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1、-数学建模论文-房价问题-第 22 页摘 要近几年中国房地产迅猛发展，我们通过广泛调查和分析按照经济带选取了三个具有代表性的城市从整体上分析中国的房价情况。影响房价的因素有很多，我们首先从经济角度作出房价影响因素的层次分析图，并通过作图拟合选取出影响房价的三个因素，即人均可支配收入，人均消费支出，土地价格指数。对于模型的选择，考虑到影响因素众多，不能全部考虑，而且有部分数据不全，同时采用了多元线性回归和灰色预测对未来房价走势进行预测，结果显示房价总体呈上升趋势，部分地区房地产过热。对于房价是否合理，运用了HIR法和房价涨幅对比法对房价的增长速度和居民承受力进行分析。通过模型的结果，发现房价增长
2、过快，以上海为例对一些政策影响的分析提出了新的措施。最后，通过大量数据和图表分析得出房价对经济有较大的影响。关键词：房价 多元线性回归 灰色预测 HIR法 图表法目 录1 问题重述 22 问题分析 2 2.1问题一分析 2 2.2问题二分析 43 问题一 4 3.1模型假设与符号说明 4 3.1.1假设4 3.1.2符号说明5 3.2模型建立与求解5 3.2.1多元回归模型5 3.2.2灰度预测模型11 3.3结果分析16 3.4房价的合理性分析174 问题二18 4.1房价合理化措施18 4.2对经济发展的影响205模型的优缺点分析与推广236参考文献23 表A-124 表A-224 附录A
3、24 附录B261问题重述房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。我国自从取消福利分房制度以来，随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人、地方政府官员，到开发商、专家学者、普通百姓通过各种媒体表达各种观点，但对于房价是否合理、未来房价的走势等关键问题，至今尚未形成统一的认识。请根据中国国情，收集建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据，选取我国具有代表性的几类城市对房价的合理性及房价的未来走势等问题进行定量分析；根据分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响，并进行定量分析。2 问题分
4、析 2.1问题一分析（一）选取具有代表性的城市通过查阅资料，我们知道房价与GDP互为因果关系实质上是房地产业与经济发展长期内在联系的外在表现，在经济发展与房地产市场发展的内在联系中，经济发展始终占据主导地位，经济发展决定了房地产市场的发展。因此我们按经济带划分，在东部沿海地区，中部内陆地区，西部边远地区分别选取了三个具有代表性的城市：上海，武汉，兰州。（二）房价影响因素的选取房价问题关乎民生大计，也是当代的热点问题。房地产价格是一个不确定的指标，它受消费者购买力，供求关系，国家政策等多方面因素的影响，我们通过深入分析和广泛查阅资料，从四个方面对房价的影响因素做了层次分析，如图1 。房价消费者购
5、买力开发成本供求关系政府调控人均可支配收入人均消费支出住房支付能合理指数消费者物价指数房屋平均造价地价贷款利率房屋竣工面积人均占有面积税收政策货币政策土地政策 图1 房价影响因素层次分析图1）消费者购买力与房价。消费者购买力的增加是影响房价上涨的主要因素。改革开放以来，我国居民收入大幅度增加，恩格尔系数食品占总支出的比重明显下降，消费结构不断升级， 投资能力越来越强。随着居民收入的大幅度上升，人均可支配收入也会相应增加，这会在一定程度上刺激消费，而购置房产是居民比较理性的选择，在这种购房需求的拉动下，房价必然会保持上涨趋势。2）建筑成本与房价。建筑成本的增加是房价上涨的又一重要原因。建筑成本是
6、以房地产开发项目 有关的各种费用,包括土地成本、材料成本以及劳动力成本等因素。随着物价水平 的上涨，土地成本、材料成本以及劳动力成本等均有了不同程度的增加，各种因 素加权起来对房价上涨的推动力量是不容忽视的。3）供求关系与房价。众所周知,供需关系是影响价格最基本也是最主要的因素,当然房地产价格也不例外。4）政府调控。政府调控与房地产 房产具有较强的公共产品“属性” ，也就是说其发展变化和波动等与政府经 济社会发展政策及宏观调控有高度关联性。房地产涉及货币信贷、土地、规划、 财税、社会保障等各个环节，受政策性影响很大。房地产市场的发展变化在很大 程度上受制于政府经济与社会发展政策取向。通过以上分
7、析，我们对房价有了比较深层次的认识，但去逐一的分析每个因素是不可能的，通过各因素与房价的相关性分析，选取主要的影响因素来预测房价未来的走势。（三）模型的选取通过查阅资料，知道对于房价的预测有很多的方法，主要分为两大类，一类是定性分析的预测方法，如各种评估法、市场比较法、假设开发法、成本估计法、收益还原法等，另一类是定量的预测方法，如灰色序列预测、多元回归、马尔科夫预测、模糊神经网络等。灰色预测是通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描述回归分析是一种处理变量的统计相关关系的一种数理统计方法。回归分析的基本思想是: 虽然自变量和因变量之间没有严格的、确定性
8、的函数关系, 但可以设法找出最能代表它们之间关系的数学表达形式。由于影响房价的因素很多，有一些已知也有一些未知的非确定的信息。综上考虑，我们采用比较合适现实情况的灰色预测和回归分析法两种方法同时对房价的未来趋势进行预测。2.2问题二分析通过进一步定量分析，近年来，政府出台了多项商品房房价调控政策来调控商品房的价格。很多政策起到了一定的作用，对房价的合理化有着很多积极的影响。为了提出使房价合理化的措施，我们以上海为例，搜集了2010.4-2011.6上海房价以及在这期间出台的相关政策，对上海房价变化进行深入分析，从而总结出房价调控政策在对价格的调控中所起到的作用。虽然房价是由诸多社会经济因素制约
9、着的，并不能完全从房价的涨跌中看出政策的有效性，但是这又是了解政策作用的最直观的方式。从房价与各项经济数据之间的关系，分析房价对经济的影响。利用收集的数据，用matlab做出房价与各项经济因素的关系图，分析房价对经济是否有影响以及房价与各经济因素之间的增长趋势。通过合理性分析，了解现阶段房价是否符合经济发展规律。分析房价的不合理将会对经济造成什么样的影响。3 问题一模型 3.1模型的假设与符号说明 3.1.1假设1）预测时不涉及自然灾害的影响 2）仅考虑不同地市的房价及其走势，而不区分市内不同地段的房价差异 3）假设影响房价的各因素间是相互独立的 4）查询的数据真实可靠 5）忽略政策出台的各项
10、政策的影响 6）忽略各城市某个时段特殊活动的影响 3.1.2符号说明y房价人均可支配收入人均消费支出土地价格指数相关系数房价实际值房价预测值残差相对误差S方差绝对关联度3.2问题一的模型建立与求解3.2.1：多元回归模型以上海为例，通过网络的方式搜索到对房屋价格影响的几个关键因素，如表1所示。表1 上海市2000-2009年人均可支配收入等数据年份人均可支配收入/元人均消费支出/元房屋平均造价/元房屋竣工面积/万土地交易价格指数房价200011718886821641909.111003326200112883933621182434.7392.736592002132501046421342
11、596.95103.340072003148671104029913609.2118.949892004166831263130064672.53143.163852005186451377330585648.8515366982006206681476230896506.41154.882372007236231722530966090.22166.9102922008266751939825525723.9180134112009288382099233535719.9318415800将各因素与房价建立基本模型。图2 房价与人均可支配收入间的散点图图3 房价与人均消费支出的散点图图4 房
12、价与房屋平均造价散点图图5 房价与房屋竣工面积散点图图6 房价与土地交易价格指数散点图由以上相关系数知道，房屋平均造价和房屋竣工面积对房价的波动影响不大，故忽略二者对房价的波动的影响。相对的，人均可支配收入、人均消费支出、土地交易价格指数与房价有很强的线性关系，故可根据上图所得公式，建立如下多元线性回归模型： （1）用MATLAB 统计工具箱中的命令regress求解见附表A，可得模型（1）的计算结果为表2表2 参数参数估计值参数置信区间5099-18096,282940.056291-1.2616,1.37420.85798-0.99861,2.7146-164.75-461.99,132.
13、490.61612-0.83565,2.0679= 0.99059 F=131.52 P0.0001 = 3.0957e+005由表2知= 0.99059 ，说明房价的99.059%可由模型确定，F得值远远超过了F的检验的临界值，P远小于置信水平0.05，因而模型（1）从整体上来看是可用的。根据模型（1）的计算结果 （2）可解得下表。表3 上海市2000-2009年实际房价与预测房价比较表年份2000200120022003200420052006200720082009上海实际房价3326365940074989638566988237102921341115800上海预测房价syu/yuj
14、3053.43856.54378.64529.45916.27181.58188.7108731355115278图7 上海实际房价与预测房价走势比较图由图表可知，根据模型一所求得得房价计算值与实际值基本一致，拟合效果好。现在再利用年份与各因素做回归拟合图，预测未来几年上海房价。以2000年为零点计数，可得图8图9图10用图中数据，代入相应年份，可计算得人均可支配收入： =0.997 预测值 2010年：29268 2011年：32644人均消费支出： =0.995 预测值 2010年：21180 2011年：23529土地交易价格指数： =0.957 预测值 2010年：189.2 2011
15、年：200.12将上述数据代入公式（2）可得2010年预测房价为：15803元/平方米 2011年预测房价为：18829元/平方米已知2010年上海市房价为19168元/平方米，为什么预测的结果与实际有这么大的差距，一方面是由于2010年对于土地价格指数等数据的缺失使得我们的模型只是建立在2000-2009年的，并且忽略了政策出台政策和地方特殊活动情况的影响。2010年上海举办世博必然会对房价产生重大影响。另一方面是08金融危机后，在后两年房价有复苏景象。由于2009年2010年房价的差距较大且其他数据不易查找，我们将进一步采用较为合适的灰色序列预测利用2000-2010年的数据对房价进行预测
16、。 3.2.2：灰色预测模型1、灰色预测模型建立与求解（原理见附录B）房地产发展受众多因素的影响，其中部分因素可以确定，部分因素未知。灰色预测模型（Gray Forecast Model）认为一切随机量都是在一定范围内、一定时间段上变化的灰色量及灰色过程. 数据处理不去寻找其统计规律和概率分布, 而是对原始数据作一定处理后, 使其成为有规律的时间序列数据, 在此基础上对上海房价的变动建立数学模型做出预测.。本模型以上海市为例，经过资料的查证，我们得到上海市20012010房价原始数据如下表表4 上海市20012010年房价年份2001200220032004200520062007200820
17、092010房价36594007498963856698823710292134111580019168根据已知数据，建立GM(1,1)模型对20112015年上海房价走势进行预测。（1） 由原始数据列计算一次累加数据列，结果见表。表5 一次累加数据年份2001200220032004200520062007200820092010序号1234567891036594007498963856698823710292134111580019168365976661265519040257383397544267576787347892646（2）建立矩阵：B、y（3）由，求估值和把和带入时间响应
18、方程，由于，故时间响应方程为可用预测方程来进行外推预测，调用MATLAB函数文件，function f2k=input(输入k=);y1=17840.9746*exp(0.19761*(k-1)-14181.9746;y2=17840.9746*exp(0.19761*k)-14181.9746;x=y2-y1分别令k=10,11,12,13,14得出20112015年上海市的房价：表6 上海市20112015房价预测值年份20112012201320142015房价2308028122342674175450876预测结果可以看出，未来5年上海市的房价仍然保持上涨趋势，且上升速度有所加快。2
19、灰色预测模型的检验当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测. 预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断. 一个模型要经过多种检验才能判断其是否合理，是否有效只有通过检验的模型才能用来做预测。从上面的数据中计算拟合值，再用后减运算还原计算得模型计算值，比较数据，结果比对如下：图11表7模型计算值实际值残差相对误差=3898=40071090.0272 =4749.7=4989239.30.0480 =5787.4=6358597.60.0936 =7
20、051.9=6698-353.9-0.0528 =8592.7=8237-355.7-0.0432 =10470=10292-178-0.0173 =12758=134116530.0487 =15545=158002550.0161 =18941=191682270.0118 检验模型的三种方法是：残差检验、关联度检验、均方差比检验。这三种方法都是通过对残差的考察来判断模型的精度，其中平均相对误差和模拟误差、均方差比值要求越小越好，关联度、小误差概率要求越大越好给定的一组取值，就确定和检验模型模拟精度的一个等级常用的精度等级如表：表8 精度检验等级参照表指标临界值精度等级相对误差关联度均方差
21、比值小误差概率一级0.010.900.350.95二级0.050.800.500.80三级0.100.700.650.70四级0.200.600.800.60用相对误差、关联度、均方差比进行检验。(1)相对误差检验指标检验：原始时间序列预测模型模拟序列残差序列相对误差序列平均相对误差，模拟误差GM（1,1）模型的平均相对误差，模拟误差，由表。，此模型为残差二级模型。(2)关联度检验：已知行为序列：=（4007，4989，6385，6698，8237，10292，13411，15800，19168） =（3898，4749.7，5787.4，7051.9，8592.7，10470，12758，1
22、5545，18941）其对应始点零化像分别为： =（0，982，2378，2691，4230，628，9404，11793，15161） =（0，851.7，1889.4，3153.9，4694.7，6572，8860，11647，15043）则绝对关联度：GM（1,1）模型的绝对关联度，该模型关联度为一级。 (3)均方差比检验原始时间序列的均值、方差分别为：残差的均值、方差分别为：均方差比值 GM（1,1）模型的均方差比值C=0.073636 y=3326 3659 4007 4989 6385 6698 8237 10292 13411 15800 x= 1 11718 8868 100
23、10000 1 12883 9336 92.7 8593.3 1 13250 10464 103.3 10671 1 14867 11040 118.9 14137 1 16683 12631 143.1 20478 1 18645 13773 153 23409 1 20668 14762 154.8 23963 1 23623 17225 166.9 27856 1 26675 19398 180 32400 1 28838 20992 184 33856 B,bint,r,rint,stats=regress(y,x,0.05)B = 5099 0.056291 0.85798 -164.75 0.61612bint = -18096 28294 -1.2616 1.3742 -0.99861 2.7146 -461.99 132.49 -0.83565 2.0679r = 272.82 -197.28 -371.43 459.81 469.09 -483.21 48.573 -580.76 -139.59 521.97rint = -775.28 1320.9 -1072 677.39 -998.01 255.16 -599.21 1518.8 -557.09 1495.3 -1