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1、反比例函数的图象和性质（1） 教学实录、反思与点评时间：执教者：学生：地点：一、复习旧知，导入新课教师： “同学们，前面通过一次函数的学生，我们已经了解了函数学习的基本步骤，比如说第一点是函数的定义和解析式；第二点是自变量（x）的取值范围和函数（ y）的取值范围；第三点是函数的图象；第四点是函数的性质；第五点是函数的实际应用。在上节课我们学习了反比例函数的哪些内容呢？（反思：通过回忆一次函数的学习方法，让学生类比着学习反比例函数，这样教学， 让学生在学习的过程中能够做到心中有数。 ）学生： “反比例函数的定义，它的内容是形如y=xk（k 为常数， k0）的函数，叫做反比例函数。 ”教师： “反
2、比例函数 y=xk（k 为常数， k0） ，它的自变量 x 和函数 y 的取值范围是什么呢？”学生： “x 取不等于 0 的全体实数， y 取不等于 0 的全体实数。” （反思：此处如果追问学生为什么 “x 取不等于 0 的全体实数， y 取不等于 0 的全体实数”，而不是直接“相信”学生给出的结论，效果会更好。）教师： “那我们按照前面提到的学习函数的方法，今天继续研究反比例函数，学习反比例函数的图象和性质。 ”说完，我转身在黑板上写下课题。二、回顾研究函数方法，明确学习内容教师： “对于一个函数的图象我们应该从哪几个方面进行研究呢？”学生： “列表、描点、连线；关键点；形状；分布；函数图象
3、的变化趋势”（反思： 再次复习函数图象的研究方法， 让学生知道在课堂上应该做什么， 怎么去做。）教师： “那下面就请我们同学从这几个方面来研究反比例函数的图象，请我们同学在坐标纸上画出y=x6的图象。 ”精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页此时，学生画图， 我在黑板上板书反比例函数图象的特征、形状、趋势。然后，走到学生中去观察学生画图的情况，并对学生出现的个别问题进行指导。两分钟后，绝大多数的学生已经完成， 我拿到几名学生的作品放到前面的实物展台进行展示，并依据前面给出的函数图象的研究要点，逐一提问。（反思：这个地方，
4、让学生把他们画出的图象展示出来，使得其他同学感觉更加地真实亲切自然，对于函数图象特征的摸索， 让学生感受到是他们自己研究的成果，而不是教师的直接告知。）三、通过函数图象，研究函数特征教师： “反比例函数 y=x6的图象能不能经过原点？”学生： “不能。 ”教师： “能不能经过 x 轴和 y 轴呢？”学生： “不能。 ” （反思：此处应该追问学生，问什么不能！）教师利用实物投影展示学生画出的图象，同时，让学生对照大屏幕给出的标准的反比例函数的图象， 进行对照与修改。 并共同总结画反比例函数图象的要点x0, y0; 对称取点；无限；平滑曲线。 （总结：在总结要点的过程中，我问大家是否同意某名学生的
5、观点时，当很多学生肯定回答的时候， 应该追问有没有不同意见，而不应该急于认可结论，进行下一环节。）学生对比纠错、总结。教师： “反比例函数图象的形状是什么样的呢？”学生： “是一条曲线，不，是两条双曲线。 ”另一个学生修正回答： “是一条双曲线。” （反思：如果能够在此处教师还是不给出答案，而是让学生用举手表决的方式，会更好。）教师： “对于反比例函数y=x6的图象，除了形状是双曲线，还有没有其他特征呢？”学生听到这个问题，已经不能如前面那样顺利地找到答案，于是，我让学生以小组为单位进行研究讨论。而我走到学生中间倾听他们的想法。大约经过了 8 分钟（反思：此处的时间有些短，如果再给学生一些时间
6、，让学生能够更加充分地研究，效果会更好） ，很多学生已经有了一些想法，我让小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页组代表进行展示。一名学生回答：“双曲线向两方无限延长，并且不能与坐标轴相交。”另一名学生回答：“当 x0时，随着 x 的越来越大图象越来越接近x 轴；当x0 时，随着 x 的越来越大图象越来越接近y 轴。 ”教师： “同学们是否都同意这名同学给出的结论呢？”学生们： “同意。 ” （如果让学生能够再给出进一步的说明就更好了）教师： “那么对于上面的两种情况，随着x 的越来越小图象越来越接近那个坐标轴呢？”学生
7、们： “y 轴。 ”教师： “谁能用一句话来总结这个规律呢？”（反思：这个问题对于学生的抽象概括能力要求相当高，所以，我结合图象把上述的规律进行分析与总结，并利用 x 的绝对值进行总结， 给出规律， 在黑板上板书它们都是由两条曲线组成，并且随着x的不断增大 ( 或减小 )，曲线越来越接近 x 轴（或 y 轴） 。反比例函数的图象属于双曲线。 ）教师： “下面请同学们在另外一个平面直角坐标系中画y=x6的图象，并去验证它是否具备以上我们总结出来的特征呢？”学生画图象并验证。我把 y=x6和 y=x6的函数图象放到同一个平面直角坐标系中，展示给学生的时候，学生们很快就发现它们是关于坐标轴成轴对称的
8、。四、共同反思、答疑解惑教师： “通过这节课的学习，请我们同学静静地回忆一下这节课学习了哪些内容？”学生： “反比例函数的特征随着x的不断增大 ( 或减小 )，曲线越来越接近x 轴（或 y 轴） 。同时，函数图象为什么我在画的时候会与x 轴相交呢？这点我还不是很清楚。”我用几何画板给学生进一步展示，把坐标系“放大”展示，帮助学生解决了这个问题。五、总结内容、为下节课打下伏笔。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页教师： “本节课我们画了y=x6和 y=-x6的函数图象，那么，对于反比例函数的图象特征， 是否与 k 值有联
9、系呢？它与k 的大小、正负又会有怎样的关系呢？在下一节课就会为我们揭示答案。这节课我们就学习到这，下课！”同学们说：“老师再见！”【反思】: 我得知要在全区上一节观摩展示课，心中充满了激动和不安。激动的是能够有这样一次在全区同仁面前展示的机会， 不安的是担心自己能力有限， 怕上不好。我通过不断地研究教材， 以及在教研员和领导、 同事的共同帮助下逐渐找到了本节课的切入点， 即通过前面一节课对于函数学习方法的复习，让学生能够顺理成章地知道我们这节课应该研究哪些内容，以及如何去进行研究。 我认为这是这节课的一个亮点。一、一节课让我收获颇多我到今天所取得的一点点成绩， 与同事的帮助， 专家的指导和领导
10、的支持是分不开的。在备课的过程中， 整个教研组的多名老师都参与其中， 他们毫无保留，提出了很多珍贵的意见。 为了我能够上好这节课， 他们付出了大量的精力和时间，反复琢磨。铁东区的三名教研员也帮助我修改每一个细节，力求完美。二、相信学生、努力地把课堂更多地交给学生在教学的过程中， 我努力地把课堂交给学生， 让他们更大胆地去猜想， 更多地去实践，更加细致地去琢磨、总结。正如景主任说的那样“学生是永远不会造假的，如果在上课的时候你发现学生“词不搭意、语无伦次”或者不愿意说话都表明我们老师平时从来不让他们说话。通过这些学生我也可以推导出来这个班级的任课老师他的表达能力一定是很好的。老师的数学思维越来越
11、好而学生却越来越笨了，嘴巴笨了，思维就不会很好。所以，老师说的越多学生会越笨。经常有老师说“我都讲过一百遍了，你怎么不会呢？”，原因是什么？就是因为你讲的太多了。你讲的越多学生越笨，你讲了一百遍学生就笨了一百次。”三、认真反思、总结不足1我觉得这节课对于学生给出的回答，我过早地进行认可，而没有进行进一步地追问，去追问为什么能（或不行） 。2能够注意到让学生去探究反比例函数图象的特征，但时间给的还不是很精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页充裕，可以再给一些时间，让学生更加深入地研究。3对于细节的把握与挖掘还需要锤炼。“路
12、漫漫其修远兮，我将上下而求索。 ”每一次公开课都是对教师的一种磨砺，在这个过程中，我除了感受到自己地不断成长，更加感受到了专家、领导与同仁们的关心，在这里一并表示感谢！我会继续努力，把课堂交给学生，放到实处，让学生更多地说，更好地做！4对于时间的掌控还需要进一步地打磨。如果能够把问题在琢磨得细致一些，把课堂更多地交给学生， 教学效果一定会更好。同时，也能够进一步提升学生的能力！总之，每一次公开课的经历对于一名教师来说都是无比宝贵的，我将会更加地努力，把握住每一次机会， 争取使得我的课堂上的每一位学生都能够去享受课堂，热爱数学！【点评】 : 一、对于本节课教学的点评整个活动过程下来以后，它与教材
13、呈现的顺序不太一样，41 页反比例函数图象及性质，前面给了一个简单的描述（一次函数、反比例函数），然后给了两个函数6yx、6yx，再分别画出这两个函数的图象，画完以后通过一个问题“反比例函数6yx、6yx有什么共同特征？”进而总结规律。这样编写教材可以看出教材的编写是要让学生首先自己动手去画函数图象，从中体会反比例函数图象是一个双曲线， 同时还要让孩子们意识到双曲线它们是中心对称的。这样可以让学生通过对称的方式简单画出图象，不必一个个去描点了。 其次是体会它是一个光滑的曲线。 第三、无论它怎么延伸都不会与坐标轴有交点，这是函数图象在画的过程中让学生体会到这些东西，但是教材上面都没有写。 我们老
14、师去挖掘教材必须要把这些东西挖掘出来， 这样才能让我们在课堂上有意识地引领学生向这个方向去思考。xx 老师对于教材的处理与教材的设计是有不同的地方的，xx 老师是先让学生画了一个函数的图象， 然后让学生发现画图过程中出现的问题，总结归纳写在黑板上，然后再让学生画另一个函数的图象，再利用这个函数的图象去验证之前精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页总结出的结论， 这是他与教材设计的不同之处， 但是我觉得这样设计是没有问题的。 实际操作的过程中也可以看出学生在画出一个函数的图象后也确实能够总结出画函数图象的一些问题。不足之处
15、：以一个函数图象让学生总结函数的性质可以再多花费一些时间让学生充分地交流思考。 而不是说一问一答式的。 这是老师课堂教学的大问题，不能随便接受学生结论，要问到底“你怎么知道的？”在学生看到了、补到了教材上的知识基础上，一定要去问他，这样学生才是真的学会了、相信了。在学生探究的过程中要不断地将问题抛给学生，如“图象为什么不过原点？图象为什么不与轴相交？图象为什么是曲线？” 无限接近的这个概念对于学生的空间想像是有很高的要求的。 xx 老师让学生去展示自己画图象的成果，做得很好，学生画出的图像很多问题很直观地展现出来，得以解决。但是还是应该继续追问他：“为什么是这样的。”因为我们这节课研究的就是函
16、数图象的特征，那么就应该把它研究细，研究透。还要让更多地学生去接受它。二、教材的处理方式这节课是八年级学生学习反比例函数这个内容的一部分，在这节课之前学习了一次函数，知道了一次函数的形式，几何表达形式、函数表达形式，借助一次函数的几何表达形式 （图象）总结出了一次函数的性质。 最后还运用了一次函数这样一个数学模型解决一些实际问题。学生还学会了如何学习一次函数，这节课的开始 xx 老师就把这种研究函数方法再次地提炼出来提供给学生，它就为这节课、这一章的学习提供了一个指导； 也为这节课为什么要研究函数图象提供一个依据。我们教学生数学除了教学生知识与解决问题的策略以外，还要教给学生如何促进自身发展的
17、思想方法。 就这句话来说， 我想如果我们的孩子掌握了研究函数就是从解析式入手， 接下来研究它的图象， 再借助图象来研究它的性质，他学会了这种方法那么他在研究其他函数的时候他自己就知道要干什么了。这让我想起以前数学竞赛的一道题11yx，当时题目就是说请你研究一下这个函数性质， 题出来以后， 我就找一些学生来做看看他们能做到什么程度，好掌控一下他们掌握到什么程度，才敢放在试卷上去。结果我走了很多优秀学校，调查了很多比较好的学生， 结果这些学生不知道从何入手去研究它的性质。他们精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页没见过，只学
18、过1yx、2yx这个函数的分母上多了一个加一，从这样的一个问题上，后来没有放在试卷上， 反映出来的问题是什么呢？老师教给学生的都是具体的知识，什么是一次函数、一次函数的性质，什么是二次函数、二次函数的性质，这些都知道；但是没有教给学生函数的本质是什么，如何来研究函数。所以前面 xx 老师在教学开始的时候，就再次强调了学习函数的基本思想方法，这是很重要的。 同时也让孩子们知道这节课他们做的事有什么样的意义和价值。同时，为之后从函数的图象中归纳概括出函数的性质服务的，这样目的就非常明确了。在教材的处理上，本节课所有的教学内容都是以两个反比例函数6yx、6yx为基础，并没有将这个函数上升到kyx的一
19、般形式特征的总结归纳，而是到下节课才让学生脱离了特殊的形式的反比例函数从一般形式的角度去总结函数的性质。那么在这节课的教学过程中，如果学生的能力可以达到的情况下，可以试着让学生尝试去总结kyx的特征。另外，在这里有一个难点：反比例函数图象随着 x 的不断增大（减小），越来越接 x 轴（y轴） 。这个特征学生总结起来是很难的， 学生往往是分象限去总结函数图象的特征，那么在课堂教学的过程中，在时间允许的前提下， 我们可以让学生去试着将两个象限的规律去归纳总结成一句话，提高学生的数学语言的表达能力。从本节课来看，这节课要教给学生的是函数图象的特征，是借助函数图象总结出来的的。 而下节课要在这节课的基
20、础上， 用数学的符号语言将这节课总结出来的特征上升为反比例函数的性质，那么到了下节课就要脱离函数图象，上升到数学抽象的符号表达的层面。 这节课主要是为下节课的教学打下基础。这样一来我们就能看出这节课在教什么， 这节课为下节课要做什么样的铺垫，它们之间的关系是什么。 教师每一节课要讲什么， 学生要学什么一定要很准确地向学生“传达”过去。如果我们自己认识不到位的话， 那不可能有意识将这些东西教给学生。这就要求我们深入地挖掘教材、研究教材， 先明确一节课都要教给学生什么，结合这些内容去设计问题，问题抛给学生以后老师不要轻易“出手”，要让学生充分地体验，这样会使学生对这个知识的理解更加深入。精选学习资
21、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页函数图象的教学对于函数的教学是很重要的，所以一定要让学生亲自去画函数的图象， 只有亲自动手画出来， 学生才会相信。 对于函数的图象这里面是没有什么道理可讲的， 就像公理教学一样要让学生不断地去操作、去验证它， 这样学生才会认可它、相信它。三、教学方式的转变这节课的“放手”程度还可以再大一点，但是这已经是很大的进步了，从过去自己拿书本讲，不愿意给学生更多的时间，到现在能够“放手”让学生自己去探究，给学生更多的时间去思考去探究，这是一个从“猿到人”的进化过程。是老师专业发展的一个“里程碑”式的变化
22、。这样的转变真的很不容易，因为越是优秀的老师越是愿意讲授， 越是认为自己对数学认识领悟得到位的老师越是不愿意让学生去说， 在听课的过程中在一定程度上都能够感觉得到。学生是永远不会造假的，如果在上课的时候你发现学生“词不搭意、语无伦次”或者不愿意说话都表明我们老师平时从来不让他们说话。通过这些学生我也可以推导出来这个班级的任课老师他的表达能力一定是很好的。老师的数学思维越来越好而学生却越来越笨了，嘴巴笨了思维就不会很好。所以，老师说的越多学生会越笨。经常有老师说“我都讲过一百遍了，你怎么不会呢？”，原因是什么？就是因为你讲的太多了。你讲的越多学生越笨，你讲了一百遍学生就笨了一百次。xx 老师的这种变化是非常可喜的，希望他能够再接再励继续朝着这个方向努力下去。课堂教学就是一个不断提出问题，学生来解决问题的过程。教师的任务就是提出问题甚至还可以把提出问题的机会交给学生，让学生就教学内容提出问题让他去尝试， 这样学生才会更加聪明。 解决问题的机会千万不要留给自己，一定要留给学生，这样学生的能力才能得到发展。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页