《2022年小学《数学思维与方法》校本课程教材 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年小学《数学思维与方法》校本课程教材 .pdf（38页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、数学思维与方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 38 页目录第一讲观察能力的训练1 第二讲联想能力的训练4 第三讲问题转化的训练（1）7 第四讲问题转化的训练 （2） 11 第五讲开拓性思维训练实例(1) 14 第六讲开拓性思维训练实例(2) 17 第七讲开拓性思维训练实例(3) 21 第八讲数学思维过程 (1)25 第九讲数学思维过程 (2) 27 第十讲解题熟悉化策略30 第十一讲解题简单化策略34 第十二讲解题其他策略35 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
2、2 页，共 38 页第一讲观察能力的训练任何一道数学题， 都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。例1 已知dcba,都是实数，求证.)()(222222dbcadcba思路分析从题目的外表形式观察到，要证的结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，可采
3、用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。证明不妨设),(),(dcBbaA如图 121 所示，x y O ),(baA),(dcB图12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 38 页则.)()(22dbcaAB,2222dcOBbaOA在OAB中，由三角形三边之间的关系知：ABOBOA当且仅当 O 在 AB 上时，等号成立。因此，.)()(222222dbcadcba例2已知xyx62322，试求22yx的最大值。解由xyx62322得.20,0323,0.3232222xxxyxxy又,29)3(2132322222x
4、xxxyx当2x时，22yx有最大值，最大值为.429)32(212思路分析要求22yx的最大值，由已知条件很快将22yx变为一元二次函数,29)3(21)(2xxf然后求极值点的 x值，联系到02y，这一条件， 既快又准地求出最大值。 上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。例3已知二次函数),0(0)(2acbxaxxf满足关系)2()2(xfxf，试比较)5.0(f与)(f的大小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 38 页思路分析由已知条件)2()2(xfxf可知，在与2x左右等距离的点的函数值相等，说明该函数
5、的图像关于直线2x对称，又由已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致图像简捷地解出此题。解（如图 122）由)2()2(xfxf，知)(xf是以直线2x为对称轴，开口向上的抛物线它与2x距离越近的点，函数值越小。)()5 .0(25 .02ffx y O 2 图122 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 38 页第二讲联想能力的训练联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺
6、口，不断深入。例如，解方程组32xyyx. 这个方程指明两个数的和为2，这两个数的积为3。由此联想到韦达定理， x 、y是一元二次方程0322tt的两个根，所以31yx或13yx.可见，联想可使问题变得简单。例2在ABC中，若C为钝角，则tgBtgA的值(A) 等于 1 (B)小于 1 (C) 大于 1 (D) 不能确定思路分析此题是在ABC中确定三角函数tgBtgA的值。因此， 联想到三角函数正切的两角和公式tgBtgAtgBtgABAtg1)(可得下面解法。解C为钝角，0tgC.在ABC中)(BACCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
7、 -第 6 页，共 38 页且均为锐角，、BA.1. 01,0, 0. 01)()(tgBtgAtgBtgAtgBtgAtgBtgAtgBtgABAtgBAtgtgC即故应选择（ B）例3若.2,0)(4)(2zxyzyyxxz证明：思路分析此题一般是通过因式分解来证。 但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。证明当0yx时，等式0)(4)(2zyyxxz可看作是关于 t的一元二次方程0)()()(2zytxztyx有等根的条件， 在进一步观察这个方程， 它的两个相等实根是1 ，根据韦达定理就有：1yxzy即zxy2
8、若0yx，由已知条件易得,0 xz即zyx,显然也有zxy2. 例4已知cba、均为正实数 ,满足关系式222cba,又 n为不小于3的自然数，求证 :.nnncba思路分析由条件222cba联想到勾股定理 ,cba、可构精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 38 页成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。证明设cba、所对的角分别为A、B、.C则C是直角，A为锐角，于是,cos,sincbAcaA且, 1cos0,1sin0AA当3n时，有AAAAnn22coscos,sinsin于是有1cossinco
9、ssin22AAAAnn即, 1)()(nncbca从而就有.nnncba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 38 页第三讲问题转化的训练数学家 G . 波利亚在怎样解题 中说过：数学解题是命题的连续变换。 可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。例如，已知cbacba1111,)0,0(cbaabc, 求证 a、b、
10、 c三数中必有两个互为相反数。恰当的转化使问题变得熟悉、 简单。要证的结论，可以转化为：0)()(accbba思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。 思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 38 页1转化成容易解决的明显题
11、目例 11 已知, 1111cbacba求证 a、b、 c中至少有一个等于 1。思路分析结论没有用数学式子表示， 很难直接证明。 首先将结论用数学式子表示，转化成我们熟悉的形式。a、b、 c中至少有一个为 1，也就是说111cba、中至少有一个为零，这样，问题就容易解决了。证明., 1111abcabacbccba于是.0)()1()1)(1)(1(cbabcacababccba111cba、中至少有一个为零，即a、b、 c中至少有一个为 1。思维障碍很多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个为1， 其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌生问题变为熟悉问
12、题。因此，多练习这种“翻译”，是提高转化能力的一种有效手段。例12直线L的方程为2px，其中0p；椭圆E的中心为)0,22(pO，焦点在X轴上，长半轴为 2，短半轴为 1，它的一个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 38 页顶点为)0,2(pA，问p在什么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点A的距离等于该点到直线L的距离。思路分析从题目的要求及解析几何的知识可知，四个不同的点应在抛物线pxy22（1）是，又从已知条件可得椭圆E的方程为14)22(22ypx（2）因此，问题转化为当方程组 （1） 、 （2）
13、有四个不同的实数解时，求p的取值范围。将（ 2）代入（ 1）得：.024)47(22ppxpx（3）确定p的范围，实际上就是求（3）有两个不等正根的充要条件，解不等式组：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 38 页0470240)24(4)47(222pppppp在0p的条件下，得.130p本题在解题过程中，不断地把问题化归为标准问题：解方程组和不等式组的问题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 38 页第四讲问题转化的训练 (2) 2逆向思维的训练逆
14、向思维不是按习惯思维方向进行思考，而是从其反方向进行思考的一种思维方式。当问题的正面考虑有阻碍时，应考虑问题的反面，从反面入手，使问题得到解决。例 13 已知函数nmxxxf22)(， 求证) 1(f、)2(f、)3(f中至少有一个不小于1. 思路分析反证法被誉为“数学家最精良的武器之一” ，它也是中学数学常用的解题方法。当要证结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用反证法。证明（反证法）假设原命题不成立，即)1 (f、) 2(f、)3(f都小于 1。则17319729131318112811211)3(1)2(1)1 (nmnmnmnmnmnmfff得9211nm，与矛盾，
15、所以假设不成立，即)1 (f、)2(f、)3(f中至少有一个不小于 1。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 38 页3一题多解训练由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”。通过一题多解训练，可使学生认真观察、多方联想、恰当转化，提高数学思维的变通性。例 14 已知复数 z的模为 2，求iz的最大值。解法一 （代数法）设，、)(Ryxyixz.25)1(.42222yyxizyx则.32, 2maxizyy时，当解法二 （三角法）设),sin(cos2i
16、z则.sin45)1sin2cos422（iz. 31sinmaxiz时，当解法三 （几何法）。所对应的点之间的距离与表示上的点，是圆点izizyxzz4,222如图 123 所示，可知当iz2时，. 3maxiz解法四 （运用模的性质）312iziz而当iz2时，.3.3maxizizy x O i -2i 图123 Z 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 38 页解法五 （运用模的性质）1)()()(2izzzziziziz.)(),(25的虚部）表zzIzI又.3,9,2)(max2maxizizzI精选学习资料 -
17、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 38 页第五讲开拓性思维训练实例（ 1）例 1已知.1, 12222yxba求证：.1byax分析 1用比较法。本题只要证.0)(1byax为了同时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于2 便不难解决。证法 1)() 11 (21)(1byaxbyax)()(212222byaxyxba,0)()(21)2()2(21222222ybxaybybxaxa所以.1byax分析 2 运用分析法， 从所需证明的不等式出发， 运用已知的条件、定理和性质等，得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是
18、寻找命题成立的充分条件。因此，证明过程必须步步可逆，并注意书写规范。证法 2要证.1byax只需证,0)(1byax即, 0)(22byax因为. 1, 12222yxba所以只需证x lMy d 图421 O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 38 页,0)(2)(2222byaxyxba即.0)()(22ybxa因为最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。分析 3 运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法）证法3 .2,2
19、2222ybbyxaax.1222222ybxabyax即.1byax分析 4三角换元法： 由于已知条件为两数平方和等于1 的形式，符合三角函数同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。证法 4, 1, 12222yxba可设cos,sin.cos,sinyxba, 1)cos(coscossinsinbyax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 38 页分析 5 数形结合法：由于条件122yx可看作是以原点为圆心，半径为 1 的单位圆，而.2
20、2babyaxbyax联系到点到直线距离公式，可得下面证法。证法 5 （如图 4-2-1）因为直线0:byaxl经过圆122yx的圆心 O，所以圆上任意一点),(yxM到直线0byax的距离都小于或等于圆半径1，即.11|22byaxbyaxbabyaxd简评五种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法。 除了证法 4、证法 5 的方法有适应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好方法。可在具体应用过程中，根据题目的变化的需要适当进行选择。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 38 页第六讲开拓性思维训练实例（
21、2）例 2如果, 0)(4)(2zyyxxz求证：zyx、成等差数列。分析 1要证zyx、，必须有zyyx成立才行。此条件应从已知条件中得出。故此得到直接的想法是展开已知条件去寻找转换。证法 1,0)(4)(2zyyxxz,02,0)2(,0)2()(22)(, 044442222222yzxyzxyzxyzxyzyxzxyxxzz故zyyx，即zyx、成等差数列。分析 2由于已知条件具有xzzyyx,轮换对称特点，此特点的充分利用就是以换元去减少原式中的字母，从而给转换运算带来便利。证法 2设,bzyayx则.bazx于是，已知条件可化为：.0)(04)(22zyyxbabaabba所以zy
22、x、成等差数列。分析 3已知条件呈现二次方程判别式acb42的结构特精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 38 页点引人注目，提供了构造一个适合上述条件的二次方程的求解的试探的机会。证法 3当0yx时，由已知条件知, 0zyxxz即zyx、成等差数列。当0yx时 ， 关于t的 一 元 二次 方程 ：,0)()()(2zytxztyx其判别式, 0)(4)(2zyyxxz故方程有等根，显然 t 1为方程的一个根，从而方程的两根均为1，由韦达定理知.121zyyxyxzytt即zyx、成等差数列。简评： 证法 1 是常用方法，略
23、嫌呆板，但稳妥可靠。证法2 简单明了，是最好的解法，其换元的技巧有较大的参考价值。证法3引入辅助方程的方法，技巧性强，给人以新鲜的感受和启发。例3 已知1yx，求22yx的最小值。分析 1 虽然所求函数的结构式具有两个字母yx、， 但已知条件恰有yx、的关系式，可用代入法消掉一个字母，从而转换为普通的二次函数求最值问题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 38 页解法 1.1, 1xyyx设22yxz，则. 122)1(222xxxxz二次项系数为,02故 z有最小值。当21222x时，.212421242）（最小值z22
24、yx的最小值为.21分析 2已知的一次式1yx两边平方后与所求的二次式22yx有密切关联，于是所求的最小值可由等式转换成不等式而求得。解法 2, 1)(, 12yxyx即.2122xyyx).(1,2222222yxyxyxxy即,2122yx当且仅当21yx时取等号。22yx的最小值为.21分析 3配方法是解决求最值问题的一种常用手段，利用已知条件结合所求式子，配方后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的。解法 3设.22yxz.2121)21()21(1, 12222yxyxyxzyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21
25、页，共 38 页当21yx时，.21最小z即22yx的最小值为.21分析 4因为已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点，故可得到用解析法求解的启发。解法 4 如图 422，1yx表示直线, l22yx表示原点到直线l上的点),(yxP的距离的平方。显然其中以原点到直线l的距离最短。此时，,222|100|d即.22)(22最小yx所以22yx的最小值为.21注如果设,22zyx则问题还可转化为直线1yx与圆zyx22有交点时，半径z 的最小值。简评几种解法都有特点和代表性。解法1 是基本方法，解法2、3、4 都紧紧地抓住题设条件的特点，与相关知识联系起来，所以具有灵巧简捷的优点，特别
26、是解法4，形象直观，值得效仿。),(yxP1 1 O x y l图422 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 38 页第七讲开拓性思维训练实例（ 3）例3 由圆922yx外一点)12,5(P引圆的割线交圆于BA、两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。分析 1（直接法）根据题设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式转化为代数等式，从而求出曲线方程。这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质，圆心和弦中点的连线垂直于弦，可得下面解法。解法 1 如图 423，设弦AB的中点M的坐标为),(yxM，连接OMOP、，则ABOM，在OMP中，由两
27、点间的距离公式和勾股定理有.169)12()5(2222yxyx整理，得. 012522yxyx其中.33x分析 2（定义法）根据题设条件，判断并确定轨迹的曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。图42P M B A O y x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 38 页解法 2因为M是AB的中点，所以ABOM，所以点M的轨迹是以|OP为直径的圆，圆心为)6 ,25(, 半径为,2132| OP该圆的方程为：222)213()6()25(yx化简，得.012522yxyx其中.33x分析 3（交轨法）将问题转化为求两直线的
28、交点轨迹问题。因为动点M可看作直线OM与割线PM的交点，而由于它们的垂直关系，从而获得解法。解法 3设过P点的割线的斜率为,k则过P点的割线方程为：)5(12xky. ABOM且过原点，OM的方程为.1xky这两条直线的交点就是M点的轨迹。两方程相乘消去,k化简，得：. 012522yxyx其中.33x分析 4（参数法）将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数。由于动点M随直线的斜率变化而发生变化，所以动点M的坐标是直线斜率的函数， 从而可得如下解法。解法 4 设过P点的割线方程为：)5(12xky精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
29、 - - -第 24 页，共 38 页它与圆922yx的两个交点为BA、，AB的中点为M. 解方程组, 912) 5(22yxxky利用韦达定理和中点坐标公式，可求得M点的轨迹方程为：.012522yxyx其中.33x分析 5（代点法） 根据曲线和方程的对应关系： 点在曲线上则点的坐标满足方程。设而不求，代点运算。从整体的角度看待问题。这里由于中点M的坐标),(yx与两交点),(),(2211yxByxA、通过中点公式联系起来， 又点、MPBA、构成 4 点共线的和谐关系，根据它们的斜率相等，可求得轨迹方程。解法5设),(),(),(2211yxByxAyxM则.2,22121yyyxxx.9
30、,922222121yxyx两式相减，整理，得. 0)()(21121212yyyyxxxx所以,21211212yxyyxxxxyy即为AB的斜率，而AB对斜率又可表示为,512xy,512yxxy化简并整理，得.012522yxyx其中.33x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 38 页简评上述五种解法都是求轨迹问题的基本方法。其中解法 1、2、3 局限于曲线是圆的条件， 而解法 4、5 适用于一般的过定点P且与二次曲线C交于BA、两点，求AB中点M的轨迹问题。具有普遍意义，值得重视。对于解法5 通常利用ABPMkk可
31、较简捷地求出轨迹方程，比解法4 计算量要小，要简捷得多。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 38 页第八讲数学思维过程（ 1）第一阶段是 审题。包括认清习题的条件和要求，深入分析条件中的各个元素，在复杂的记忆系统中找出需要的知识信息，建立习题的条件、结论与知识和经验之间的联系，为解题作好知识上的准备。第二阶段是 寻求解题途径 。有目的地进行各种组合的试验，尽可能将习题化为已知类型，选择最优解法，选择解题方案，经检验后作修正，最后确定解题计划。第三阶段是 实施计划 。将计划的所有细节实际地付诸实现，通过与已知条件所选择的根据
32、作对比后修正计划，然后着手叙述解答过程的方法，并且书写解答与结果。第四阶段是 检查与总结 。求得最终结果以后，检查并分析结果。探讨实现解题的各种方法，研究特殊情况与局部情况，找出最重要的知识。将新知识和经验加以整理使之系统化。所以：第一阶段的理解问题是解题思维活动的开始。第二阶段的转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 38 页程。第三阶段的计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达
33、，是解题思维活动的重要组成部分。第四阶段的反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 38 页第九讲数学思维过程（ 2）（1）研究问题的条件时，在需要与可能的情况下，可画出相应图形或思路图帮助思考。因为这意味着你对题的整个情境有了清晰的具体的了解。（2）清晰地理解情境中的各个元素；一定要弄清楚其中哪些元素是给定了的，即已知的，哪些是所求的，即未知的。（3）深入地分析并思考习题叙述中的每一个符号、术语的含义，从中找
34、出习题的重要元素，要图中标出（用直观符号）已知元素和未知元素，并试着改变一下题目中（或图中）各元素的位置，看看能否有重要发现。（4）尽可能从整体上理解题目的条件，找出它的特点，联想以前是否遇到过类似题目。（5）仔细考虑题意是否有其他不同理解。题目的条件有无多余的、互相矛盾的内容？是否还缺少条件？（6）认真研究题目提出的目标。通过目标找出哪些理论的法则同题目或其他元素有联系。（7）如果在解题中发现有你熟悉的一般数学方法，就尽可能用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 38 页这种方法的语言表示题的元素，以利于解题思路的展开。以
35、上途径特别有利于开始解题者能迅速“登堂入室”，找到解题的起步点。在制定计划寻求解法阶段，最好利用下面这套探索方法：（1）设法将题目与你会解的某一类题联系起来。或者尽可能找出你熟悉的、最符合已知条件的解题方法。（2）记住：题的目标是寻求解答的主要方向。在仔细分析目标时即可尝试能否用你熟悉的方法去解题。（3）解了几步后可将所得的局部结果与问题的条件、结论作比较。用这种办法检查解题途径是否合理，以便及时进行修正或调整。（4）尝试能否局部地改变题目，换种方法叙述条件，故意简化题的条件（也就是编拟条件简化了的同类题）再求其解。再试试能否扩大题目条件（编一个更一般的题目），并将与题有关的概念用它的定义加以
36、替代。（5）分解条件，尽可能将分成部分重新组合，扩大骒条件的理解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 38 页（6）尝试将题分解成一串辅助问题，依次解答这些辅助问题即可构成所给题目的解。（7）研究题的某些部分的极限情况，考察这样会对基本目标产生什么影响。（8）改变题的一部分， 看对其他部分有何影响； 依据上面的“影响”改变题的某些部分所出现的结果，尝试能否对题的目标作出一个“展望”。万一用尽方法还是解不出来，你就从课本中或科普数学小册子中找一个同类题，研究分析其现成答案，从中找出解题的有益启示。精选学习资料 - - - -
37、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 38 页第十讲解题熟悉化策略所谓熟悉化策略， 就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。一般说来， 对于题目的熟悉程度， 取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条件、结论（或问题）以及它们的联系方式上多下功夫。常用的途径有：（一） 、充分联想回忆基本知识和题型：按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充
38、分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。（二） 、全方位、多角度分析题意 ：对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 38 页握题意，找到自己熟悉的解题方向。（三）恰当构造辅助元素：数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式；条件与结论（或问题）之间，也存在着多种联系方式。因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论（或条
39、件与问题）的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形（点、线、面、体） ，构造算法，构造多项式， 构造方程（组） ，构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命题，构造反例，构造数学模型等等。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 38 页第十一讲解题简单化策略二、简单化策略所谓简单化策略， 就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法把转化为一道或几道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简驭繁，解出原题。简单化是熟悉化的补充和发挥。一般
40、说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉。因此，在实际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不同而已。解题中，实施简单化策略的途径是多方面的，常用的有: 寻求中间环节，分类考察讨论，简化已知条件，恰当分解结论等。1、寻求中间环节，挖掘隐含条件：在些结构复杂的综合题， 就其生成背景而论， 大多是由若干比较简单的基本题，经过适当组合抽去中间环节而构成的。因此，从题目的因果关系入手， 寻求可能的中间环节和隐含条精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 38 页件，把原题分解成一组相互联系的系列题，是实现复杂问题简
41、单化的一条重要途径。2、分类考察讨论：在些数学题，解题的复杂性，主要在于它的条件、结论（或问题）包含多种不易识别的可能情形。对于这类问题，选择恰当的分类标准，把原题分解成一组并列的简单题，有助于实现复杂问题简单化。3、简单化已知条件：有些数学题，条件比较抽象、复杂，不太容易入手。这时，不妨简化题中某些已知条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化问题。这样简单化了的问题，对于解答原题，常常能起到穿针引线的作用。4、恰当分解结论：有些问题，解题的主要困难，来自结论的抽象概括，难以直接和条件联系起来，这时，不妨猜想一下，能否把结论分解为几个比较简单的部分，以便各个击破，解出原题。精选学习资料 - -
42、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 38 页第十二讲解题其他策略直观化策略：所谓直观化策略， 就是当我们面临的是一道内容抽象，不易捉摸的题目时，要设法把它转化为形象鲜明、直观具体的问题，以便凭借事物的形象把握题中所及的各对象之间的联系，找到原题的解题思路。（一） 、图表直观：有些数学题，内容抽象，关系复杂，给理解题意增添了困难，常常会由于题目的抽象性和复杂性，使正常的思维难以进行到底。对于这类题目，借助图表直观，利用示意图或表格分析题意，有助于抽象内容形象化，复杂关系条理化，使思维有相对具体的依托，便于深入思考，发现解题线索。（二） 、图形直观
43、：有些涉及数量关系的题目，用代数方法求解，道路崎岖曲折，计算量偏大。这时，不妨借助图形直观，给题中有关数量以恰当的几何分析，拓宽解题思路，找出简捷、合理的解题途径。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 38 页（三） 、图象直观：不少涉及数量关系的题目， 与函数的图象密切相关， 灵活运用图象的直观性，常常能以简驭繁，获取简便，巧妙的解法。特殊化策略所谓特殊化策略， 就是当我们面临的是一道难以入手的一般性题目时，要注意从一般退到特殊，先考察包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以便从特殊问题的研究中，拓宽解题思路，发现解答
44、原题的方向或途径。一般化策略所谓一般化策略，就是当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时，要设法把特殊问题一般化，找出一个能够揭示事物本质属性的一般情形的方法、技巧或结果，顺利解出原题。整体化策略所谓整体化策略， 就是当我们面临的是一道按常规思路进行局精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 38 页部处理难以奏效或计算冗繁的题目时，要适时调整视角，把问题作为一个有机整体，从整体入手，对整体结构进行全面、深刻的分析和改造，以便从整体特性的研究中，找到解决问题的途径和办法。间接化策略所谓间接化策略， 就是当我们面临的是一道从正面入手复杂繁难，或在特定场合甚至找不到解题依据的题目时，要随时改变思维方向，从结论（或问题）的反面进行思考，以便化难为易解出原题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页，共 38 页