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1、初一数学竞赛讲座第 9 讲 应用问题选讲我们知道，数学是一门基础学科。 我们在学校中学习数学的目的，一方面是为学习其它学科和学习更深的数学知识打下一个基础，更重要的是为了现在和将来运用所学的数学知识去解决一些日常生活、科学实验、工农业生产以及经济活动中所遇到的实际问题。运用数学知识解决实际问题的基本思路是：先将这个实际问题转化为一个数学问题（我们称之为建立数学模型），然后解答这个数学问题，从而解决这个实际问题。即：这里，建立数学模型是关键的一步。也就是说，要通过审题，将实际问题与自己学过的数学知识、 数学方法联系起来， 将其归结到某一类型的数学问题，然后解答这个数学问题。下面介绍一些典型的数学
2、模型。一、两个量变化时，和一定的问题两个变化着的量， 如果在变化的过程中， 它们的和始终保持不变， 那么它们的差与积之间有什么关系呢？观察下面的表：我们不难得出如下的规律：两个变化着的量， 如果在变化的过程中， 和始终保持不变， 那么它们的差越小，积就越大。若它们能够相等，则当它们相等时，积最大。这个规律对于三个和三个以上的变量都是成立的。例 1 农民叔叔阿根想用20块长 2 米、宽 1.2 米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝。为了防止鸡飞出，所建鸡窝的高度不得低于2 米，要使鸡窝面积最大，长方形的长和宽分别应是多少？解：如上图，设长方形的长和宽分别为x 米和 y 米，则有精选学习资料 - -
3、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页x2y1.2 2024。长方形的面积为因为 x 和 2y 的和等于 24 是一个定值， 故它们的乘积当它们相等时最大，此时长方形面积 S 也最大。于是有x=12， y 6。例 2 如果将进货单价为40元的商品按 50 元售出， 那么每个的利润是10 元，但只能卖出 500 个。当这种商品每个涨价1 元时，其销售量就减少10 个。为了赚得最多的利润，售价应定为多少？解：设每个商品售价为（ 50+x）元，则销量为（ 500-10X）个。总共可以获利: （50 x-40 ）（500-10 x）=10（10+X
4、）（ 50-X）（元）。因（10+x）+（50 x）=60为一定值，故当 10+X=50 X即 X=20时，它们的积最大。此时，每个的销售价为5020=70（元）。例 3 若一个长方体的表面积为54 厘米2，为了使长方体的体积最大，长方体的长、宽、高各应为多少厘米？解：设长、宽、高分别为x，y，z 厘米，体积为 V厘米3。2（xyyz+zx）=54，xyyz+zx=27。因为 V2=（xyz）2=（xy）（yz）（zx），故当 xy=yz=zx 即 x=y=z=3 时，V2有最大值，从而V也有最大值。例 4 有一块长 24 厘米的正方形厚纸片，在它的四个角各剪去一个小正方形，就可以做成一个无盖
5、的纸盒， 现在要使做成的纸盒容积最大， 剪去的小正方形的边长应为几厘米？解：如上图，设剪去的小正方形的边长为x 厘米，则纸盒的容积为V=x（24-2x ）（24-2x） =22x（12-x）（12-x ）。因为 2x+（12-x ）+（12-x ）=24 是一个定值，故当2x=12-x12-x，即 x=4 时，其乘积最大，从而纸盒的容积也最大。二、两个量变化时，积一定的问题两个变化着的量， 如果在变化的过程中， 它们的乘积始终保持不变， 那么它们的差与和之间有什么关系呢？观察下面的表：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7
6、页我们不难得出如下的规律：两个变化着的量， 如果在变化的过程中， 乘积始终保持不变， 那么它们的差越小，和就越小。若它们能够相等，则当它们相等时，和最小。例5 长方形的面积为 144 cm2， 当它的长和宽分别为多少时， 它的周长最短？解：设长方形的长和宽分别为 xcm 和 ycm，则有xy144。故当 x=y=12 时，x+y 有最小值，从而长方形周长2（xy）也有最小值。例 6 用铁丝扎一个空心的长方体，为了使长方体的体积恰好是216cm3，长方体的长、宽、高各是多少厘米时，所用的铁丝长度最短？解：设长方体的长、宽、高分别为xcm ，ycm ，zcm ，则有 xyz216。铁丝长度的和为
7、4 （x y z ），故当 x y=z6 时，所用铁丝最短。例 7 农场计划挖一个面积为432 m2的长方形养鱼池，鱼池周围两侧分别有3m和 4m的堤堰如下图所示，要想占地总面积最小，水池的长和宽应为多少？解：如图所示，设水池的长和宽分别为xm和 ym ，则有xy432。占地总面积为 S=（x6）（y8）cm2。于是S=Xy+6y+8X 486y+8X+480 。我们知道6y 8X=48432 为一定值，故当6y=8X 时，S 最小，此时有6y=8X=144 ，故 y=24，x=18。例 8 某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240 元，使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每人只限一次。某班有4
8、8 名学生，老师打算组织学生集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外， 每次游泳还需包一辆汽车， 无论乘坐多少名学生，每次的包车费均为40 元。若要使每个同学游8 次，每人最少交多少钱？解：设一共买了 X张卡，一共去游泳y 次，则共有Xy=488=384（人次），总用费为（ 240 x40y）元。因为 240 x 40y=24040384 是一定值，故当 240 x=40y，即 y=6x 时，和最小。易求得 x=8，y=48。此时总用费为24084048=3840（元），平均每人最少交 384048=80（元）。三、利用不等关系来解答的应用题例 9 某公司在 A，B两地分别库存有某机器16台和 12
9、 台，现要运往甲、乙两家客户的所在地， 其中甲方 15台，乙方 13 台。已知从 A地运一台到甲方的运精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页费为 500 元，到乙方的运费为400元，从 B地运一台到甲方的运费为300 元，到乙方的运费为 600 元。已知运费由公司承担， 公司应设计怎样的调运方案，才能使这些机器的总运费最省？解： 设由 A地运往甲方 x 台， 则 A地运往乙方（16-x） 台， B地运往甲方（15-x ）台，B地运往乙方（ x3）台。于是总运价为：S=500 x+400 （16-x）300（15-x ）+
10、600（x-3 ）400 x+9100。显然，x 要满足不等式 3x15，于是当 x=3时，总运价最省，为 400 3 9100=10300（元）。调运方案为：由 A 地运往甲方 3 台，A 地运往乙方 13 台，B地运往甲方 12台，B地运往乙方 0 台。例 10 某校决定出版“作文集”，费用是30 册以内为 80 元，超过 30 册的每册增加 1.20 元。当印刷多少册以上时，每册费用在1.50 元以内？解：显然印刷的册数应该大于30。设印刷了（ 30 x）册，于是总用费为（80+1.2x）元。故有80+1.2x1.5 （30+x），以内。例 11 现有三种合金：第一种含铜60，含锰 40
11、；第二种含锰 10，含镍 90；第三种含铜 20，含锰 50，含镍 30。现各取适当数量的这三种合金，组成一块含镍45的新合金，重量为1 千克。（1）求新合金中第二种合金的重量的范围；（2）求新合金中含锰的重量的范围。解：设第一种合金用量为x 千克，第二种合金用量为y 千克，第三种合金用量为 z 千克，依题意有（1）如果不取第一种合金，即x=0，那么新合金中第二种合金重量最小。解得 y=0.25。如果不取第三种合金，即z=0，那么新合金中第二种合金重量最大。解得y0.5 。新合金中第二种合金的重量范围是0.25 克到 0.5 克。（2）由可得 z1.5-3y ，x=2y0.5 。故新合金中含锰
12、的重量为S40 x+10y+50z =40（2y-0.5 ）10y50（1.5-3y ）0.55-0.6y 。因为 0.25y0.5 ， 所以 0.25 S0.4 ， 即新合金中含锰的重量范围是0.25克到 0.4 克。例 12 某商店需要制作如下图所示的工字形架100 个，每个由三根长为2.3米、1.7 米、1.3 米的铝合金材料组装而成。市场上可购得该铝合金材料的原料长为 6.3 米。问：至少要买回多少根原材料，才能满足要求（不计损耗）？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页解：每根原材料的切割有下表的七种情况：显然
13、，三种方案损耗较小。方案依次切割原材料42 根、14根、29 根、1 根，可得 2.3 米、1.7 米、1.3 米的材料各 100 根，共用原材料 4214291=86（根）。练习 91销售某种西服， 当每件售价为 100 元时可售出 1000 件。如果定价每下降1，那么销售量将提高0.5 ，又知道这批西服是每件80 元成本购进的。问：应如何定价才能使获利最大？2下图是一个面积为4m2的窗户，当 ab 的值是多少时，窗户的框架所用的材料最省？3有一个长为 80cm、宽为 40cm的木板，要以它为原材料做一个无盖的木盒，应该如何制作才能使木盒的容积最大？最大的容积是多少？4某厂要建造一个无盖的露
14、天水槽，其底为正方形，容量为64000m3。在建造时，槽底的造价是四壁的2 倍，这个水槽的底面边长和高的比例是多少时，造价最省？5A城有化肥 200 吨，B城有化肥 300 吨，现要将化肥运往C ，D两村。已知从 A城运往 C，D两村的运价分别是每吨20元和 25 元，从 B城运往 C，D两村的运价分别是每吨15 元和 22 元。某个体户承包了这项运输任务， 请你帮他算一算，如何调运才能使运费最省？6有两个学生参加4 次数学测验，他们的平均分数不同，但都是低于90分的整数。他们又参加了第5 次测验，这样 5 次的平均分数都提高到了90 分，求第 5 次测验二人的得分（满分为100 分）。7某机
15、械厂要把一批长7300 毫米的钢筋截成长290 毫米、 210 毫米和 150毫米的钢筋各一段组成一套钢筋架子。现在做 100套钢筋架子，至少要用去长为7300毫米的钢筋多少根？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页8下表所示为 X，Y，Z 三种食品原料的维生素含量（单位：单位/ 千克）及成本：现在要将三种食物混合成100 千克的混合物，要求混合物至少需含44000单位的维生素 A 及 48000单位的维生素 B0如果所用的食物中x，Y，Z的重量依次为 X千克、 y 千克、 Z 千克，那么请定出X，y，Z 的值，使得成本
16、为最少。练习 9 答案：1.91 元。解：设定价为每件（ 100-x）元，则销售量为1000（1+0.5x）件。利润为（100-x-80）1000（1+0.5x）=500（20-x）（2+x）。因为（ 20-x）+（2+x）=22 为一定值，故当20-x=2+x 即 x=9 时利润最高。此时每件定价为 100-9=91（元）。2.23。解：窗户的框架长为3a+2b，而 ab=4是一个定值，从而 3a2b=6ab=24也是一个定值，故当3a=2b即 ab=23 时窗户框架所用材料最省。3.32000cm3解：设木盒的长、宽、高分别为xcm，ycm，zcm，则它的容积为 V=xyzcm3。因为xy
17、+2xz+2yz=4080=3200为一定值，故它们的积xy2xz2yz=4（xyz）2=4V2，在 xy=2xz=2yz 时最大，从而 V 也最大，此时有x=y=2z。经计算得 x=40，y=40，z=20。具体制作方式如下：先取原木板的一半（40cm40cm）作为木盒的底面，再将剩下的一半分成20 cm40 cm 大小的四等份，每份作为木盒的一个侧面就可以了。4.11。解： 设四壁的造价是a元/m2， 则底面造价为 2a元/m2。 又设其底面边长为xm，高为 ym，则有x2y=64000。总造价为a4xy+2ax2=2a（2xy+x2）=2a（xy+xy+x2）。因为 xyxyx2=（x2
18、y）2=640002为一定值，故当 xy=xy=x2即 xy=11 时，总造价最省。5.解：设 A 城化肥运往 C 村 x 吨，则运往 D 村（200-x）吨； B 城化肥运往C 村（220-x）吨，运往 D 村（80+x）吨，总运费 y 元，则y=20 x+25（200-x）+15（220-x）+22（80+x）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页=2x+10060。又易知 0 x200，故当 x=0 时，运费最省，为10060元。运输方案如下： A 城化肥运往 C 村 0 吨，运往 D 村 200吨；B 城化肥运往
19、 C村 220 吨，运往 D 村 80 吨。6.98，94。解：设某一学生前 4 次的平均分为 x 分，第 5 次的得分为 y 分，则其 5 次总分为4x+y=590=450。于是 y=450-4x。显然 90y100，故90450-4x100，解得 87.5x90。于是两个学生前4 次的平均分分别为 88 分和 89 分。第5 次得分分别为450-488=98（分）和 450-489=94（分）。7.90 根。解：每一根 7300 毫米的钢筋有如下三种损耗较小的截法：2902+1501=7300， 2102+1502=7200， 2102+2902=7100。 设按方案截得的钢筋有x 根，按
20、方案截得的钢筋有y 根，按方案截得的钢筋有 z 根，则长为 290，210，150毫米各有 100 根，即2x+z=x+2y=2y+2z=100。于是 x=40，y=30，z=20。一共至少用去长为7300 毫米的钢筋 90 根。8. 30，20， 50。解：x+y+z=100， 400 x+600y+400z44000， 800 x+200y+400z48000。 由得 2x+3y+2z220。 由得 4x+y+2z240。 由-2，得 y20。由 -2，得 2x-y40。由得 z=100-x-y。成本为6x+5y+4z=6x+5y+4（100-x-y）=400+2x+y=400+2y+（2x-y）400+40+40=480 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页