 形式. (3 分) 令badxfuqudxdupufuuauJ)(21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz形式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页精品资料欢迎下载为求),(1*baHuE,使)(min)(1*uJuJEHu(4 分) 评分
4、标准 :空间描述与积分步骤3 分,变分方程 3 分,极小函数及其变分问题4 分, 三（ 20 分） 、对于边值问题xuuuuGyxyuxuyyxx1|, 0|, 1|) 1 , 0()1 ,0(),( ,010102222（1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式） ，推导截断误差的阶。（2）取3/1h，求边值问题的数值解 （写出对应的方程组的矩阵形式，并求解）（3）就5/1h和Nh/1的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示） 。解: (1) 区域离散khyjhxkj,差分格式为02221,1,2, 1,1huuuhuuukjjkkjkjjkkj(5 分) 应用
5、Tayloy展开得到 ,截断误差为)(12444442hOyuxuhjk,其阶为)(2hO(3 分) (2) 未知量为TuuuuU),(22211211,矩阵形式为FAU,其中3/13/53/13/53/13/213/13/21,4110140110410114FA(4 分) 求解得到解为(3 分) 15/5215/215/202/1502/12/152/12LA=4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4 L = 2.0000 -0.5000 -0.5000 0 0 1.9365 -0.1291 -0.5164 0 0 1.9322 -0.5521 0 0
6、 0 1.8516 u= 0.6667 0.3333 0.6667 0.3333 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页精品资料欢迎下载(3) 矩阵为BIIBIIB,4114114B(5 分) 评分标准 :第 1 问 8 分,格式 4 分,截断误差 4.(2) 7 分,方程 4 分,解 3 分.(3)5 分, 形式 3 分,B 的形式 2 分四（ 20 分） 、对于初边值问题TttutuxxxuTtxbuxuatu0,0), 1(),0(10),()0,(0, 10,22（1）建立向前差分格式（最简显格式） ，推导截断误
7、差的主项，指出误差阶; （2）写出差分格式的矩阵形式 （即FBUAUkk 1的形式） ，用矩阵方法分析格式的稳定性（3）建立六点对称格式 (NicolsonCrank格式 ) 并写出计算形式，应用Fourier方法（分离变量法）分析格式的稳定性。解:(1) 区域离散 , 格式为kjkjxkjkjbuuhauu2211 , (5分) 应 用Taylor展 开 得 到 , 误 差主 项为)()(12)(214244222hOxuahtukjkj, 阶 为)(2hO (3分) (2) ,21 ,rrrdiagBEA, (4分) 稳定条件为2/1r (3分) (3) 格式为)(2)1(11221kjk
8、jkjkjxkjkjuubuuhauu, (3分) 低阶项归入)(O中, 格式是无条件稳定的 . (2分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页精品资料欢迎下载五（ 10 分） 、逼近0 xutu的三层差分格式0221111huuuunjnjnjnj分析格式的稳定性解: 计算形式为1111)(njnjnjnjuuuru (2分) 此为三层格式 , 化为两层格式 . 令njnjuv1, 则有njnjnjnjnjnjuvvuuru1111)( (4分) 令jhinnjjhinnjewvewu21, 代入格式 , 消去公因子
9、 , 得到nnnnwwhirww211211011sin2 (2分) 放大矩阵为011sin2hirG, 特征方程为11sin2|hirGE01sin22hir,ihrhr2sin44sin2222,1121,1|,max|21的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根, 即0sin4422hr. 考虑到的变化 , 稳定条件为1r (2分) 六（ 10 分） 、建立波动方程22222xuatu的初值问题的显格式，推导截断误差,推导格式稳定的必要条件. 解: 差分格式为njxnjnjnjuhauuu22221112, (3分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
10、- - - - - -第 4 页，共 6 页精品资料欢迎下载截断误差为)(121442442244hOhxuatunjnj, 阶为)(22hO (3分) 分析稳定性必要条件 (4分) 七（ 10 分） 、对于二维抛物型方程)(2222yuxuatu建立NicolsonCrank差分格式，指出截断误差阶，分析格式的稳定性。解: 差分格式为)(121221njkynjkxnjknjkuuhauu (4分) 误差阶为)(2hO (3 分) 放大因子为2sin42sin411),(22hrhrG, 恒稳定 . (3分) 八. 用GalerkinRitz方法求边值问题1) 1(, 0)0(102uuxx
11、uu的第n次近似)(xun, 基函数nixixi,.,2 ,1),sin()(解:(1) 边界条件齐次化 : 令xu0,0uuw, 则w满足齐次边界条件 , 且0)1 (, 0)0(20wwxxLuLuLw (3分) 第n次近似nw取为niiincw1, 其中),.2, 1(nici满足的GalerkinRitz方程为njxxcajniiji,.,2, 1),(),(21 (3分) 又xdjxixijdxxjxidxxjxiijdxajijiji)cos()cos(2)sin()sin()cos()cos()(),(1010210jxixsinsin21由三角函数的正交性 , 得到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页精品资料欢迎下载jijiiaji,0,212),(22而 1)1()(2)sin()1(),(3102jjjdxxjxxxx于是得到为偶数为奇数jjjjaxxcjjjj0)1()(8),(),(2232最后得到211233) 12(1)12() 12sin(8)(nknkkxkxxu (4分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页