2022年人教版高中数学必修四教师资格试讲教案全套 .pdf

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1、课题 1 任意角教学目标（一）知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角 ,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写（三）情感与态度目标1 提高学生的推理能力；2培养学生应用意识教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写教学难点终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写教学过程一、引入：1回顾角的定义角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. 角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形2 实际生活中出现一系列关于角的问题二、新课讲解：1角的

2、有关概念：角的定义： 一条射线绕着它的端点0， 从起始位置OA 旋转到终止位置OB, 形成一个角 ，点 O 是角的顶点，射线OA 、OB 是角 的始边、终边角的名称：始边终边顶点A O B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 34 页角的分类：注意：在不引起混淆的情况下，“角 ”或“ ”可以简化成“ ” ；零角的终边与始边重合，如果 是零角 =0 ；角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角练习：请说出角、各是多少度 ? 2象限角的概念：定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第

3、几象限，我们就说这个角是第几象限角课堂练习，小试牛刀在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角30 ； -120 ； 180 ；注意：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限3探究：教材P3 面终边相同的角的表示：所有与角 终边相同的角，连同在内，可构成一个集合S | = + k360 ，kZ，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和注意：kZ 是任一角；正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 34

4、页 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同终边相同的角有无限个，它们相差360 的整数倍； 角 + k 720 与角 终边相同，但不能表示与角终边相同的所有角（三）例题精讲例 1在 0到 360 范围内，找出与950 12 角终边相等的角，并判断它们是第几象限角例 2写出终边在y 轴上的角的集合(用 0到 360 的角表示 ) 解: | = 90 + n 180 ,nZ例 3写出终边在xy上的角的集合S,并把 S 中适合不等式360 720 的元素写出来4课堂小结角的定义；角的分类：象限角；终边相同的角的表示法5课后作业：教材 P5练习第 1-5 题；预习弧度制课题 2 任意角的三角函

5、数一、教学目标：1. 掌握任意角的三角函数的定义；正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 34 页MOP(a,b)Yx1A(1,0)MOP(a,b)Yx2. 已知角 终边上一点，会求角的各三角函数值；3.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；二、教学重点：三角函数的定义；三教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的三角函数表示出来一 复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？思考：我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是

6、以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？结论：在 RtABC中，设 A对边为 a，B对边为 b，C对边为 c，锐角 A的正弦，余弦，正切依次为：,abasinAcosAtanAccb锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数思考 1: 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义. 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图 , 设锐角的顶点与原点O重合 , 始边与x轴的正半轴重合, 那么它的终边在第一象限 . 在的终边上任取一点( , )P a b, 它与原点的距离220rab. 过P

7、作x轴的垂线, 垂足为M, 则线段OM的长度为a, 线段MP的长度为b. 则sinMPbOPr; cosOMaOPr; tanMPbOMa. 思考2：对于确定的角，这三个比值是否会随点P在的终边上的位置的改变而改变呢？为什么 ? 根据相似三角形的知识，对于确定的角，三个比值不以点P在的终 边 上的位置的改变而改变大小. 我们可以将点P取在使线段OP的长1r的特殊位置上，这样就精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 34 页A(1,0)OP(x,y)Yx可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sinMPbOP; cosO

8、MaOP; tanMPbOMa. 单位圆 : 在直角坐标系中, 我们称以原点O为圆心 , 以单位长度为半径的圆称为单位圆. 上述 P点就是的终边与单位圆的交点, 锐角的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示. 二新课讲授1. 任意角的三角函数的定义结合上述锐角的三角函数值的求法, 我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然 ,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数. 如图 ,设是一个任意角 , 它的终边与单位圆交于点( , )P x y, 那么 : (1)y叫做的正弦 (sine),记做sin, 即siny；（ 2）x叫做的余弦 (cossine),记做cos, 即cosx；（ 3）yx叫做的正

9、切 (tangent),记做tan, 即tan(0)yxx. 思考 3: 在上述三角函数定义中, 自变量是什么?对应关系有什么特点, 函数值是什么? 说明 :(1) 当()2kkZ时，的终边在y轴上， 终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以tanyx无意义 ,除此情况外， 对于确定的值，上述三各值都是唯一确定的实数. (2) 当是锐角时， 此定义与初中定义相同；当不是锐角时， 也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点( , )P x y，从而就必然能够最终算出三角函数值 . (3)正弦 ,余弦 ,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函

10、数，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 34 页53A(1,0)OBYx我们将这种函数统称为三角函数 .2. 利用定义求角的三角函数值例 1. 求53的正弦 , 余弦和正切值. 解：在直角坐标系中，作53AOB, AOB的终边与单位圆的交点坐标为13(,)22，所以53515sin,cos,tan332323思考：如果将53变为76呢？例 2已知角的终边过点0( 3, 4)P，求角的正弦 , 余弦和正切值 . 思考：如何根据例题1 解答思考：一般的，设角a终边上任意一点的坐标为（x,y）,它与原点的距离为r,则sin,cos

11、,tanyxyaaarrx，你能自己给出证明吗？思考如果将题目中的坐标改为（-3a， -4a）,题目又应该怎么做？四课堂小结五布置作业练习 1、2、 3 六课后反思七板书设计课题 3 同角三角函数的基本关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 34 页教学目标：1、掌握同角三角函数的基本关系式、变式及其推导方法；2、会运用同角三角函数的基本关系式及变式进行化简、求值及恒等式证明；3、培养学生观察发现能力，提高分析问题能力、逻辑推理能力增强数形结合的思想、创新意识。学习重点 ：同角三角函数的基本关系式推导及其应用学习难点： 同角

12、三角函数的基本关系式变式及灵活运用课时： 1 课时教学过程【创设引入】1、三角函数的定义是什么？2、探究活动：30sin=？，30cos=？ ，30cos30sin22？45sin=？，45cos=？，45cos45sin22？3、猜测120cos120sin22？ ，由上情况初步得出什么结论？4、从单位圆看，各象限的角的正弦线、余弦线所在的三角形是什么三角形？由勾股定理得出什么结论？【探究新知】1. 探究: 三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的, 你能从圆的几何性质出发 , 讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗? 如图 : 以正弦线MP, 余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形 ,

13、而且1OP. 由勾股定理由221MPOM, 因此221xy,即22sincos1. 根据三角函数的定义 , 当()2akkZ时, 有sintancos. O x y P M 1 A(1,0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 34 页这就是说 , 同一个角的正弦、余弦的平方等于1，商等于角的正切 . 2. 例题讲评例 6. 已知3sin5, 求cos ,tan的值. sin,cos,tan三者知一求二 , 熟练掌握 . 3. 巩固练习 P20页第 1,2,3 题4. 例题讲评例 7. 求证:cos1sin1sincosxxxx

14、. 通过本例题 , 总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5. 巩固练习 P20页第 4,5 题6. 学习小结（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此1cossin22，cossintan（2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论课后作业布置(1) 作业：习题 1.2A 组第 10,13 题. (2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式, 试将关系式变形等 , 得到其他几个常用的关系式; 注意三角恒等式的证明方法与步骤. 课题 4 正弦函数、余弦函数的图像精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

15、- -第 8 页，共 34 页一、教学目标1、了解用正弦线画正弦函数的图象,理解用平移法作余弦函数的图象2、掌握正弦函数、余弦函数的图象及特征3、掌握利用图象变换作图的方法，体会图象间的联系4、掌握 “ 五点法 ” 画正弦函数、余弦函数的简图5、通过动手作图，合作探究，体会数学知识间的内在联系6、 体会数形结合的思想二、教学重难点教学重点：正弦余弦函数图象的做法及其特征教学难点：正弦余弦函数图象的做法，及其相互间的关系三、教学过程一、复习引入复习：实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而确定的角又有着唯一确定的正弦（或余弦）值。这样任意给定一个实数x 有唯一确定的值sinx（cosx）与之

16、对应，有这个对应法则所确定的函数y=sinx(或 y=cosx) 叫做正弦函数（或余弦函数） ，其定义域是 R 。提问：遇到一个新的函数，我们很容易想到的就是画函数图象，那怎么画正弦函数、余弦函数的图象呢？我们先来做一个简弦运动的实验，这就是某个简弦函数的图象，通过实验是不是对正弦函数余弦函数的图象有了直观印象呢【设计意图】通过动手实验，体会数学与其他的联系，激发学习兴趣。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 34 页二、讲授新课（1）正弦函数 y=sinx的图象下面我们就来一起画这个正弦函数的图象第一步：在直角坐标系的x 轴

17、上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与 x 轴的交点 A起把圆分成 n(这里 n=12)等份. 把 x 轴上从 0 到 2这一段分成 n(这里 n=12)等份. （预备：取自变量x 值弧度制下角与实数的对应） . 第二步：在单位圆中画出对应于角6,0，3，2, ，2的正弦线正弦线（等价于“列表”）. 把角 x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点 x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点”）. 第三步：连线 . 用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x0 ，2 的图象【设计意图】通过按步骤自己画图，体会如何画正

18、弦函数的图象。根据终边相同的同名三角函数值相等，所以函数y=sinx,x 2k ,2(k+1),k Z且 k0 的图象， 与函数 y=sinx ， x0,2 ) 的图象的形状完全一致。于是我们只要将 y=sinx ，x0,2 )的图象沿着 x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2，就得到 y=sinx ，xR的图象 . 【设计意图】由三角函数值的关系，得出正弦函数的整体图象。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 34 页把角 x()xR 的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点 x 重合，则正弦线的终点

19、的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象 . （2）余弦函数 y=cosx 的图象探究 1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变得到余弦函数的图象？根据诱导公式cossin()2xx, 可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移2单位即得余弦函数y=cosx 的图象 . 正弦函数 y=sinx 的图象和余弦函数 y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线【设计意图】 通过正弦函数与余弦函数的相互关系，在类比的过程中画出余弦函数的图象，体会数学知识间的联系，以及类比的数学思想。思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？【设计意图】 通过问题，为下面五点法绘图方法介绍做铺

20、垫2用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：y=cosxy=sinx23456-2-3-4-5-6-6-5-4-3-2-65432-11yx-11oxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 34 页正弦函数 y=sinx ， x0 ， 2 的图象中，五个关键点是：(0,0) (2,1) ( ,0) (23,-1) (2,0) 余弦函数 y=cosx x0,2 的五个点关键是哪几个？ (0,1) (2,0) (,-1) (23,0) (2,1) 只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了因此在精确度不太高时，常采用五点法

21、作正弦函数和余弦函数的简图3、 讲解范例例 1 作下列函数的简图(1)y=1+sinx ，x0 ，2 ，（2）y=-COSx 【设计意图】 通过两道例题检验学生对五点画图法的掌握情况，巩固画法步骤。探究 1 如何利用 y=sinx ，0，的图象，通过图形变换 （平移、翻转等）来得到 y1sinx , 0，的图象；小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。探究 2如何利用y=cos x ， 0，的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到 y-cosx ， 0，的图象？小结：这两个图像关于X轴对称。【设计意图】 通过四个探究问题，对画图法以及正弦余弦函数及其图象的性质有更深刻的认识

22、。4、 小结作业对本节课所学内容进行小结精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 34 页【设计意图】在梳理本节课所学的知识点归纳的过程中进一步加深对正弦函数、余弦函数图象认知。培养学生归纳总结的能力，自主构建知识体系。布置分层作业基础题 A 题，提高题 B 题【设计意图】 将课堂延伸，使学生将所学知识与方法再认识和升华，进一步促进学生认知结构内化。 注重学生的个体发展， 是每个层次的学生都有所进步。课题 5 正切函数的性质和图像教案教学目标1、探索并掌握正切函数的性质；2、能根据正切线画出正切函数的图象教学重难点重点:掌握正切

23、函数的基本性质难点:利用正切函数的性质画出其图像，特别是对正切函数图像的渐近线的认识。教学过程教学过程及学生活动设计说明复习旧提问 1：首先我们回忆角的正切是如何定义的？角的正切：xytan提问 2：角是任意的吗 ? 引出正切函数的定义域。让 学 生 体会角的正切定义与正切函数之间的关系，为后续课堂做精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 34 页知提问 3：习惯tanyx，学生分析量与量之间的关系正切函数的定义：tanyx，定义域Zkkxx,2|铺垫正切函数的性质提问 4：类比我们已经学习的正弦函数、余弦函数的图像与性质，我

24、们可以从哪些方面研究正切函数的性质？学生回答： 正弦、余弦函数都有哪些方面的性质。【教师一一板书学生回答的性质】提问 5：我们对正切函数也已经有了初步的了解，譬如：正切线，与正切有关的诱导公式等，就已有的知识，下面请同学具体说明正切函数的性质？1定义域：Zkkxx,2|2值域：R 【利用课件演示正切线的变化，让学生直观感受】3奇偶性：奇函数tan()tanxx【用反例说明不是偶函数】4 周期性：最小正周期是tan()tanxx5单调性：在整个定义域上既不是增函数也不是减函数【举反例：1212125,tantan44xxxxxx这与单调性的定义矛盾】6对称性利用已有的认知结构，探究未知的问题类比

25、，是研究问题最重要的方法之一反例在数学中的作用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 34 页正切函数的图像提问6：我们已知了正切函数的部分性质，如何利用已有的性质画出正切函数的图像？由于正切函数的是最小正周期是的周期函数，所以我们只需要画出他在一个周期内的图像，然后通过平移就可以得到在整个定义域内的图像。选择哪一个长度为的区间呢？可以选择区间2,2；而正切函数又是奇函数，所以只需画出在2, 0的图像。)2,02,2,2|奇偶性周期性Zkkxx正切曲线左右平移)2,02,2对称变换利 用 已 知的性质，如何画函数的图像体 会

26、函 数的性质与图像之间的关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 34 页Rxxytan，且zkkx2的图象，称“正切曲线”。观察图像，丰【值域】当2x且2x时 ，xtan； 当2x且2x时，xtan；【单调性】对每一个kZ，在开区间,22kk内，函数单调递增形与数的结合，更能抓住问题的本质4321-1-2-3-4-5-6-8-8-6-4-22468234-44-2-2-32-54-34-2743254O精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 34 页富性质

27、【对称性】对称性：)(0,2(Zkk，无对称轴。对称性有几何画板先直观演示，然后给与严格的证明。【渐近线】Zkkx2正切函数的图像是被相互平行的直线2xkkZ所隔开的无穷多支形状完全相同的曲线组成的。形与数对比正切函数的性质和图像，分析各个性质在图像上的反映，得出：函数的性质有利于画函数的图像，函数的图像是其性质的直观反应，例题解析小结：学生总结，老师补充作业：P45练习 1-6 课题 6 平面向量的实际背景及基本概念一、教学目的：1 了解平面向量的实际背景；2 掌握向量的几何表示；3 理解向量的有关概念；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

28、-第 17 页，共 34 页4 逐步培养学生观察、 分析、综合和类比能力和 “知识重组” 意识和“数形结合”能力。二、教学重难点重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示。难点：向量的概念和共线向量的概念。三、教学过程：一、引入同学们都知道， 数学是一门基础学科， 是解决其它一些学科问题的有力工具。其实数学的很多理论是由其它学科的一些知识抽象而来的。成为理论后又反过来对其它学科起作用。比如同学们学习的物理，它与数学就有非常密切的关系。二、新授课（一）向量的物理背景与概念提问： 请同学们回忆在物理中所学习过哪些既有大小又有方向的量？指导阅读： P74相关内容向量的概念：我们把既有大小又有方

29、向的量叫向量 （物理学中常称为矢量， 而把那些只有大小，没有方向的量如：年龄、身高长度、面积、体积、质量等，称为数量。物理学中常称为标量）注意：10数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。（二）向量的几何表示引入： （由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，而且不同的点表示不同的数量。 ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 34 页对于向量，我们常用带箭头的线段有向线段 来表示，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大

30、小，箭头的指向表示向量的方向。有向线段：带有方向的线段叫有向线段。 （如图）我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作 AB ，起点写在终点的前面。已知 AB ，线 AB的长度也叫做有向线段AB 的长度，记作【AB】有向线段的三要素 ：起点、方向、长度。（知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定。 ）几何表示： 用有向线段表示；字母表示： 用表示向量的有向线段的起点与终点字母表示如：CD，AB；用字母 a、b、c 等表示。问题1： “向量就是有向线段，有向线段就是向量。”的说法对吗？（提问）（向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无

31、关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段）向量的长度（或称模） ：向量 AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模）：记作 AB。零向量、单位向量概念：长度为 0 的向量叫零向量，记作0。注意 0 与 0 的区别（及书写方法）。长度等于 1 个单位的向量，叫单位向量。说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 34 页例 1 如图 2.1-6， 试根据图中的比例尺以及三地的位置，

32、在图中分别用向量表示A 地至 B、C两地的位移，并求出A 地至 B、C两地的实际距离（精确到1km） （根据课本自己补充）（三）平行向量、共线向量与相等向量平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定 0 与任一向量平行。说明： （1）综合、才是平行向量的完整定义；（2）向量 a,b,c平行，记作 a/b/c 。共线向量定义：平行向量也叫做共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上说明： （1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量 。说明： （

33、1）向量 a 与 b 相等，记作 a=b （2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定。问题 2：两个向量是否可以比较大小？ （向量不能比较大小， 我们知道， 长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分.）例 2 分析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 34 页课堂小结：教师自结，教师总结课后作业： P77练习 1-4 课题 7

34、向量减法运算及其几何意义教学目标：1. 了解相反向量的概念；2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想 . 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 教学思路：一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：例：在四边形中，ADBACB. 解：CDADCAADBACB二、 提出课题：向量的减法1 用“相反向量”定义向量的减法（ 1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作a （ 2） 规定：零向量的相

35、反向量仍是零向量. ( a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + ( a) = 0 如果 a、 b 互为相反向量，则a = b，b = a，a + b = 0 （ 3） 向量减法的定义：向量a 加上的 b 相反向量，叫做a 与 b 的差 . 即： a b = a + ( b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2 用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若 b + x = a，则 x 叫做 a 与 b 的差，记作a b 3 求作差向量：已知向量a、b，求作向量a b (a b) + b = a + ( b) + b = a + 0 = a 作法：在平面内

36、取一点O，O a b B a b a b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 34 页作OA= a，AB= b 则BA= a b 即 a b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量 . 注意： 1AB表示 a b. 强调：差向量“箭头”指向被减数2 用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + ( b) 4 探究：）如果从向量a的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b a. ）若 a b， 如何作出a b？三、 例题：例三已知向量 a、 b、c、d，求作向量a b、 c d. 解：在平面上取一点O，作

37、OA= a，OB= b，OC= c，OD= d，作BA，DC，则BA= a b，DC= c d 例四、平行四边形ABCD中，ABa，ADb， 用 a、b 表示向量AC、DB. O A a Bb b b B a+ ( b)a b A B D C b a d c A B C D O a b A A B B BO a b a a b b O A O B a b a b B A O b 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 34 页解：由平行四边形法则得：AC= a + b，DB= ADAB= a b 变式一：当a， b 满足什么条

38、件时，a+b与 a b 垂直？（ |a| = |b|）变式二：当a， b 满足什么条件时，|a+b| = |ab| ？（ a， b 互相垂直）变式三： a+b 与 a b 可能是相等向量吗？（不可能，对角线方向不同）四：小结：向量减法的定义、作图法| 五：作业：练习1-3 课题 8 平面向量基本定理教学目标 ：掌握平面向量的基本定理， 能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量教学重点 ：平面向量的基本定理及其应用教学难点 ：平面向量的基本定理教学过程：一、复习提问：1向量的加法运算（平行四边形法则） ；2向量的减法运算；3实数与向量的积；4向量共线定理。二、新课：精选学习资料

39、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 34 页1提出问题：由平行四边形想到：（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？（2）对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？2新课1e ，2e 是不共线向量， a 是平面内任一向量，OA=1e， OM =12e， OC =a=OM +ON =11e+22e，OB=2e， ON =22e得平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1 ，2使a 11e+22e注意几个问题：（

40、1）1e,2e必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底；（2）这个定理也叫共面向量定理；（3）1，2是被a，1e，2e唯一确定的数量例 1 已知向量1e,2e，求作向量2.51e+32e1e2eaO N B MC1e2e精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 34 页作法： （1）取点 O，作 OA= 2.51e，OB =32e，（2）作平行四边形 OACB ， OC 即为所求已知两个非零向量a、b，作 OAa，OBb，则AOB （0 180 ） ，叫做向量a与b的夹角当 0 ，a与b同向；当 180 时，a与b反向，如

41、果a与b的夹角为90 ，我们说a与b垂直，记作：ab三、小结：平面向量基本定理， 其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合四、 课后作业：课题 9 平面向量数量积的物理背景及其含义教学目标( 一) 知识目标1、理解平面向量的数量积、投影的定义2、掌握平面向量数量积的性质3、了解用平面向量数量积处理有关长度、角度和垂直的问题(二)能力目标通过对平面向量数量积性质的探究, 培养学生发现问题、 分析问题、解决问题的能力 , 使学生的思维能力得到训练. 继续培养学生的探究能力和创新的精神. (三)情感目标通过本节课的学习 , 激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,

42、体会学习的快乐 . 体会各学科之间是密不可分的. 培养学生思考问题认真严谨的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 34 页学习态教学重点：平面向量的数量积的定义、几何意义及其性质. 教学难点：平面向量数量积性质的探究. 教学方法：导学讲评法 , 探究式 , 讲练结合法 . 教学准备：多媒体、彩色粉笔、直尺 . 课型：新授课 .教学过程(一)复习引入通过回忆物理中物体做功，已知一个物体放在水平面上（如下图）F F S S (图 1) (图 2 ) 用两个不同方向的力拉着物体移动，根据物理知识知道(图 1)中力所做的功W=SF，

43、(图 2)中力所做的功cosSFW，在物理中功是一个标量，是由F和S这两个向量来确定的，如果我们把功看成是由F和 S这两个向量的一种运算结果，就可以引出新课的内容“平面向量数量积的物理背景及其含义”. ( 二) 合作探究结合物理学中功大小的定义cosSFW和前面我们说的把功看成是F和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 34 页S两个向量的运算结果，两者是等价的 . 如果把F和 S这两个向量推广到一般的向量，就引出数量积的定义1、数量积的定义：已知两个非零向量a和b ，把数量cosba叫做a与b 数量积（或内积），记作ba（

44、注意：两个向量的运算符号是用“”表示的，且不能省略） ，用数学符号表示即cosbaba, （）1800. 2、分析数量积的定义，得出一个特殊的规定：零向量与任意向量的数量积都为零，即为任意向量aa00.3、cosbaba是由cosSFW的引出来的，而cosSFW是1F 所做的功，cos1FF是F在 S方向上的分力，那么在数量积中cosa叫做什么呢？这是我们今天要学的第二个新概念“投影”：a cos （ b cos ）叫做向量a在 b 方向上 ( b 在a方向上）的投影 . 4、根据投影的定义，引导学生说出数量积的结构，也就是数量积的几何意义：数量积与的长度等于aabab 在a方向上的投影cos

45、b的乘积5、接下来，请同学们思考一个问题：根据定义我们知道数量积是一个数量， 那么它什么时候为正， 什么时候为负？我们前面已经提到两个向量的夹角在1800 ，根据余弦函数的知识我们可以知道 : 当90,0时，0cos，0ba；当180,90时，0cos，0ba. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 34 页6、 我们讨论了数量积的正负，那么我们这里就具体的讨论一些特殊的夹角: bababa同向，与，0; 0,90baba; bababa-180反向，与，. 我们这里都是由两个向量的夹角来讨论数量积的,那如果我们已知两个向量

46、的数量积及模长 ,怎样得出它们的夹角呢 ? 根据定义babababacoscos由此我们就可以得出的值 .当0ba时,900cos总结0baba. 特别地，22,aaaaaaaaa常记为这里或. 7、请判断的大小关系与baba解：因为1cos,cosbaba，所以bababacos（三）例题讲解，巩固知识例 1已知4, 5 ba，ba与的夹角=120 度，求ba解：根据数量积的定义 : cosbaba =120cos45精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 34 页=5214=-10. （四）进一步合作探究，深化知识运算律和

47、运算紧密相连， 引进向量数量关系后， 自然要看一看它满足怎样的运算律，同学们能推导下列运算律吗？（1）a.b=b.a (2)( （3） （a+b）.c=a.c+b.c 老师引导学生推导（四） 例题精讲，巩固新知例 2-例 4 学生动手演算，老师讲解分析（四）课堂练习，当堂检测练习在边长为 2 的菱形 ABCD中，已知60ABC，求DCDB（注意它们的夹角） 解：根据数量积的定义有：cosDCDBDCDB，由题意可知：301202BDCBCDDC，；所以120cos222DCBCDCBCDB=2122244=32. 所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

48、- - - -第 29 页，共 34 页30cosDCDBDCDB=23322=6（五）课堂小结1 向量数量积的定义及投影的定义2 向量数量积的几何意义3 数量积的性质（六） 布置作业，反复练习(1) 复习今天所讲的知识，预习下节课所讲内容；(2) 必做题：教科书 P108，习题 2.4 A 组 2 、6 题；(3) 选做题 : 教科书 P108，习题 2.4 B 组 5 题. （七）板书设计2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1、复习引入 1、数量积的定义 1、判断数量积的 1 、例题 2、规定的正负 2、练习题 3、投影的定义 2 、三个性质的探究 4、数量积的几何 3、布置作业意

49、义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 34 页课题 10 两角差的余弦公式一、教学目标1、知识与技能 ：（1）理解两角差的余弦公式式意义；（2 掌握两角差的余弦公及运算律；2、过程与方法掌握用两角差的余弦公式. 通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 3、情态与价值观通过两角差的余弦公式解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，培养起学生学习数学的兴趣，形成学数学、 用数学的思维和意识， 培养学好数学的信心， 为远大的志向而不懈奋斗

50、。二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等 . 三、教学过程：（一） 新课导入：我们在初中时就知道2cos452，3cos302，由此我们能否得到cos15cos 4530?大家可以猜想，是不是等于cos45cos30呢？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 34 页根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式 co