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1、精品_精品资料_高中数学第八章圆锥曲线方程考试内容：椭圆及其标准方程椭圆的简洁几何性质椭圆的参数方程 双曲线及其标准方程双曲线的简洁几何性质抛物线及其标准方程抛物线的简洁几何性质 考试要求：（ 1）把握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简洁几何性质,明白椭圆的参数方程（ 2）把握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简洁几何性质（ 3）把握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简洁几何性质（ 4）明白圆锥曲线的初步应用 08.圆锥曲线方程学问要点一、椭圆方程 .1. 椭圆方程的第肯定义：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PF 1PF 1PF 1PF 2PF 2PF 22aF1F2 方程为椭圆 ,2
2、aF1F2 无轨迹,2aF1F 2 以F1,F 2为端点的线段可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2椭圆的标准方程：i.中心在原点,焦点在x 轴上： xa 2y 21ab 2b0.ii.中心在原点,焦点在y 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上： y2a2x1a2b2b0.一般方程：22AxBy1 A0, B0 .椭圆的标准参数方程：x 2y2221 的ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参数方程为x a cosy b sin（一象限应是属于0） .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_顶点：a,00,b) 或 0,ab,0 .轴：对称轴
3、： x 轴, y 轴.长轴长2a ,短轴长2b .焦点：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ c,0c,0 或 0,2c0, c.焦距：F 1F 22c, ca 2b 2.准线： xa或 y ca 2.离心率：c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ec 0 ae1 .焦点半径：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i. 设22xyP x 0 , y 0 为椭圆22abex0 , PF 2aex0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1a.b0 上的一点,F 1,F 2 为左、右焦点,PF就1a1a.b0 上的一点,F 1,F 2 为上、下焦点,就PF
4、 1由椭圆方程的其次定义可以推出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y22ii. 设 P x0 ,y 0 为椭圆 xb 2a 2aey0, PF 2aey0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由椭圆方程的其次定义可以推出由椭圆其次定义可知：pF1a2e x0caex0 x00,pF 2a2ex0 cex0a x00 归结起来为 “左加右减 ”.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：椭圆参数方程的推导：得Nacos, bsin方程的轨迹为椭圆.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通径：垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标： d2b 22ac
5、, b 和 c, b22aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_共离心率的椭圆系的方程：椭圆x2y 2a2b 21ab0 的离心率是ec c aa 2b 2 ,方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22xyt t 是大于 0 的参数, ab0 的离心率也是 ec ,我们称此方程为共离心率的椭圆系方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 2程.ax2y 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 P 是椭圆：a 221 上的点 . F 1,F 2 为焦点,如bF 1PF 2,就 PF 1F 2 的面积为b tan（用2可编辑资料 - - -
6、 欢迎下载精品_精品资料_余弦定理与PF 1PF 22a 可得） . 如是双曲线,就面积为bcot.22 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、双曲线方程 .2. 双曲线的第肯定义： bcos , bsin acos , asin N x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PF 1PF 1PF 1PF 2PF 2PF 22aF 1F 2 方程为双曲线2aF 1F 2 无轨迹222aF 1F 2 以F 1, F 2 的一个端点的一条射线N 的轨迹是椭圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 双曲线 标准方程
7、：xa i. 焦点在 x 轴上：y1 a, b b0, y22ax1 a,b b22a 20 . 一般方程：22AxCyxy1 ACx 20 .y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_顶点：a,0, a,0焦点： c,0, c,0准线方程 x渐近线方程：ca0 或 220baba 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ii. 焦点在 y 轴上：顶点：0,a, 0, a .焦点：0, c, 0,c) . 准线方程：y.渐近线方程：c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2yx0 或 yaba 22x0 ,参数方程：b2x a secy b tan或 xb ta
8、n.ya secc2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_轴 x, y 为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为 2b,焦距 2c.离心率e.准线距a（两准c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线的 距离） .通径2b2 a.参数 关系 c2a 2b2 , ec.焦 点半径公式：对于双曲线方 程a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22xy1（F 1,F 2 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 2“长加短减”原就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_MF 1MF 2ex0aex0
9、a构成满意MF 1MF 22a椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yM F 1M F 2ex0 ex0a（与aF 1M号运算,而双曲线不带符号）y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_MF 1MF 2ey0aMF1Mey0axxF2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M F 1M F 2ey0aMF2ey0a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等轴双曲线：双曲线x 2y2a 2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx ,离心率 e2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
10、精品资料_共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22线. xya 2b 2与 xy22a 2b2互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线：x 2y 20 .a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2y2x 2y 2共渐近线的双曲线系方程：0 的渐近线方程为0 假如双曲线的渐近线为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b222xy0 时,它的双曲线方程可设为xyaba 2b 20 .a2b 2y432可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例如：如双曲线一条渐近
11、线为y1 x 且过2p3,1 ,求双曲线的方程？12225 3x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22解：令双曲线的方程为：xy0 ,代入3,1 得 xy1.F 1F2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4直线与双曲线的位置关系：2823可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_区域：无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计2 条.区域：即定点在双曲线上,1 条切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计3 条. 区域： 2 条切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计4 条.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_区域：即定点在渐近线上且非原点,1 条切线, 1
12、条与渐近线平行的直线,合计2 条. 区域：即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4 条.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入两根之和与两根之积同号.“ ”法与渐近线求交和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y 2如 P 在双曲线1 ,就常用结论1 ：P 到焦点的距离为 m = n,就 P 到两准线的距离比为m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n.简证： d 1d 2a2PF 1e PF 2eb 2=m . n
13、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_常用结论 2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.三、抛物线方程 .3. 设 p0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 22 pxy 22 pxx 22 pyx 22 py可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图形 y yyy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxxOxOOO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦点F p ,0 2F p 2,0F 0, p 2F 0,p 2可编辑资料 - - - 欢迎下
14、载精品_精品资料_2222范畴x0, yRx0, yRxR, y0xR, y0准线xpxpypyp对称轴x 轴y 轴顶点（0 ,0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_离心率焦点PFpx21e1ppPFx1PFy1222pPFy12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：ay 2bycx 顶点 4acb 4ab . 2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y 22px p0 就焦点半径 PFx P ; x222 py p0 就焦点半径为 PFy P .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通径为
15、2p,这是过焦点的全部弦中最短的.x22 ptx 2 pt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y 22 px （或 x 22 py ）的参数方程为（或y 2 pty22 pt）（ t 为参数） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、圆锥曲线的统肯定义.4. 圆锥曲线的统肯定义：平面内到定点F 和定直线 l 的距离之比为常数e的点的轨迹 .当 0e1 时,轨迹为椭圆.当 e1 时,轨迹为抛物线. 当 e1 时,轨迹为双曲线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 e0 时,轨迹为圆（ ec ,当 c a0, ab 时） .可编辑资料 - - - 欢迎下载
16、精品_精品资料_5. 圆锥曲线方程具有对称性.例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.由于具有对称性,所以欲证AB=CD, 即证 AD 与 BC的中点重合即可 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质定义椭圆1. 到两定点 F1,F2 的距离之和为定值2a2a|F 1F2 | 的点的轨迹2. 与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.（0e1）双曲线1. 到两定点 F1,F2 的距离之差的肯定值为定值2a02a1）抛物线与定点和直线的距离相等的点的轨迹 .方图形标准方程x 2y 2a2b21 ab 0x2y
17、 22a2b21 a0,b0y =2px程参数方程x a cosy bsinx a secy b tanx y2 pt 22 ptt 为参数 参数 为离心角）范畴中心顶点参数 为离心角）|x| ax a, by b原点 O（ 0, 0）a, yRx 0原点 O（ 0,0）a,0, a,0 ,0, bx 轴, y 轴.0,b ,a,0, a,00,0对称轴x 轴, y 轴;实轴长 2a, 虚轴长 2b.F1c,0, F2c,0x 轴焦点长轴长 2a,短轴长 2bF1c,0, F2 c,0F p ,0 2焦距2c（ c=a 2 0b 2e）2c（ c=ea 2eb 21）离心率eca1cae=1准线x=a 2cx=a 2cxp2渐近线焦半径raexby=xarexarxp2通径焦参数2b 2 a a 2c2b 2 a a 2c2pP1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.2. 等轴双曲线3. 共轭双曲线5. 方程 y2=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载