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1、优秀学习资料欢迎下载例 1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有 56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6 元,生产一个衣柜可获利10 元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多? 产 品木料 (单位 m3) 第 一 种第 二 种圆 桌0.18 0.08 衣 柜0.09 0.28 解：设生产圆桌x 只,生产衣柜 y 个,利润总额为z 元,那么005628.008.07209.018.0yxyxyx而 z=6x+10y. 如上图所示 ,作出以上不等式组所表示的平面区
2、域,即可行域 . 作直线 l:6x+10y=0,即 l:3x+5y=0,把直线 l 向右上方平移至l1的位置时 ,直线经过可行域上点M, 且与原点距离最大,此时 z=6x+10y 取最大值解方程组5628.008.07209.018.0yxyx,得 M 点坐标 (350,100).答:应生产圆桌350 只,生产衣柜 100 个,能使利润总额达到最大. 指出 :资源数量一定 ,如何安排使用它们,使得效益最好 ,这是线性规划中常见的问题之一例 2、 某养鸡场有 1 万只鸡 ,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的51.动物饲料每千克0.9
3、元,谷物饲料每千克0.28 元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50000kg,问饲料怎样混合 ,才使成本最低 . 解:设每周需用谷物饲料x kg,动物饲料 y kg,每周总的饲料费用为z元,那么05000005135000yxxyyx,而 z=0.28x+0.9y如下图所示 ,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域 . 作一组平行直线0.28x+0.9y =t,其中经过可行域内的点且和原点最近的直线,经过直线x+y=35000 和直线xy51的交点)317500,387500(A,即387500 x,317500y时,饲料费用最低 . 所以 ,谷物饲料和动物饲料应按5:1 的比例混合 ,此
4、时成本最低 . 指出 :要完成一项确定的任务,如何统筹安排 ,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载(例 3 图) (例 4 图) 例 3、下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素A、B 的含量及成本 : 甲乙丙维生素 A(单位 /千克 ) 维生素 B(单位 /千克 ) 成本 (元/千克 ) 400 800 7 600 200 6 400 400 5 营养师想购这三种食物共10 千克,使之所含维生素A 不少于 4400单位 ,维生素 B 不少于
5、 4800单位 ,问三种食物各购多少时,成本最低 ?最低成本是多少? 解:设所购甲、乙两种食物分别为x 千克、 y 千克 ,则丙种食物为 (10 x y)千克 .x、y 应满足线性条件为4800)10(4002008004400)10(400600400yxyxyxyx,化简得422yxy作出可行域如上图中阴影部分目标函数为 z=7x+6y+5(10 x y)=2x+y+50,令 m=2x+y,作直线 l:2x+y=0,则直线 2x+y=m经过可行域中A(3,2) 时,m 最小 ,即 mmin=2 3+2=8，zmin=mmin+50=58 答: 甲、乙、丙三种食物各购3 千克、 2 千克、
6、5 千克时成本最低 ,最低成本为 58 元. 指出 :本题可以不用图解法来解,比如 ,由422yxy得z=2x+y+50=(2x y)+2y+50 4+2 2+50=58,当且仅当 y=2,x=3 时取等号总结： (1)设出决策变量 ,找出线性规划的约束条件和线性目标函数; (2)利用图象 ,在线性约束条件下找出决策变量,使线性目标函数达到最大(或最小 ). 2.线性规划问题的一般数学模型是:已知nmnmnnmmmmbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(这n个式子中的 “” 也可以是 “” 或“=”号 ) 其中 aij (i=1,2,n, j=1,
7、2,m),bi(i=1,2,n)都是常量 ,xj (j=1,2,m) 是非负变量 ,求 z=c1x1+c2x2+cmxm的最大值或最小值,这里 cj (j=1,2,m)是常量 . (3)线性规划的理论和方法主要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 线性规划中整点最优解的求解策略在工程设计、经营管理等活动中，经常会碰到最优化决策的实际问题，而解决此类问题一般以线性规划为其重要的理论基础。然而在实际问题中，最优解(x,y) 通常要满足x,yN ，这种最优解
8、称为整点最优解，下面通过具体例子谈谈如何求整点最优解. 1平移找解法作出可行域后，先打网格，描出整点，然后平移直线l，直线 l 最先经过或最后经过的那个整点便是整点最优解. 例 1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6 元,生产一个衣柜可获利10 元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多? 产 品木料(单位 m3) 第 一 种第 二 种圆 桌0.18 0.08 衣 柜0.09 0.28 解 ： 设 生 产 圆 桌x只 ,
9、生 产 衣 柜y个 , 利 润 总 额 为z元 , 那 么精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载005628.008.07209.018.0yxyxyx而 z=6x+10y.如图所示 ,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域 . 作直线 l:6x+10y=0,即 l:3x+5y=0,把直线 l 向右上方平移至l1的位置时 ,直线经过可行域上点M, 且与原点距离最大,此时 z=6x+10y 取最大值。解方程组5628.008. 07209.018. 0yxyx,得 M 点坐标 (350,100).答
10、：应生产圆桌350 只,生产衣柜100 个,能使利润总额达到最大.点评： 本题的最优点恰为直线0.18x+0.09y=72 和 0.08x+0.28y=56 的交点 M。例 2 有一批钢管，长度都是4000mm ，要截成 500mm 和 600mm 两种毛坯，且这两种毛坯按数量比不小于31配套，怎样截最合理？解： 设截 500mm 的钢管 x 根， 600mm 的 y 根，总数为 z 根。根据题意，得，目标函数为，作出如图所示的可行域内的整点，作一组平行直线x+y=t ，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过B（8，0）的直线，这时x+y=8. 由于 x,y 为正整数，知（8，0）不是最优
11、解。显然要往下平移该直线，在可行域内找整点，使x+y=7，可知点（ 2，5） ， （3，4） ， （4，3） ， （5，2） ， （6，1）均为最优解答：略点评： 本题与上题的不同之处在于，直线x+y=t 经过可行域内且和原点距离最远的点B（8，0）并不符合题意，此时必须往下平移该直线，在可行域内找整点，比如使x+y=7，从而求得最优解。从这两例也可看到，平移找解法一般适用于其可行域是有限区域且整点个数又较少，但作图要求较高。二、整点调整法先按“平移找解法”求出非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解例 3已知, x y满足不等式组230236035150 x
12、yxyxy，求使xy取最大值的整数, x y解：不等式组的解集为三直线1l：230 xy，2l：2360 xy，3l：35150 xy所围成的三角形内部（不含边界），设1l与2l，1l与3l，2l与3l交点分别为,A B C，则,A B C坐标分别为15 3(,)84A，(0,3)B，7512(,)1919C，作一组平行线l：xyt平行于0l：0 xy，当l往0l右上方移动时，t随之增大，当l过C点时xy最大为6319，但不是整数解，又由75019x知x可取1,2,3，当1x时，代入原不等式组得2y， 1xy；当2x时，得0y或1， 2xy或1；当3x时，1y， 2xy，故xy的最大整数解为2
13、0 xy或31xyABCxyO1l3l2l精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载3.逐一检验法由于作图有时有误差，有时仅有图象不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将若干个可能解逐一校验即可见分晓例 4 一批长 4000mm 的条形钢材，需要将其截成长分别为518mm 与 698mm 的甲、乙两种毛坯，求钢材的最大利用率解：设甲种毛坯截x 根，乙种毛坯截y 根，钢材的利用率为P ，则，目标函数为，线性约束条件表示的可行域是图中阴影部分的整点表示与直线518x+698y=4000 平行的直线系。所以使
14、 P 取得最大值的最优解是阴影内最靠近直线518x+698y=4000 的整点坐标如图看到(0，5)，(1，4)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，2)，(6，1)，(7，0)都有可能是最优解，将它们的坐标逐一代入进行校验，可知当 x=5,y=2 时，答： 当甲种毛坯截5 根， 乙种毛坯截2 根， 钢材的利用率最大， 为 99.65%解线性规划问题的关键步骤是在图（可行域） 上完成的， 所以作图时应尽可能精确，图上操作尽可能规范，但考虑到作图时必然会有误差，假如图上的最优点并不十分明显易辨时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一进行校验，以确定整点最优解. 线性规划的实际应
15、用习题精选 1 某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润最大利润是多少？ 2 要将两种大小不同的钢板截成A、B 、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下：每张钢板的面积，第一种为1m2，第二种为2m2，今需要 A、B、C三种规格的成品各12，15，17 块，问各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小 3 某人承揽一项业务，需做文字标牌2 个，绘画标牌3 个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1 个，绘画标牌 2 个，乙种规格每张2m2，可做文
16、字标牌2 个，绘画标牌1 个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小 4 某蔬菜收购点租用车辆，将100 吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的大卡车和农用车分别为10 辆和 20 辆，若每辆卡车载重8 吨，运费 960 元，每辆农用车载重2.5 吨，运费 360 元，问两种车各租多少辆时，可全部运完黄瓜，且动费最低并求出最低运费 5 某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72 立方米，第二种有56 立方米，假设生产每种产品都需要两种木料生产一只圆桌需用第一种木料0.18 立方米，第二种木料0.08 立方米，可获利润60元，生产一个衣柜需用第一种木料0.09 立方米，第
17、二种0.28 立方米，可获利润100 元，木器厂在现有木料情况下，圆桌和衣柜应各生产多少，才能使所获利润最多解答提示：1设 x，y 分别为甲、乙两种柜的日产量，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载目标函数 z=200 x240y，线性约束条件：作出可行域 z最大=20042408=2720 答：该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为4 台和 8 台，可获最大利润2720 元 2 设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板面积zm2目标函数 z=x2y，线性约束条件：作出可行域作一组平行直线x2
18、y=t 的整点中，点 (4 ，8) 使 z 取得最小值答：应截第一种钢板4 张，第二种钢板8 张，能得所需三种规格的钢板，且使所用钢板的面积最小 3 设用甲种规格原料x 张，乙种规格原料y 张，所用原料的总面积是zm2，目标函数z=3x2y，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载线性约束条件，作出可行域作一组平等直线3x2y=t A 不是整点， A不是最优解在可行域内的整点中，点B(1，1)使 z 取得最小值 z最小=3121=5，答：用甲种规格的原料1 张，乙种原料的原料1 张，可使所用原料的总面积
19、最小为5m2 4 设租用大卡车x 辆，农用车y 辆，最低运费为z 元 z=960 x360y线性约束条件是：作出可行域作直线 960 x360y=0即 8x3y=0，向上平移至过点B(10，8)时， z=960 x360y 取到最小值 z最小=960103608=12480 答：大卡车租10 辆，农用车租8 辆时运费最低，最低运费为12480 元 5 设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y，所获利润为z，则 z=6x10y作出可行域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页优秀学习资料欢迎下载即 M(350，100) 当直线 6x10y=0 即 3x5y=0 平移到经过点M(350，100) 时， z=6x10y 最大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页