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1、第八讲行程问题（二）教学目标：1、能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点；2、能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题；3、 变速变道问题的关键是如何处理“变”；4、掌握寻找等量关系的方法来构建方程，利用方程解行程题知识精讲：比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“ 压轴知识点 ” 的角色。从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“ 得天独厚 ” 的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。我们常常会应用比例的工具
2、分析2 个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用,vvtts s乙乙乙甲甲甲，；来表示，大体可分为以下两种情况：1.当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。svtsvt甲甲甲乙乙乙，这里因为时间相同，即ttt乙甲,所以由ssttvv甲乙乙甲乙甲，得到sstvv甲乙乙甲，svsv甲甲乙乙，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比2.当 2 个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2 个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。svtsvt甲甲甲乙乙乙，这里因为路程相同，即sss乙
3、甲，由svtsvt乙乙乙甲甲甲，得svtvt乙乙甲甲，vtvt甲乙乙甲，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的反比。行程问题常用的解题方法有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；图示法在一些复杂的行程问题中，为了明确过程， 常用示意图作为辅助工具示意图包括线段图和折线图图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追
4、及的地点另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解例题精讲：模块一、时间相同速度比等于路程比【例
5、 1】甲、乙二人分别从A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达B 地和乙到达A 地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点30 千米，则A、 B 两地相距多少千米？【解析】 两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页程比为4 : 3第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了3 个全程，三个全程中甲走了453177个全程， 与第一次相遇地点的距离为54
6、2(1)777个全程所以A、B 两地相距2301057(千米 )【例 2】B 地在 A， C 两地之间甲从B 地到 A 地去送信，甲出发10 分后，乙从B 地出发到C 地去送另一封信，乙出发后10 分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B 地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3 倍，丙从出发到把信调过来后返回B 地至少要用多少时间。【解析】 根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：10 分钟10分钟10分钟CBA因为丙的速度是甲、乙的3 倍，分步讨论如下：（1）若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3 倍，比乙多走两
7、倍乙走需要10 分钟，所以丙用时间为：10 （31） =5（分钟）此时拿上乙拿错的信5分钟5分钟10 分钟10分钟10分钟CBA当丙再回到B 点用 5 分钟，此时甲已经距B 地有 10105530（分钟），同理丙追及时间为30 （31）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信在给乙送信，此时乙已经距B 地： 10551515=50（分钟），此时追及乙需要：50 （31）=25（分钟），返回 B 地需要 25 分钟所以共需要时间为5515152525=90（分钟）（2）同理先追及甲需要时间为120 分钟【例 3】 ( “圆明杯”数学邀请赛) 甲、乙两人同时从A、B两点出发，甲每分钟行
8、80米，乙每分钟行60米，出发一段时间后，两人在距中点的C处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了7分钟，两人将在距中点的D处相遇，且中点距C、D距离相等，问A、B两点相距多少米？【分析】 甲、乙两人速度比为80:604:3，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页全程的47，乙走了全程的37第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程的47，甲行了全程的37由于甲、乙速度比为4:3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了3
9、374，所以甲停留期间乙行了43317744，所以A、B两点的距离为1607=16804( 米) 【例 4】甲、乙两车分别从A、 B 两地同时出发，相向而行出发时，甲、乙的速度之比是5 : 4，相遇后甲的速度减少20% ，乙的速度增加20%这样当甲到达B 地时，乙离A 地还有10 千米那么A、B 两地相距多少千米？【解析】 两车相遇时甲走了全程的59，乙走了全程的49，之后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，此时甲、乙的速度比为5 (120%) : 4 (120%)5: 6，所以甲到达B 地时，乙又走了4689515，距离A 地58191545，所以A、 B 两地的距离为11045045(
10、千米 )【例 5】早晨， 小张骑车从甲地出发去乙地下午1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地 下午2 点时两人之间的距离是15 千米下午3 点时，两人之间的距离还是l5 千米下午4 点时小王到达乙地，晚上7 点小张到达乙地小张是早晨几点出发？【解析】 从题中可以看出小王的速度比小张块下午2 点时两人之间的距离是l5 千米下午3 点时，两人之间的距离还是l5 千米，所以下午2 点时小王距小张15 千米，下午3 点时小王超过小张 15 千米，可知两人的速度差是每小时30 千米由下午3 点开始计算，小王再有1 小时就可走完全程，在这1 小时当中，小王比小张多走30 千米，那小张3 小时走了15 30
11、 45千米，故小张的速度是45 3 =15 千米 /时，小王的速度是15 30 =45 千米 /时全程是45 3 =135千米，小张走完全程用了135 15= 9 小时，所以他是上午10 点出发的。【例 6】从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡路的距离相等。 陈明开车从甲地到乙地共用了3 小时，其中第一小时比第二小时多走15 千米，第二小时比第三小时多走25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢30 千米，走下坡路比走平路每小时快15 千米。那么甲乙两地相距多少千米？【解析】 由于 3 个小时中每个小时各走的什么路不明确，所以需要先予以确定从甲地
12、到乙地共用3 小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路的路程不需要1 小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了1 小时，这说明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小时则是全在走平路这样的话，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页由于下坡速度大于平路速度，所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走1 小时的路程，而这个路程恰好比以平路的速度走1 小时的路程 (即第二小时走的路程)多走 15 千米，所以这样的话第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15 千米，
13、不合题意，所以假设不成立，即第三小时全部在走上坡路如果第一小时全部在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时走的路程将大于以平路的速度走1 小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于 15 千米，也不合题意，所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路所以整个行程为：第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一段上坡路；第三小时全部在走上坡路由于第二小时比第三小时多走25 千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时30 千米所以第二小时内用在走平路上的时间为525306小时，其余的16小时在走上坡路；因为第一小时比第二小时多
14、走了15 千米，而61小时的下坡路比上坡路要多走130157.56千米，那么第一小时余下的下坡路所用的时间为1157.5152小时，所以在第一小时中，有112263小时是在下坡路上走的，剩余的31小时是在平路上走的因此，陈明走下坡路用了32小时，走平路用了157366小时，走上坡路用了17166小时因为下坡路与上坡路的距离相等，所以上坡路与下坡路的速度比是2 7:4: 73 6那么下坡路的速度为7301510574千米 /时，平路的速度是每小时1051590 千米，上坡路的速度是每小时 903060 千米那么甲、乙两地相距2771059060245366(千米 )模块二、路程相同速度比等于时间
15、的反比【例 7】甲、乙两人同时从A地出发到B地，经过3 小时，甲先到B地，乙还需要1 小时到达B地，此时甲、乙共行了35 千米求A，B两地间的距离【分析】 甲用 3 小时行完全程，而乙需要4 小时，说明两人的速度之比为4: 3，那么在 3 小时内的路程之比也是4:3；又两人路程之和为35 千米，所以甲所走的路程为4352034千米，即A，B两地间的距离为20 千米精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页【例 8】在一圆形跑道上，甲从A 点、乙从B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过4 分甲到达 B 点，又过8 分
16、两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？【解析】 由题意知，甲行4 分相当于乙行6 分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行12 分，而乙行12 分相当于甲行8 分，所以甲环行一周需12820（分） ，乙需20 4 6 30（分） . 【例 9】上午 8 点整，甲从A 地出发匀速去B 地， 8 点 20 分甲与从B 地出发匀速去A 地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、乙两人同时到达各自的目的地那么，乙从B 地出发时是8 点几分【解析】甲、乙相遇时甲走了20 分钟，之后甲的速度提高到原来的3 倍，又走了1
17、0 分钟到达目的地，根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走10 3= 30 分钟，所以前后两段路程的比为20 : 30 =2 : 3，由于甲走20 分钟的路程乙要走10 分钟，所以甲走30 分钟的路程乙要走15 分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了15 分钟，所以乙从B 地出发时是 8 点 5 分【例 10】 小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路小芳上学走这两条路所用的时间一样多已知下坡的速度是平路的1.6 倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？【解析】 设小芳上学路上所用时间为2，那么走一半平路所需时间是1由于下坡路与一半平
18、路的长度相同，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是51 1.68，因此，走上坡路需要的时间是511288， 那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为111:8 :118，所以，上坡速度是平路速度的811倍【例 11】 一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750 米，预计 50 分钟到达但汽车行驶到路程的35时，出了故障，用5 分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？【分析】 当以原速行驶到全程的35时，总时间也用了35，所以还剩下350(1)205分钟的路程；修理完毕时还剩下20515分钟，在剩下的这段路程上，预计时间
19、与实际时间之比为20:154:3，根据路程一定，速度比等于时间的反比，实际的速度与预定的速度之比也为4:3，因此每分钟应比原来快47507502503米小结：本题也可先求出相应的路程和时间，再采用公式求出相应的速度，最后计算比原来快多少，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页但不如采用比例法简便【例 12】 (2008“我爱数学夏令营”数学竞赛 ) 一列火车出发1小时后因故停车0.5小时 ， 然后以原速的34前进 ，最终到达目的地晚1.5小时 若出发1小时后又前进90公里因故停车0.5小时 ， 然后同样以原速的34前进
20、，则到达目的地仅晚1小时 ，那么整个路程为_公里【解析】 如果火车出发1小时后不停车，然后以原速的34前进，最终到达目的地晚1.50.51小时，在一小时以后的那段路程，原计划所花的时间与实际所花的时间之比为3: 4，所以原计划要花14333 小时，现在要花14344小时，若出发1小时后又前进90公里不停车，然后同样以原速的34前进，则到达目的地仅晚10.50.5小时，在一小时以后的那段路程，原计划所花的时间与实际所花的时间之比为3: 4，所以原计划要花0.54331.5小时，现在要花0.54342小时 所以按照原计划90公里的路程火车要用3 1.51.5小时，所以火车的原速度为901.560千
21、米小时，整个路程为6031240千米【例 13】 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发， 车速即比原计划的速度提高了1/9，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280 千米后，将车速提高1/6，于是提前1 小时40 分到达北京北京、上海两市间的路程是多少千米？【解析】 从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，即车速为原计划的10/9，则所用时间为原计划的 1 10/9=9/10，即比原计划少用1/10 的时间，所以一个半小时等于原计划时间的1/10，原计划时间为： 1.5 1/10=15(小时 )；按原计划的速度行驶280 千米后，将车速提高1/6，即此后车速为原来的 7/6
22、，则此后所用时间为原计划的1 7/6=6/7，即此后比原计划少用1/7 的时间，所以1 小时 40 分等于按原计划的速度行驶280 千米后余下时间的1/7，则按原计划的速度行驶280 千米后余下的时间为：5/3 1/7=35/3( 小时 )，所以，原计划的速度为：84(千米 /时)，北京、上海两市间的路程为：84 15= 1260(千米 )【例 14】 一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20%可以提前1 小时到达 如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高30% ，也可以提前1 小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？【解析】 车速提高20%， 即为原速度的6/5，那么所用时间为原来的5/
23、6，所以原定时间为51(1)66小时；如果按原速行驶一段距离后再提速30% ，此时速度为原速度的13/10，所用时间为原来的10/13，所以按原速度后面这段路程需要的时间为1011(1)4133小时所以前面按原速度行使精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页的时间为156433小时，根据速度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了全部路程的556318【例 15】 一辆车从甲地开往乙地如果车速提高20%，可以比原定时间提前1 小时到达；如果以原速行驶 120 千米后， 再将车速提高25%，则可以提前40 分钟到达 那么甲、
24、 乙两地相距多少千米？【分析】 车速提高20%，速度比为5: 6，路程一定的情况下，时间比应为6: 5，所以以原速度行完全程的时间为65166小时以原速行驶120 千米后，以后一段路程为考察对象，车速提高25%，速度比为4: 5，所用时间比应为5: 4，提前 40 分钟到达，则用原速度行驶完这一段路程需要4054106053小时，所以以原速行驶 120 千米所用的时间为108633小时，甲、乙两地的距离为812062703千米【例 16】 甲火车4分钟行进的路程等于乙火车5分钟行进的路程乙火车上午8:00从B站开往A站，开出若干分钟后，甲火车从A站出发开往B站上午9:00两列火车相遇，相遇的地
25、点离A、B两站的距离的比是15:16甲火车从A站发车的时间是几点几分？分析 甲、乙火车的速度比已知，所以甲、乙火车相同时间内的行程比也已知由此可以求得甲火车单独行驶的距离与总路程的比根据题意可知，甲、乙两车的速度比为5: 4从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为5: 415:12，而相遇点距A、B两站的距离的比是15:16说明甲火车出发前乙火车所走的路程等于乙火车1个小时所走路程的11612164也就是说乙比甲先走了一个小时的四分之一，也就是15 分钟所以甲火车从A站发车的时间是8点15分模块三、比例综合题【例 17】 小狗和小猴参加的100 米预赛结果，当小狗跑到终点时，小猴才跑到90
26、 米处，决赛时，自作聪明的小猴突然提出：小狗天生跑得快，我们站在同一起跑线上不公平，我提议把小狗的起跑线往后挪10 米小狗同意了，小猴乐滋滋的想：“这样我和小狗就同时到达终点了！”亲爱的小朋友，你说小猴会如愿以偿吗？【解析】 小猴不会如愿以偿 第一次，小狗跑了 100米， 小猴跑了 90米， 所以它们的速度比为100:9010:9；那么把小狗的起跑线往后挪10 米后，小狗要跑110 米， 当小狗跑到终点时， 小猴跑了91109910米，离终点还差1 米，所以它还是比小狗晚到达终点【例 18】 甲、 乙两人同时从A 地出发到B 地， 经过 3 小时，甲先到B 地， 乙还需要1 小时到达B 地，此
27、时甲、乙共行了35 千米求A， B 两地间的距离【解析】 甲、乙两个人同时从A 地到 B 地，所经过的路程是固定所需要的时间为：甲3 个小时，乙4 个小时（ 3+1）两个人速度比为：甲：乙=4：3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页当两个人在相同时间内共行35 千米时，相当与甲走4 份，已走3 份，所以甲走： 35 （43） 4=20（千米），所以， A、B 两地间距离为20 千米【例 19】A、B、C三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市开车后1小时A车出了事故，B和C车照常前进A车停了半小时后以原速度的45继续
28、前进B、C两车行至距离甲市200千米时B车出了事故，C车照常前进B车停了半小时后也以原速度的45继续前进 结果到达乙市的时间C车比B车早1小时，B车比A车早1小时，甲、乙两市的距离为千米【分析 】如果A车没有停半小时，它将比C车晚到1.5小时， 因为A车后来的速度是C车的45，即两车行5小时的路A车比C车慢1小时，所以慢1.5小时说明A车后来行了5 1.57.5小时从甲市到乙市车要行17.51.57小时同理，如果B车没有停半小时，它将比C车晚到0.5小时，说明B车后来行了50.52.5小时，这段路C车需行2.50.52小时，也就是说这段路是甲、乙两市距离的27故甲、乙两市距离为22001280
29、7( 千米 ) 【例 20】 甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后1小时， 乙从同地同路同向出发，步行2小时到达甲于45分钟前曾到过的地方此后乙每小时多行500米，经过3小时追上速度保持不变的甲甲每小时行多少米？分析 根据题意，乙加速之前步行2小时的路程等于甲步行2.25小时的路程，所以甲、乙的速度之比为2: 2.258:9，乙的速度是甲的速度的1.125倍；乙加速之后步行3小时的路程等于甲步行3.75小时的路程，所以加速后甲、乙的速度比为3:3.754:5加速后乙的速度是甲的速度的1.25倍；由于乙加速后每小时多走500 米，所以甲的速度为5001.251.1254000 米 /小时【例 21】
30、 甲、乙两人分别骑车从A地同时同向出发，甲骑自行车，乙骑三轮车12 分钟后丙也骑车从A地出发去追甲丙追上甲后立即按原速沿原路返回，掉头行了3 千米时又遇到乙已知乙的速度是每小时7.5千米，丙的速度是乙的2 倍那么甲的速度是多少？33丙乙甲EDCBA分析 丙的速度为7.5215千米 /小时，丙比甲、乙晚出发12 分钟，相当于退后了1215360千米后与甲、乙同时出发如图所示，相当于甲、乙从A，丙从B同时出发，丙在C处追上甲，此时乙走到D处，然后丙掉头走了 3 千米在E处和乙相遇从丙返回到遇见乙，丙走了3 千米，所以乙走了321.5千米，故CD为4.5千米那么，在从出发到丙追上甲这段时间内，丙一共
31、比乙多走了34.57.5千米，由于丙的速度是乙的速度的2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页倍，因此，丙追上甲时，乙走了7.5千米，丙走了15 千米，恰好用1 个小时；而此时甲走了7.54.5 12千米，因此速度为12 112( 千米 /小时 ) 【例 22】 甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后1 小时，甲与乙在离山顶600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？【解析】 甲如果用下山速度上
32、山，乙到达山顶时，甲恰好到半山腰，说明甲走过的路程应该是一个单程的1 1.5+1/2=2 倍，就是说甲下山的速度是乙上山速度的2 倍。两人相遇时走了1 小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了1 小时，所以甲下山要用 1/2 小时。甲一共走了1+1/2=1.5（小时）【例 23】 一条东西向的铁路桥上有一条小狗，站在桥中心以西5米处一列火车以每小时84千米的速度从西边开过来，车头距西桥头三个桥长的距离若小狗向西迎着火车跑，恰好能在火车距西桥头3米时逃离铁路桥；若小狗以同样的速度向东跑，小狗会在距东桥头0.5米处被火车追上问铁路桥长多少米，小狗的速度为每小时多少千米？【分析】 设铁路桥
33、长为x米在小狗向西跑的情况下：小狗跑的路程为(5)2x米，火车走的路程为(33)x米；在小狗向东跑的情况下：小狗跑的路程为(50.5)(4.5)22xx米，火车走的路程为(40.5)x米；两种情况合起来看，在相同的时间内，小狗一共跑了(5)(4.5)(0.5)22xxx米，火车一共走了 (33)(40.5)(73.5)xxx米；因 为 (73.5)x是 (0.5)x的7倍 ， 所 以 火 车 速 度 是 小 狗 速 度 的7倍 ， 所 以 小 狗 的 速 度 为84712( 千米 / 时) ；因为火车速度为小狗速度的7倍，所以 (33)7(5)2xx，解此方程得：64x所以铁路桥全长为64米，
34、小狗的速度为每小时12千米【例 24】 如图，8点10分，有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A、B两地顺时针方向沿长方形ABCD的边走向D点，甲8点20分到D后，丙、丁两人立即以相同速度从D点出发， 丙由D向A走去，8点24分与乙在E点相遇，丁由D向C走去，8点30分在F点被乙追上，则连接三角形BEF的面积为平方米DCBA丙乙甲FECBAD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页【分析】 如图，由题意知，丙从D到E用4分钟，丁从D到F用10分钟，乙从E经D到F用6分钟，说明甲、乙速度是丙、丁速度的741063倍
35、因为甲走AD用10分钟，所以丙走AD要用7701033( 分钟 ) ，走AE用7058433( 分钟 ) 因为乙走BAAE 用14分钟，所以丙走AB用7584014333( 分钟 ) 因为AB长60米，所以丙每分钟走4096032( 米) 于是求出9588723AE( 米) ，94182ED( 米) ，8718105BCAEED( 米) BEFBAEEDFFCBABCDSSSSS矩形60 10560 8721845215 105263002610405787.52497.5( 平方米 ) 【例 25】 如图，长方形的长AD与宽AB的比为5:3，E、F为AB边上的三等分点，某时刻，甲从A点出发沿
36、长方形逆时针运动，与此同时，乙、丙分别从E、F出发沿长方形顺时针运动甲、乙、丙三人的速度比为4:3:5他们出发后12分钟，三人所在位置的点的连线第一次构成长方形中最大的三角形，那么再过多少分钟，三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？FEDCBA分析 长方形内最大的三角形等于长方形面积的一半，这样的三角形一定有一条边与长方形的某条边重合，并且另一个点恰好在该长方形边的对边上所以我们只要讨论三个人中有两个人在长方形的顶点上的情况将长方形的宽3等分， 长5等分后， 将长方形的周长分割成16段，设甲走4段所用的时间为1个单位时间，那么一个单位时间内，乙、丙分别走3段、5段，由于4、3、5两两互质
37、，所以在非整数单位时间的时候，甲、乙、丙三人最多也只能有1个人走了整数段所以我们只要考虑在整数单位时间，三个人运到到顶点的情况对于甲的运动进行讨论：时间 (单位时间 )246810121416地点CACACACC对于乙的运动进行讨论：时间 (单位时间 )23101118192627地点DCBADCBA对于丙的运动进行讨论：时间 (单位时间 )23101118192627地点CBADCBAD需要检验的时间点有2、3、10、11、2个单位时间的时候甲和丙重合无法满足条件3个单位时间的时候甲在AD上，三人第一次构成最大三角形所以一个单位时间相当于4分钟精选学习资料 - - - - - - - - -
38、 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页10个单位时间的时候甲、乙、丙分别在C、B、A的位置第二次构成最大三角形所以再过40分钟三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？课后作业练习 1.甲、乙两车分别从A、B 两地出发，在A、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速度的37，并且甲、乙两车第2007 次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第2008 次相遇的地点恰好相距120 千米，那么，A、B 两地之间的距离等于多少千米？【解析】 甲、乙速度之比是3：7，所以我们可以设整个路程为3+7=10 份，这样一个全程中甲走3 份，第2007 次相遇时甲总共走了3
39、 （ 2007 2-1） =12039 份，第2008 次相遇时甲总共走了3（2008 2-1）=12045 份，所以总长为120 12045-12040-（12040-12039） 10=300 米. 练习 2.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度之比是3: 2，他们第一次相遇后甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有14千米，那么A、B两地的距离是多少千米？【分析 】因为他们第一次相遇时所行的时间相同，所以第一次相遇时甲、乙两人行的路程之比也为3: 2，相遇后，甲、乙两人的速度比为3120%: 2130%3.6: 2.618:
40、13 ；到达B地时，即甲又行了2份的路程， 这时乙行的路程和甲行的路程比是18:13，即乙的路程为13421189乙从相遇后到达A还要行3份的路程，还剩下4531199( 份) ，正好还剩下14千米，所以1份这样的路程是514199( 千米 ) A、B两地有这样的325( 份 ) ，因此A、B两地的总路程为：93245 ( 千米 ) 练习 3.小明和小刚进行100米短跑比赛 ( 假定二人的速度均保持不变) 当小刚跑了90米时， 小明距离终点还有25米，那么，当小刚到达终点时，小明距离终点还有多少米？【分析 】当小刚跑了90米时，小明跑了1002575米，在相同时间里，两人的速度之比等于相应的路
41、程之比，为90:756:5；在小刚跑完剩下的1009010米时，两人经过的时间相同，所以两人的路 程 之 比 等 于 相 应的 速度 之 比6:5， 则 可 知 小 明 这段 时 间 内 跑 了5251063米 ， 还 剩下255022516333米练习 4.客车和货车同时从甲、乙两地的中点向反向行驶，3 小时后客车到达甲地，货车离乙地还有22千米，已知货车与客车的速度比为5: 6，甲、乙两地相距多少千米？【分析】 货 车 与 客 车 速 度 比5: 6， 相 同 时 间 内 所 行 路 程 的 比 也 为5: 6， 那 么 客 车 走 的 路 程 为65221326( 千米 )，为全程的一半，所以全程是1322264( 千米 ) 练习 5.甲、乙两人从A，B两地同时出发，相向而行甲走到全程的511的地方与乙相遇已知甲每小时走4.5千米，乙每小时走全程的13求A，B之间的路程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页【分析】 相同的时间内，甲、乙路程之比为5: 1155: 6 ，因此甲、乙的速度比也为5: 6，所以乙的速度为64.55.45千米 /时两地之间的路程为：15.4116.23千米精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页