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1、关于充要条件关于充要条件现在学习的是第1页，共24页2 2、四种命题及相互关系四种命题及相互关系1 1、命题：命题：可以判断真假的陈述句可以判断真假的陈述句 可以写成：若可以写成：若p p则则q q。 复习旧知复习旧知引入新课引入新课 原命题原命题 若若 p p则则 q q 逆命题逆命题 若若 q则则 p 否命题否命题 若若 p 则则 q 逆否命题逆否命题若若 q 则则 p互逆互逆互逆互逆互否互否互否互否互为互为逆否逆否现在学习的是第2页，共24页现在学习的是第3页，共24页例例1.下列各小题中，下列各小题中，p是是q的充要条件的是的充要条件的是( )p:m6,q:y=x2+mx+m+3有两个
2、不同的零有两个不同的零点；点；p: , q: y=f(x)是偶函数；是偶函数；p:cos =cos, q:tan =tan;p: AB=A, q: UB UA( )1( )fxf xA. B. C. D.D 充要条件的判断：充要条件的判断：（1）分清命题的条件与结论；）分清命题的条件与结论；（2）常用方法有：）常用方法有：定义法定义法,集合法集合法,变换法变换法(命题的等价变换命题的等价变换)等等.现在学习的是第4页，共24页 【1】a b成立的充分不必要的条件是成立的充分不必要的条件是( ) A. acbc B. D Dabcc C. a+cb+c D. ac2bc2 【2】已知已知p:|2
3、x- -3|1; q: ,则则 p是是 q的的( ) A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 A2106xx :21pxx或或:23qxx 或或现在学习的是第5页，共24页,:sinsin(),:,()2pqpq 已已知知 、 均均为为锐锐角角 若若则则 是是 的的A. 充分而不必要条件充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件必要而不充分条件C. 充要条件充要条件 D. 不充分也不必要条件不充分也不必要条件 取取则则,sinsin(),63 0,sinsin(),.2qp 若若则则,.2pq 但但B B【3
4、】【4】 “sinAsinB”是是“AB”的的_条件条件.既不充分又不必要既不充分又不必要充要充要【5】在在ABC中中, “sinAsinB”是是 “AB”的的_条件条件.【6】在在ABC中中, “B=60”是是 “A, B, C成等差数列成等差数列”的的 _条件条件.充要充要现在学习的是第6页，共24页例例2.求证：关于求证：关于x的方程的方程x2mx10有两个负实根的充要条件是有两个负实根的充要条件是m2.证明：证明：(1)充分性：因为充分性：因为m2，所以，所以m240， 所以方程所以方程x2mx10有实根有实根. 设设x2mx10的两个实根为的两个实根为x1、x2， 由根与系数的关系知
5、由根与系数的关系知x1x210. 所以所以x1、x2同号同号. 又因为又因为x1x2m2， 所以所以x1、x2同为负根同为负根.现在学习的是第7页，共24页证明：证明：(2)必要性必要性:因为因为x2mx10的两个实根的两个实根x1,x2均为负，均为负， 且且x1x21， 所以所以m2(x1x2)2所以所以m2.综合综合(1)(2)知命题得证知命题得证.111()2xx 211(1)0,xx 例例2.求证：关于求证：关于x的方程的方程x2mx10有两个负实根的充要条件是有两个负实根的充要条件是m2.现在学习的是第8页，共24页(1)充分性：充分性：若若xy=0，则有，则有x=0或或y=0，或，
6、或x=0且且y=0. 此时显然此时显然|x+y|=|x|+|y|. 充分性即证：充分性即证：xy0|x+y|=|x|+|y|, 必要性即证：必要性即证：|x+y|=|x|+|y| xy0.若若xy0，则，则x, y同号同号,当当x0且且y0时，时，|x+y|=x+y=|x|+|y|;当当x0且且y0时，时， |x+y|=- -x- -y=(- -x)+(- -y)=|x|+|y|.综上所述，由综上所述，由xy0可知可知|x+y|=|x|+|y|.设设x,yR, 求证：求证：|x+y|=|x|+|y|的充要条件是的充要条件是xy0.现在学习的是第9页，共24页设设x,yR, 求证：求证：|x+y
7、|=|x|+|y|的充要条件是的充要条件是xy0.(2)必要性：必要性： 因为因为|x+y|=|x|+|y|，且，且x, yR， 所以所以(x+y)2=(|x|+|y|)2, 即即x2+2xy+y2=x2+2|x|y|+y2,可得可得xy=|xy|，可得，可得xy0.故故|x+y|=|x|+|y|可知可知xy0. 综合综合(1)(2)知命题成立知命题成立. 充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由由“条件条件”“结论结论”是证明命题的充分性，由是证明命题的充分性，由“结论结论” “条条件件”是证明命题的必要性是证明命题的必要性.现在
8、学习的是第10页，共24页则则440,10,20,aaa 解得解得0a1. 2 2. 求关于求关于x的方程的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的至少有一个负实根的充要条件充要条件.解解: (1)a=0适合适合. (2)a0时，显然方程没有零根时，显然方程没有零根.若方程有两异号实根，则若方程有两异号实根，则a0；若方程有两个负的实根，则若方程有两个负的实根，则 因此，关于因此，关于x的方程的方程ax2+2x+1=0至少有一负的实根的充要条件至少有一负的实根的充要条件是是a1.综上知，若方程至少有一个负实根，则综上知，若方程至少有一个负实根，则a1.反之，若反之，若a1,1,则方程至少有一
9、个负的实根，则方程至少有一个负的实根，现在学习的是第11页，共24页(1)是否存在实数是否存在实数m，使使2xm0是是x22x30的充分条件？的充分条件？(2)是否存在实数是否存在实数m，使使2xm0是是x22x30的必要条件？的必要条件？【思路点拨思路点拨】解答本题可先解出每一个不等式所解答本题可先解出每一个不等式所对应的集合，然后根据集合间的包含关系，求出对应的集合，然后根据集合间的包含关系，求出满足条件的满足条件的m的值的值现在学习的是第12页，共24页现在学习的是第13页，共24页【名师点评名师点评】本题将充分条件、必要条件本题将充分条件、必要条件的问题，转换为集合之间的包含关系问题，
10、的问题，转换为集合之间的包含关系问题，体现了转化与化归的思想，设体现了转化与化归的思想，设p：Ax|p(x)，q：Bx|q(x)现有如下的联系：现有如下的联系：现在学习的是第14页，共24页若若AB，则，则p是是q的充分条件；若的充分条件；若A B，则，则p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件若若BA，则，则p是是q的必要条件；若的必要条件；若B A，则，则p是是q的必要不充分条件的必要不充分条件若若AB，则，则p、q互为充要条件互为充要条件若若A B，且且B A，则则p是是q的的既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件现在学习的是第15页，共24页解：设解：设Ax|(4x3)21， Bx|
11、x2(2a1)xa(a1)0，易知易知Ax| x1， Bx|axa1. 1211,2211.11.aaaa 或或故所求实数故所求实数a的取值范围是的取值范围是 10, .2从而p是q的充分不必要条件，即 .AB 现在学习的是第16页，共24页 【1】设命题设命题p:|4x- -3|1;命题命题q:x2- -(2a+1)x+a(a+1)0.若若 p是是 q的必要而不充分条件的必要而不充分条件,求实数求实数a的取值范围的取值范围.解：由解：由|4x- -3|1, 得得 0.5x1. 由由x2- -(2a+1)x+a(a+1)0，得，得axa+1.因为因为 p是是 q的必要而不充分条件的必要而不充分
12、条件,所以所以p是是q的充分而不必要条件的充分而不必要条件,解得解得0a0.5.故所求的实数故所求的实数a的取值范围是的取值范围是0, 0.5.0.5,1 ,1,a a 即即 0.5,0.5,11,11.aaaa 或或现在学习的是第17页，共24页(1)若若pq，则，则p是是q的充分条件。（有它就行）的充分条件。（有它就行）(2)若若pq,则则p是是q的必要条件（却它不行）的必要条件（却它不行）(3)若若pq,则则p是是q的充要条件。（的充要条件。（p不多不少，恰到好处不多不少，恰到好处）2、判别步骤：、判别步骤：（1）找出）找出p、q；3、判别技巧：、判别技巧：（1）简化命题。）简化命题。
13、（2）否定命题时举反例。）否定命题时举反例。（3）利用等价的逆否命题来判断。）利用等价的逆否命题来判断。（3）根据定义下结论。）根据定义下结论。（）判断（）判断pq与与qp的真假。的真假。现在学习的是第18页，共24页1.给出下列四组命题给出下列四组命题:(1)p:x-2=0; q: (x-2)(x-3)=0.(2)p:两个三角形相似两个三角形相似; q:两个三角形全等两个三角形全等.(3)p: m-2; q:方程方程x2-x-m=0无实根无实根.(4)p:一个四边形是矩形一个四边形是矩形; q:四边形的对角线相等四边形的对角线相等.试分别指出试分别指出p是是q的什么条件的什么条件. (1)P
14、 (1)P是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件 (2)P (2)P是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件 (3)P(3)P是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件 (4)P (4)P是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件现在学习的是第19页，共24页2设设,Q是非空集合，命题甲为是非空集合，命题甲为PQ=PQ；命题乙为；命题乙为：P Q，那么甲是乙的（），那么甲是乙的（）A.充分非必要条件充分非必要条件B.必要非充分条件必要非充分条件C.充分必要条件充分必要条件D.既非充分条件，也非必要条件既非充分条件，也非必要条件3.在在ABC中中“B=600”是是“三内角三内角A,B,C满
15、足满足2B=A+C”的的( )A.充分非必要条件充分非必要条件B.必要非充分条件必要非充分条件C.充分必要条件充分必要条件D.既非充分条件，也非必要条件既非充分条件，也非必要条件AC现在学习的是第20页，共24页4.下列四个结论下列四个结论:“x=y”是是“x2=y2”的充分不必要条件的充分不必要条件;“|x|=|y|”是是“x2=y2”的必要不充分条件的必要不充分条件:两个三角形面积相等是它们全等的必要不充分条件两个三角形面积相等是它们全等的必要不充分条件;在平面上在平面上,“一个四边形的四边相等一个四边形的四边相等”是是“这个四边形为菱形这个四边形为菱形”的充要条件的充要条件.其中其中,正
16、确的有正确的有_.现在学习的是第21页，共24页5.若若p:a为奇数为奇数,b是偶数是偶数, q: ab是偶数是偶数,则则p是是q的的( )A.充分非必要条件充分非必要条件B.必要非充分条件必要非充分条件C.充分必要条件充分必要条件D.既非充分条件，也非必要条件既非充分条件，也非必要条件A6.ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是至少有一个负的实根的充要条件是( )A. 0a1 B.a1 C .a1 D.0a1或或a0C7、使不等式、使不等式2x2-5x-30成立的一个充分非必要条件是（成立的一个充分非必要条件是（ ）A.x0的一个充分不必要条件是的一个充分不必要条件是_.a0a0且且b0S r p qS是是q的充要条件的充要条件,r是是q的充要条件的充要条件,p是是q的必要不充分条件的必要不充分条件现在学习的是第23页，共24页感谢大家观看感谢大家观看2022-9-4现在学习的是第24页，共24页