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1、第五节函数的微分教学目的： 掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用微分作近似计算教学重点：微分的计算教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算教学时数： 2 一、微分的定义计算函数增量00 xfxxfy是我们非常关心的。 一般说来函数的增量的计算是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法。先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由0 x变到xx0（图 2-1 ） ，问此薄片的面积改变了多少？设此薄片的边长为x，面积为A，则A是x的函数：2xA。薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量x自0 x取得增量x时，函数A相应的增量A，即
2、2020202xxxxxxA。从上式可以看出，A分成两部分，第一部分Ax02是A的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分2x在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当0 x时，第二部分2x是比x高阶的无穷小，即xx02。由此可见，如果边长改变很微小，即x很小时，面积的改变量A可近似地用第一部分来代替。一般地，如果函数xfy满足一定条件，则函数的增量y可表示为xxAy0，其中A是不依赖于x的常数，因此xA是x的线性函数，且它与y之差xxAy0，是比x高阶的无穷小。 所以，当0A， 且x很小时，我们就可近似地用xA来代替y。定义：设函数xfy在某区间内有定义，xx0及 x0在这区间内
3、，如果函数的增量图 2-1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页00 xfxxfy可表示为xxAy0，其中A是不依赖于x的常数，而x0是比x高阶的无穷小，那么称函数xfy在点0 x是可微的，而xA叫做函数xfy在点0 x相应于自变量增量x的微分，记作dy，即xAdy。下面讨论函数可微的条件。设函数xfy在点0 x可微，则按定义有式成立。式两边除以x，得xxAxy0。于是，当0 x时，由上式就得到00limxfxyAx。因此，如果函数xf在点0 x可微，则xf在点0 x也一定可导（即0 xf存在），且0 xfA。反之，如
4、果xfy在点0 x可导，即00limxfxyx存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成0 xfxy，其中0（当0 x） 。由此又有xxxfy0。因xx0，且不依赖于x，故上式相当于式，所以xf在点0 x也是可微的。由此可见，函数xf在点0 x可微的充分必要条件是函数xf在点0 x可导，且当xf在点0 x可微时，其微分一定是xxfdy0。当00 xf时，有1lim1limlim00000 xyxfxxfydyyxxx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页从而，当0 x时，y与dy是等价无穷小，这时有dydyy0，即dy是
5、y的主部。 又由于xxfdy0是x的线性函数， 所以在00 xf的条件下，我们说dy是y的线性主部（当0 x） 。这是由式有0lim0dydyyx，从而也有0lim0dydyyx。式子dydyy表示以dy近似代替y时的相对误差，于是我们得到结论：在00 xf的条件下，以微分xxfdy0近似代替增量00 xfxxfy时，相对误差当0 x时趋于零。因此，在x很小时，有精确度较好的近似等式dyy。函数xfy在任意点x的微分，称为函数的微分，记作dy或xdf，即xxfdy。评注：由微分的定义，我们可以把导数看成微分的商。例如求xsin对x的导数时就可以看成xsin微分与x微分的商，即xxdxxxdxx
6、dxdcos221cossin。函数在一点处的微分是函数增量的近似值，它与函数增量仅相差x的高阶无穷小。因此要会应用下面两个公式：xxfdyy0，xxfxfxxf000。作近似计算。二、微分的几何意义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义。在直角坐标系中，函数xfy的图形是一条曲线。对于某一固定的0 x值，曲线上有一个确定点00yxM，当自变量x有微小增量x时，就得到曲线上另一点yyxxN00，. 从图 2-2 可知：xMQ，yQN。过 M点作曲线的切线, 它的倾角为，
7、则0tanxfxMQQP，即QPdy。由此可见， 当y是曲线xfy上的 M点的纵坐标的增量时，dy就是曲线的切线上M点的纵坐标的相应增量。当x很小时，dyy比x小得多。因此在点M的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则由dxxfdy，很容易得到微分的运算法则及微分公式表（当vu、都可导）：dvduvud，C duCud，udvvduvud，2vudvvduvud。微分公式表：dxxxd1，xdxxdcossin，xdxxdsincos，xdxxd2sectan，xdxxd2csccot，xdxxxdtansecsec，xdxxxdcotcsccsc，a
8、dxaadxxln，dxeedxx，dxaxxdaln1log，dxxxd1ln，dxxxd211arcsin，dxxxd211arccos，dxxxd211arctan，dxxxarcd211cot。注：上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处，而且上述公式要从右向左背。例如：xddxx21，xddxx112，baxdadx1，xxdaadxaln1。图 2-2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页1 复合函数微分法则与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下：设ufy及xu都可导，则复合函数xfy的微
9、分为dxxufdxydyx。由于dudxx，所以，复合函数xfy的微分公式也可以写成duufdy或duydyu。由此可见， 无论u是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式duufdy保持不变。这一性质称为微分形式不变性。这性质表示，当变换自变量时（即设u为另一变量的任一可微函数时） ，微分形式duufdy并不改变。例 1：已知yxey1，求dy. 解：)1 (yxeddy=dyxedxeyy，所以yyxeedy1例 2： 设22yax，利用微分形式不变性求dy。解记22uax，则yu，于是1ddd2uyyuuu. 又d( )d2 duu xxx x，故22221d2 dd2xyx xxaxa
10、x.例 3： 填空题 若函数12()xyf x，其中f是可微的正值函数，则_dy； 设函数( )yy x由方程2xyxy确定，则0_xdy解：由于函数可写为21ln()efxxy，所以1221()ln()xdyf xdf xx，故1112222212()()() ln()xxdyfxf xfxf xdxx 这是一个求隐函数微分的问题由方程2xyxy可得，当0 x时，1y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页在方程两端同时求微分，有2ln 2 ()xyydxxdydxdy代入0 x，1y得0ln 2xdxdxdy故0( l n 21)xd yd x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页