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1、-极限的求法与探究研究毕业论文2011211335分类号O13本科生毕业论文（设计）题目：极限的求法与技巧的探究院 （系） 数学与统计系 专 业 班 级 数学与应用数学2011级应用班 学 生 姓 名 屈瑶瑶 指导教师（职称） 郑高民 （副教授） 提 交 时 间 二一五年三月 -第 14 页学 号 极限的求法与技巧的探究研究屈瑶瑶（安康学院 数学与统计系,陕西 渭南 714000） 摘要：极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求极限的最基本的方法还是利用极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分
2、，三角代换等方法化成比较好求的函数，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。此文笔者从不同的角度以及不同的题型进行探究,总结了部分求极限的方法,并且对这些不同的方法适用求哪种类型的极限以及它的要求和注意的地方进行了探索,通过典型的例题和分析从而帮助更多初学者能更容易、更快掌握求极限的方法。 关键词：极限; 高等数学; 函数 The limits of calculation methods and skills of exploration researchQU Yaoyao
3、（Department of Mathematics and Statistics, Ankang University,Weinan,Shanxi 714000）Abstract: Limit has been a key content of mathematical analysis, and to limit the method is varied, through induction and summary, we list some common calculation methods.The most basic way to limit was using the defin
4、ition of limit, also pay attention to the use of two important limits, which can make use of equivalent substitution, expansion, reduction of a fraction, triangle substitution method into better function, can also use the laws of arithmetic of sequence limit is calculated.Clamp force theorem and mon
5、otone bounded principle is an important theorem, when asked to focus on using the Taylor formula, los will reach law, Riemann lemma is aimed at some special series.This article the author from different angles and different topic, part of the limit of the method are summarized, and applicable to the
6、se different approaches for which type of limit and its requirements and pay attention to place explores, through typical examples and analysis to help beginners can more easier and faster to master the method of limit.Key Words:limit; higher mathematics; function目录 1.利用定义求极限1 2.利用极限的四则运算性质求极限2 3.利用
7、两个重要极限公式求极限3 4.利用定积分求极限4 5.利用洛比达法则求极限5 6.利用Stolz公式求极限6 7.利用无穷小量求极限8 8.利用泰勒公式求极限10 9.利用迫敛性求极限1110.利用中值定理求极限1211.利用归结原则求极限1312.用两个准则求极限1413.利用导数的定义求极限1514.利用级数收敛的必要条件求极限1615.利用换元法求极限17结 束 语17参考文献18致 谢19极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。高等数学是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科，极限理论和极限方法在这门课程中占有极其
8、重要的地位。高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化，如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的，离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值，因此极限运算是高等数学的基本运算。由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限定义本身去求极限，又由于极限运算分布于整个高等数学的始终，许多重要的概念是由极限定义的。极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基本工具。反过来，我们也可以利用这些概念来求一些极限，所以运算方法繁多。针对这种情况，本文作者通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法。1.利用定义求极限 极限的概念可分为函数的极限和数列的极限两个方面. 数列极限的定义：若任意给定一正数,总存
9、在正整数N使得对所有的的都有,那么称常数是数列在趋于无穷时的极限,可记作：. 函数极限的定义：(1).若函数在的某一去心邻域内有定义,对任给的正数,总存在正数,使满足的所有对应的满足,则称为函数当时的极限,记作：; (2).若函数在大于某一正数时有定义,对任给的正数,总存在正数,使满足的所有对应的满足,则称为函数当时的极限,记作：. 上面陈述的定义我们可以利用它来求极限,而且在证明极限的存在性时我们经常使用定义法.例1. 证明 证： 0， 成立，解得 取于是存在0 ,有故 2：利用极限的四则运算性质求极限 极限的四则运算性质：1：两收敛数列的和或积或差也收敛且和或积或差的 极限等于极限和的或积
10、或差。 2：两收敛数列且作除数的数列的极限不为零，则商的极限等于极限的商。通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形。例如分之，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。例2：求极限(1) (2)(3)(4) 已知 求解：(1) (2)(3)-1 (4) 因为 所以 3：利用两个重要极限公式求极限在求极限的过程中,和、及其变形的重要方法是常用到的方法,但在运用时我们得注意自变量的趋向方式以及函数的形式.从观察可以发现和函数形式一样,但是不同的是中的自变量,此时的是无穷小量与有
11、界量的乘积的形式,因此;同样可以看到和函数的形式一致,但是不同的是中的自变量,此时的是的形式.应用、时应该注意的地方是函数是的形式,而且括号里为1加上某一项,其指数是该项的倒数的形式.在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。 例3：求下列函数的极限4 (1) (2) 解：(1) 1 14.利用定积分求极限 由定积分的定义知，若在上可积，则可对用某种特定的方法并取特殊的点，所得积分和的极限就是在上的定积分因此，遇到求一些和式的极限时，若能将其化为某个可积函数的积分和，就可用定积分求此极限这是求和式极限的一种方法 例4:求极限解： 对所求极限作如下变形：不难看
12、出，其中的和式是函数在区间上的一个积分和，所以有5.利用洛比达法则求极限我们把两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记作型或型的不定式极限。现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这方法通常称为洛比达法则。洛必达法则只能对或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当 等于 A 时，那么也存在且等于A. 如果不存在时，并不能断定也不存在，只是这是不能用洛必达法则，而须用其他方法讨论 。 例5：(1) 求 (2)求 解：(1) 由 所以上述极限是待定型1(2) 它为型 由对数恒等式可得6.利用Stolz公式求极限Stolz公式和洛
13、必达法则是求极限的有效方法，它们分别适用于数列和函数的情形.对于一些分子分母为求和式的比式极限题目用通常方法进行证明是非常麻烦的，但是用此定理就非常的简单了，而用此定理可使分子分母中的很多项消去从而简化计算，应用比较方便.首先介绍一下此定理： Stolz 定理1（）：已知两个数列、,数列严格单调上升，而且+，当+,=,其中为有限数或为或则；Stolz 定理2（）：已知两数列、，0当+；数列严格单调下降而且0当+；= ，其中为有限数或为或,则Stolz 定理的函数形式：Stolz定理3（型）：若T0为常数，1) +,当+且,在a, +内闭有界，即ba,， 在a ,b上有界，则Stolz 定理4（
14、）：若T0为常数，1)0 ，2) =0, =0，3) .则,其中或有限数或例6.设求证明： 因为单调递增且趋于又 故由Stolz定理知: 例7.若在（a,）内有定义，而且内闭有界，即任意（a,）, 在上有界，则1） - 2) ()= ,其中（c0）.证明：1）从题意知 令=,则,都符合定理的条件，令T=1所以可以直接套用定理，2) 令y=(),则=, 由的连续性，所以 =得证.从上可以看出利用Stolz定理求极限的形式是非常有规律的，我们要善于发现式子的规律，但应具体问题具体分析，关键是发现所要求极限式的特点.7.利用无穷小量求极限： （1）利用无穷小量的性质求极限： 无穷小量的性质：无穷小量
15、与有界量的乘积还是无穷小量。如果,g(x)在某区间有界，那么.这种方法可以处理一个函数不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。 例8：求 解： 因为 所以 0(2)利用等价无穷小量代换求极限： 等价无穷小量：当时，称y,z是等价无穷小量：记为 yz 在求极限过程中，往往可以把其中的无穷小量，或它的主要部分来代替。但是，不是乘除的情况，不一定能这样做。 例9：求 解：88.利用泰勒公式求极限 泰勒展开式：若 f(x)在x=0点有直到n+1 阶连续导数,那么 (其中在0与1之间) 常用的展开式：1、2、3、4、5、6、上述展开式中的符号都有: 例10: 解：泰勒展开式 于是- 所以
16、9利用迫敛性求极限我们常说的迫敛性或夹逼定理：若有且 则. 例11:求极限 分析： 即，易知关于单调递增. 即得 当，上式左、右两端各趋于0和1，似乎无法利用迫敛性，原因在于放缩太过粗糙，应寻求更精致的放缩. 解： 对各项的分母进行放缩，而同时分子保持不变. 就得如下不等关系： 令，上式左、右两端各趋于，得 做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。 10.利用中值定理求极限： （1）微分中值定理：若函数 f(x) 满足 () 在 连续 .()在(a,b)可导；则在(a,b)内至少存在一点，使 例12：求 解： （2）积分中值
17、定理：设函数f(x) 在闭区间 上连续;g(x) 在上不变号且可积，则在上至少有一点使得 例13：求 解： 11.利用归结原则求极限归结原则： 设在内有定义，存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等例14：求极限分析： 利用复合函数求极限，令，求解解： 令 ，则有由幂指函数求极限公式得故由归结原则得注 1 归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于，和这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式注 2 若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都以为极限的数列与，使与都存在而不相等，则不存在12：利用两个准则求极限 (1)夹逼准则：若一正整数
18、N,当nN时，有且则有 . 利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和 ，使得。例15： 求的极限解：因为单调递减，所以存在最大项和最小项 则 又因为（2）单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。 利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例16：1 证明下列数列的极限存在，并求极限。 证明：从这个数列构造来看 显然是单调增加的。用归纳法可证。 又因为 所以得. 因为前面证明是单调增加的。 两端除以 得 因为则, 从而 即 是有界的。根据定理有极限，而且极限唯一。 令 则 则. 因为 解方程得
19、所以 13：利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在附近有定义，则 如果存在，则此极限值就称函数 f(x)在点 的导数记为 .即在这种方法的运用过程中。 常用的导数定义式：设函数在点处可导，则下列式子成立：1，2其中是无穷小，可以是，的函数或其他表达式例17： 求极限 分析 此题是时型未定式，在没有学习导数概念之前，常用的方法是消去分母中的零因子，针对本题的特征，对分母分子同时进行有理化便可求解但在学习了导数的定义式之后，我们也可直接运用导数的定义式来求解解： 令，则14.利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件：若级数收敛，则运用这个方法首先判定级数收敛，然后求出它的通项的
20、极限.给出一数列，对应一个级数，若能判定此级数收敛，则必有.由于判别级数收敛的方法较多，因而用这种方法判定一些以零为极限的数列极限较为方便. 例18:解：设，则级数为数项级数.由比值审敛法：所以 收敛， 15.换元法求极限 当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。 例19:求 解：令 则 1 所以 结束语在高等数学中,我们学到的最基本的运算那就属极限运算.然而在高等数学与数学分析中求极限的方法很多,但是对于每一种方法都有它的局限性,我们在使用时一定要把握该方法使用的前提条件,只有满足了要求,才能正确运用,而对于许多题目不只用到一种方法,我们从中可以找到
21、一种最简捷的方法来求解。求极限的方法各种各样,我们在求极限的过程中最关键的就是综合运用各种方法,真正地去理解其本质及内在要求,掌握每种方法间的内在联系,这样才能灵活运用。参考文献：1 陈传璋，金福临编，数学分析（上下册）第二版，高等教育出版社2 蔡子华主编，2005年数学复习大全（经济类），现代出版社3 冯丽珠，变形法求极限的变法技巧 ，武汉职业技术学院学报，2003年3月，35-364 李小光，求极限的若干技巧，西安航空技术高等专科学校学报，2002年3月，20-215 温启军高等数学教学的几点思考J.长春大学学报.2003：13（5），1920.6 陈刚、米平治.关于高等数学中极限思想的研
22、究J.工科数学.2001：17（3），6971.7 杜吉佩、李广全高等数学M.北京:高等教育出版社.2005.8 胡适耕.大学数学解题艺术M.长沙:湖南大学出版社.1982.9 夏滨.利用洛比达法则求函数极限的方法与技巧探讨J.现代企业教育杂志.2008.10 蒋志强.函数极限的几种特殊求法J.牡丹江教育学院学报.2009：5，122123.致谢经过几个月的查资料、整理材料、写作论文,今天终于可以顺利的完成论文的最后的谢辞了,时光匆匆飞逝,四年的努力与付出,随着论文的完成,终于让我在大学的生活得以划下完美的句点.我的论文得以完成,要感谢的人实在是太多了。首先，我要特别感谢我的论文指导老师我的导
23、师郑高民教授，在他的耐心指导下,我完成了毕业论文,从开始的选题到最后的定稿,他给了我完善的指导和一系列的建议。然后，我要衷心的感谢在大学期间所有传授我知识的老师,是你们的悉心教导使我有了良好的专业课知识,这也是论文得以完成的基础。特别是一直以来给予我无私帮助和关爱的班主任王宗庆老师,专业课魏春强老师、杜贵春老师、邵春芳老师、刘铁老师、赵临龙老师,王昭海老师,武海辉老师，谢谢你们在这四年里对我的关心和照顾,从你们身上,我学会了很多知识。感谢我的同学吉利伟，孤身一人来到这个陌生的城市里,有了你的陪伴,使我开心的度过了我的大学生涯,在各奔前程之际,祝愿你一切顺顺利利！感谢我的爸爸、妈妈、爷爷、奶奶,焉得谖草,言树之背,养育之恩,无以回报,正是因为有你们的细心照顾,才让我能够茁壮成长.希望爸爸、妈妈、爷爷、奶奶能够身体健康,长命百岁。在论文即将完成之际,我的心情非常激动,从选题到论文的顺利完成,有许许多多的人给予了我很大帮助,在这里请接收我最诚挚的谢意！十分感谢你们！