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1、第 23 讲 周期工程问题一、知识要点周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。二、精讲精练【例题 1】一项工程，甲单独做需要12 小时，乙单独做需要18 小时。若甲做 1 小时后乙接替甲做 1 小时，再由甲接替乙做1 小时两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？把 2 小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。需循环的次数为： 1（112 +118）=3657（次）7 个循环后剩下的工作量是：1- （112
2、 +118）7=136余下的工作两还需甲做的时间为：136112 =13（小时）完成任务共用的时间为：27+13 =1413（小时）答：完成任务时需共用1413小时。练习 1：1、一项工程，甲单独做要6 小时完成，乙单独做要10 小时完成。如果按甲、乙；甲、乙的顺序交替工作，每次1 小时，需要多少小时才能完成？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页2、一部书稿，甲单独打字要14 小时，乙单独打字要20 小时。如果先由甲打1 小时，然后由乙接替甲打1 小时；再由甲接替乙打1 小时两人如此交替工作，打完这部书稿共需用多少小
3、时？3、一项工作，甲单独完成要9 小时，乙单独完成要12 小时。如果按照甲、乙；甲、乙的顺序轮流工作，每人每次工作1 小时，完成这项工程的2/3 共要多少时间？【例题 2】一项工程，甲、乙合作2623天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成？由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙12甲竖线左
4、边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，乙做一天等于甲做半天，即甲的工作效率是乙的2 倍。甲每天能做这项工程的1262321+2=140甲单独做完成的时间1140=40（天）答：这项工程由甲单独做需要40 天才能完成。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页练习 2：1、一项工程，乙单独做20 天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，也恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲独做几天可以完成？2、一项工程，甲单独做6 天可以完成。如
5、果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，恰好也用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多13天才能完成。这项工程由甲、乙合作合作几天可以完成？3、一项工程，甲、乙合作1235小时可以完成。如果第一小时甲做，第二小时乙做，这样轮流交替做，也恰好用整数小时完成。如果第一小时乙做，第二小时甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多13小时才能完成。这项工程由甲独做几小时可以完成？4、蓄水池有一跟进水管和一跟排水管。单开进水管5 小时灌满一池水，单开排水管3小时排完一池水。现在池内有半池水，如果按进水、排水；进水、排水的顺序轮流依次各开 1 小时，多少小时后水池的水刚好排
6、完？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页【例题 3】一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天数完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩 60 个不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5：3。甲、乙每天各做多少个？由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙剩60 个竖线左边做的天数为偶数，
7、谁先做没关系。竖线右边可以看出，剩下的60 个零件就是甲、乙工作效率的差。甲每天做的个数为： 60（5-3）5=150（个）乙每天做的个数为： 60（5-3）3=90（个）答：甲每天做 150 个，乙每天做 90 个。练习 3：1、一批零件如果第一天师傅做，第二天徒弟做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天徒弟做，第二天师傅做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩84 个不能完成。已知师、徒工作效率的比是7：4。师、徒二人每天各做多少个？2、一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流恰好用整数天完成。如果死一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做要多25天才能完成。
8、如果让甲、乙二人合作，只需 258天就可以完成。现在，由乙独做需要几天才能完成？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页3、红星机械厂有1080 个零件需要加工。如果第一小时让师傅做，第二小时让徒弟做，这样交替轮流，恰好整数小时可以完成。如果第一小时让徒弟做，第二小时让师傅做，这样交替轮流，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60 个不能完成。如果让师、徒二人合作，只需3 小时 36 分就能完成。师、徒每小时各能完成多少个？【例题 4】打印一部稿件，甲单独打要12 小时完成，乙单独打要15 小时完成。现在，甲、乙两人轮流
9、工作。甲工作1 小时，乙工作 2 小时；甲工作 2 小时，乙工作 1 小时；甲工作 1 小时，乙工作 2 小时如此这样交替下去，打印这部书稿共要多少小时？根据已知条件，我们可以把6 小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中，甲、乙都工作了 3 小时。每循环一次，他们共完成全部工程的（112 +115）3920总工作量里包含几个9/20：1920 =229甲、乙工作两个循环后，剩下全工程的1-9202110由于110112，所以，求甲工作1 小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为（110 -112）11514打印这部稿件共需的时间为：62+1+14 =1314（小时）答：打印这部稿件共需1314
10、小时。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页练习 4：1、一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管，24 分钟能包空池灌满；单开乙管，18 分钟能把空池灌满。现在，甲、乙两管轮流开放，按照甲1 分钟，乙 2 分钟，甲 2分钟，乙 1 分钟，甲 1 分钟，乙 2 分钟如此交替下去，灌满一池水共需几分钟？2、一件工作，甲单独做，需12 小时完成；乙单独做需15 小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作，甲工作2 小时，乙工作 1 小时；甲工作 1 小时，乙工作 2 小时；甲工作 2小时，乙工作 1 小时如此交替下去，完成这件工作
11、共需多少小时？3、一项工程，甲单独做要50 天完工，乙单独做需60天完工。现在，自某年的3 月 2日两人一起开工，甲每工作3 天则休息 1 天，乙每工作 5 天则休息一天，完成全部工程的5275为几月几日？4、一项工程，甲工程队单独做完要150 天，乙工程队单独做完需180 天。两队合作时，甲队做 5 天，休息 2 天，乙队做 6 天，休息 1 天。完成这项工程要多少天？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页【例题 5】有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙
12、、丙、甲次序轮做。比原计划多用0.5 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用13天。已知甲单独做13 天完成。且3 个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？由题意可以推出：按甲、乙、丙次序轮做，能够的天数必定是3 的倍数余 1 或余 2。如果是 3 的倍数，三种轮流方式完工的天数，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序轮流做，用的天数是 3 的倍数余 1。三种轮流方式做的情况可表示如下：甲乙丙，甲乙丙，甲乙丙，甲乙丙甲，乙丙甲，乙丙甲，乙12丙丙甲乙，丙甲乙，丙甲乙，丙13甲从中可以退出：丙=23甲；由于乙 =甲12丙=甲23甲12，又推出乙 =23甲；与题中“三个工程队的工
13、效各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序轮做，用的天数必定是3的倍数余 2。三种轮流方式用的天数必定如下所示：甲乙丙，甲乙丙，甲乙丙，甲乙乙丙甲，乙丙甲，乙丙甲，乙丙12甲丙甲乙，丙甲乙，丙甲乙，丙甲13乙由此推出：丙 =12甲，丙 =23乙丙队每天做这项工程的11312 =126乙队每天做这项工程的12623 =352甲、乙、丙合作完工需要的时间为1（113 +126 +352）=579（天）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页答：甲、乙、丙合作要579天完工。练习 5：1、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计
14、划按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用13天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用14天。已知甲单独做7 天完成。且3 个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？2、有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用12天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用12天。已知甲单独做10 天完成。且3 个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？3、有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按
15、乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用12天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用13天。已知这项工程由甲、乙、丙三个工程队同时合作，需1379天可以完成，且 3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲独做需要多少天才能完成？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页4、蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水，单开甲管需要3 小时，单开丙管需要5 小时。要排光一池水，单开乙管要4 小时，单开丁管要6 小时。现知池内有16池水，如果按甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁的顺序轮流各开1 小时，多长时间后水开始溢出水池？精
16、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页答案：练 1 1、（1）需循环的次数 1（16 +110）1543 （2）3 个循环后剩下的工作量 1（16 +110）315（3）最后由乙做的时间（1516）11013小时（4）需要的总时间 23+1+13713小时 2 、（1）需循环的次数 1（114 +120）140178 （2）3 个循环后剩下的工作量 1（114 +120）84140（3）最后由乙做的时间414011425小时（4）需要的总时间 28+251625小时3、（1）需循环的次数23（19 +112）2473 （
17、2）3 个循环后剩下的工作量23（19 +112）3112精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页（3）最后由乙做的时间1121934小时（4）需要的总时间 23+34634小时练 2 1、提示：甲的效率是乙的2 倍20210 天2、提示：乙的效率是甲的231【16（113）+16】335天3、提示：乙的效率是甲的231（11235331+3）21小时4、（1）需几个周期12（1315）31543 （2）3 个周期后剩下的水12（1315）3110（3）需要的时间 23+1+（110 +15）137910小时练 3 1
18、、师傅： 84（74）7196 个徒弟： 84（74）4112 个2、提示：乙的效率是甲的（125）35 1（1258352+5）7天3、 3小时 36 分335小时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页师、徒效率和： 1080335300个师傅每小时的个数：（ 300+60）2180个徒弟每小时的个数：（ 30060）2120个练 4 1、提示：把 6 分钟看作一个循环（1）每循环一次的工作量（124 +118）（ 1+2）724（2）总工作量里面有几个7241724337（3）3 个循环后剩下的工作量172431
19、8（4）一共需要的时间 63+1+（18124）1182012分钟2、提示：把 6 分钟看作一个循环（1）1 个循环的工作量（112 +115）（ 1+2）920（2）总工作量里面有几个920 1920229（3）3 个循环后剩下的工作量 19202110（4）一共需要的时间 62+1101121315小时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页说明： 2 个循环后，是由甲接着干2 小时，所以直接用1101123、提示：把 12天看作一个循环 12天中甲的工作量150（3+3+3）950 12天中乙的工作量160（5+
20、5）16总共需要的天数5275（950 +16）2 （12 天减去最后休息的1 天） 122123 天完成全部任务的5275为 3 月 24 日。4、提示：把 7 天看作一个周期 1（235+236）15 7151104天练 5 1、提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3 的倍数余2，否则与题意不符。由此推出丙的效率是甲的23，丙的效率也是乙的34。（1）丙的工作效率1723221（2）乙的工作效率22134863（3）甲、乙、丙三队合做的天数1（17+221+863）21723天2、提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3 的倍数余1，否则与题意矛盾。由此可以推出丙的效
21、率是甲的12，乙的效率是甲的34。（1）丙的效率11012120（2）乙的效率110（11212）340（3）甲、乙、丙三队合做的天数1（110+120+340）449天精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页3、由题意可以推出，丙的效率是甲的1224，丙的效率是乙的23，进而推出甲、乙、丙工作效率的比是 4：3：2。 1（1137944+3+2）31 天4、提示：每四个水管轮流打开后，水池中的水不能超过23，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出。（1）水池里的水超过23时需要几个循环（2316）（1314+1516）3074 （2）循环 5 次以后，池中水占16+（1314+1516）534（3）总共需要的时间 45+（134）132034小时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页