传质微分方程及扩散传质讲稿.ppt

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1、传质微分方程及扩散传质第一页，讲稿共二十八页哦23.1 传质微分方程传质微分方程3.1.1 传质微分方程推导：传质微分方程推导：A通过微分体积表面通过微分体积表面x处处 表面的量，表面的量， 在在 处处 故在方向上故在方向上A的净流出速度：的净流出速度： A在微分单元内的累积速度：在微分单元内的累积速度： dzdy.xAxAdzdy.dxx dxxAxAdydz.xAxdxxAxdydzndydzn.dxdydzdtA.dydz12xdxx设设 为单位体积单位时间内由于化学反应产生的为单位体积单位时间内由于化学反应产生的A量，则量，则A产生速度产生速度 为：为： 。AdxdydzA.第二页，讲

2、稿共二十八页哦质量守恒原理质量守恒原理 体系内的积累体系内的积累 =通过体系边界的净流入量通过体系边界的净流入量 + 体系内的净生成量体系内的净生成量 根据物理化学基本原理推导出来的所有模型，都是以上式根据物理化学基本原理推导出来的所有模型，都是以上式表示的原理为基础。表示的原理为基础。 上式对质量、动量、能量都适用。上式对质量、动量、能量都适用。3第三页，讲稿共二十八页哦4根据根据质量守恒原理质量守恒原理，有：，有： 两边同时除以两边同时除以 ，则有：，则有： 即即 同样可推导在三维方向上：同样可推导在三维方向上： 简写成简写成 称为传质微分方程。称为传质微分方程。 同理，对于以摩尔通量表示

3、的形式为：同理，对于以摩尔通量表示的形式为：0.dxdydzdxdydzdtdydzndydznAAxAxdxxAxdxdydz0AAxAxdxxAxdtdxndxn0AAAxdtxdn0AAAxdtnx0AAAzAyAxtnznynx0AAAtn0AAAtCN第四页，讲稿共二十八页哦 3.1.2 菲克第二定律菲克第二定律 扩散介质中小体积单元如图所示 截面1进入体积单元的扩散流 截面2流出的扩散流xCDJ1dxxJJJ12dydz12dxxJJJ12xCDJ1xdxx第五页，讲稿共二十八页哦6假设：扩散过程无化学反应，那么扩散进入体积单元的量减去流出体积单元的量等于体积单元内物质的积累量。

4、以 代表体积单元的截面积，则 （31） 因为扩散流随变化，故 （32）将（32）代入（31），得 （33） 根据菲克第一定律 代入（33）得 （34） dzdyA.AdxtCAJJ.)(21dxxJJJ12tCxJxCDJxxCDtC)(第六页，讲稿共二十八页哦7 当当D为常数，即不随扩散距离、浓度变化时，有为常数，即不随扩散距离、浓度变化时，有 （35）即为即为菲克第二定律菲克第二定律。（35）可简写为）可简写为 当组分向三维空间扩散时，则有当组分向三维空间扩散时，则有 （直角坐标系）（直角坐标系） （圆柱坐标系）（圆柱坐标系） （球坐标体系）（球坐标体系）求解三维扩散方程非常复杂，所以一般

5、在制定实验方案时，近似地安排成一求解三维扩散方程非常复杂，所以一般在制定实验方案时，近似地安排成一维扩散，在特定边界条件下解（维扩散，在特定边界条件下解（35）式一元二阶微分方程。）式一元二阶微分方程。22xCDtCCDtC2)(222222zCyCxCDtC)11(2222222zCCrrCrrCDtC.sin1)(sin.sin1)(.1(222222CrCrrCrrrDtC第七页，讲稿共二十八页哦8 菲克第二定律成立的条件 无扩散引起的对流传质； 扩散体系内无化学反应； 为常数。 适用于固体或静止流体中的扩散。稳态扩散 当达到稳态时，故 ， 即0tC022xCD常数xCDxCCDxCDd

6、xdCDJ0第八页，讲稿共二十八页哦9菲克第二定律的应用 菲克第二定律：已知条件：1）初始条件（时间上的已知值）： t=0时， t=0时， t=时， 2）边界条件（某空间上的已知值）： 规定某界面的浓度； 规定某界面的化学反应速度； 将对流传质作为边界条件。)(xfCA)(xfCA22xCDtC0AACC第九页，讲稿共二十八页哦10例1 在1273K时，用 混合气体对低碳钢（ ） 进行渗碳，设钢板内部扩散为过程的控制步骤。钢板表面碳平衡浓度 。求渗碳6小时后钢铁表面下 处的碳浓度 。 已知： 。解：这是固体内部的扩散过程，故适用菲克第二定律，取扩散方向为 轴。 起始条件：扩散开始前，体系内浓度

7、完全均匀，而为C0 (初始浓度)。边界条件：扩散开始后，界面的浓度立即为Cs，并且在扩散过程中保持不变，即 当 ， ， 。将上述已知条件代入，解方程得： 2COCO %1 . 0Cw %27. 1Cwm2103 . 0 Cw1210.103smDCx22xCDtC0t x00CC 0 x t0sCC x t00CC )2(100tDxerfCCCCCs第十页，讲稿共二十八页哦11例1 在1273K时，用 混合气体对低碳钢（ ） 进行渗碳，设钢板内部扩散为过程的控制步骤。钢板表面碳平衡浓度 。求渗碳6小时后钢铁表面下 处的碳浓度 。 已知： 。解：这是固体内部的扩散过程，故适用菲克第二定律，取扩

8、散方向为 轴。 起始条件：扩散开始前，体系内浓度完全均匀，而为C0 (初始浓度)。边界条件：扩散开始后，界面的浓度立即为Cs，并且在扩散过程中保持不变，即 当 ， ， 。将上述已知条件代入，解方程得： 2COCO %1 . 0Cw %27. 1Cwm2103 . 0 Cwx22xCDtC0t x00CC 0 x t0sCC x t00CC )2(100tDxerfCCCCCs10213 10CDm s第十一页，讲稿共二十八页哦12 erf(x)称为高斯误差函数，称为高斯误差函数，1-erf(x)称为补余误差函数。称为补余误差函数。误差函数的性质：误差函数的性质： erf(-x) = -erf(

9、x) erf(0) = 0 erf(1) = 1 1-erf(x) = erfc(x) erfc( )=0, erfc(0)=1 erfc(x)为补余误差函数。为补余误差函数。用用 作纵轴，作纵轴， 为横轴作图为横轴作图 202( )xxerf xedx00sCCCC2xDt第十二页，讲稿共二十八页哦130.000.250.500.751.00 x/ 由， 得知欲求时间t的扩散浓度，须先求出 的值，再由图得 值。 查图得， 。 渗碳6小时，钢铁表面 处的碳浓度 可以由这样的方法求固体中的扩散系数。可以由这样的方法求固体中的扩散系数。 )2(100tDxerfCCCCCstDxC200CCCCs

10、18. 1360061032103 . 02102tDxC45. 000CCCCsm2103 . 0 %63. 01 . 0) 1 . 027. 1 (45. 0Cw第十三页，讲稿共二十八页哦143.2 伴有非均相反应的扩散 整个过程包括 扩散：反应物向界面扩散 化学反应：在界面上发生化学反应， 此时扩散仍遵守菲克第二定律。化学反应提供重要边界条件。 例2 设有一球状的碳粒与氧反应生成一氧化碳 试计算碳的燃烧速度。假定气膜层中的氧和一氧化碳不发生反应。 COOC222rON，2rCON，Rrr第十四页，讲稿共二十八页哦15解：计算碳的燃烧速度，计算氧气消耗速度即可。取球形坐标，在扩散过程中没有

11、化学反应发生，在稳态条件下, 则传质微分方程（取球坐标）：简化成： （3-89） 或 （3-90） 边界条件： ， ， R为碳粒半径； ， ，xO2为空气中的氧分压。有上述两个边界条件，可以求出 。22,21()0Ordr Nr dr22,()0Ordr NdrRr ROOxx22r21. 02Ox)(rx2,222,2,22111()()sinsinOOOrOONCr NNRtrrrr第十五页，讲稿共二十八页哦16 而我们要求的是 ,因为 根据菲克第一定律对于碳和氧化学反应生成一氧化碳，有 （每扩散进来1摩尔氧气，就有2摩尔一氧化碳在相反方向上扩散出去） （3-95） （3-98）在整个扩散

12、进程中WO2保持为常数（这一点从3-89式可以得出，或者，因为是串联过程，扩散过程中通过不同球面的氧气质量是相等的）即： 对（3-98）整理得：2OwRrOONrw,2224)(22222,COOOoairOrONNxdrdxCDNCOOC222rOrCONN,22drdxxCDNOOairOrO22221,drdxxCDrwOOairOO2222.1.422222.142OOairOOdxxCDrdrw2222,2,44OOrOrWr NRr Nr 第十六页，讲稿共二十八页哦17两边分别求积分： 为积分常数。 当时 ， ，故 ; 当时 , ，故 (399) 若知道氧的量即可换算成碳的燃烧速度

13、。1）假定化学反应速度比扩散快得多， 则 , 2） 假定化学反应速度和扩散速度相差不大，则非均相反应中化学反应速度能提供一个重要的边界条件： 即 时, 假设为一级基元反应，mxCDrwOairOO)1ln(4)1(222mr21. 02Ox)21. 01ln(42airOCDmRr ROOxx22)21. 011ln(4222ROairOOxRCDw02ROx)21. 011ln(422RCDwairOORr ROsRrOCkN22.,2,2214ln()10.21OrOOairxwCDr 第十七页，讲稿共二十八页哦18将将 代入代入(399)，得，得 当当 大时，上式中对数可按泰勒级数展开，

14、方程简化为：大时，上式中对数可按泰勒级数展开，方程简化为： (3104)关于泰勒级数关于泰勒级数:CkNxsRORO.22)21. 01.1ln(4,222CkNRCDwsRrOairOO)21. 011ln(14222RkDRCDwsairOairOOsk( )00000( )0001()()()()()!1()()!nnnnnf xfxxxfxxxnfxxxn上式叫做函数f(x) 在点x0处的泰勒级数。( )0001( )()()!nnnf xfxxxn该式叫做函数f(x) 在点x0处的泰勒展开式。第十八页，讲稿共二十八页哦193.3 伴有均相化学反应的扩散 传质微分方程 0AAAtCN0

15、AAAtn第十九页，讲稿共二十八页哦20两种类型化学反应;1 传质相中均相反应2 传质相中的非均相反应。 反应速度作为边界条件（因为控制体积内无化学反应发生） 本节只讨论第一种情况。例 3 过程：气体A被液体B吸收，同时在液体中发生一级基元反应而被消 耗。试求液面上气体A的的摩尔通量。 分析：液面 ， ， 0z0,AACCz0,AC0,AC,ACB0z第二十页，讲稿共二十八页哦210Ax0,zBzANNdzdCDNAABzA,0AAAtCNzAACk,10,12,2zAzACkzCD假设B无限大，扩散达到稳态，A在液体中流动性很小，液体中流动很小，则有：由传质微分方程 又故有：第二十一页，讲稿

16、共二十八页哦22边界条件： ， ， 解出： 双曲正弦函数： 双曲余弦函数： 故，液面上的摩尔通量（现对于静止坐标） 0z0,AACCz0,AC./tanh(/110,0,ABABAzzADkDkCdzdC)cosh()sinh()tanh(xxx 2/ )()sinh(xxeex2/ )()cosh(xxeex0,00,)(zAABzBzAAzAABzzAdzdCDNNxdzdCDN./tanh(/110,0,ABABAABzzADkDkCDN双曲正切函数第二十二页，讲稿共二十八页哦2311(/)/(tanh/)ABABkDkD表示了化学反应的影响，它是一个无因次量，称为哈特数（Hatta n

17、umber）。 当 很大时， ,方程简化为： (3115) 上述传质又称为液膜传质，与传质方程式比较： 液膜传质系数与扩散系数的1/2次方成正比。1k1)./tanh(1ABDk0,10,.AABzzACDkN10()AzcAANk CC第二十三页，讲稿共二十八页哦24B0y0yly )(lACBABA 0AAyRdydN0tCAy例：熔融金属在一窄管中的挥发，金属蒸汽在熔体上方和气相中的组分发生反应。如工业实践中粗硒的提纯。 a 控制A的挥发速度很小XA0； b 用惰性气体稀释XB0 c 窄管中平行流(非涡流)NAy+NBy0 列方程：传质微分方程：A： (1)(稳态)例4 窄管中金属A挥发

18、并与气相中B反应发生在管内 B：0BByRdydN (2) 第二十四页，讲稿共二十八页哦25ABBABAAXXkCR2BABXXkCR2)(,yByAAAAgyANNXdydXCDN，)(,yByABBBgyBNNXdydXCDN，0AX0BX0222BAAAgXXkCdyXdCD0222BABBgXXkCdyXdCD化学反应速度：设为不可逆二级反应 (3) 菲克第一定律： (5)假定A、B浓度很低,设传质为稳态传质，结合设传质为稳态传质，得 （3-120） (4) (6)窄管中流体沿y方向的流动可忽略0ByAyNN（3-121） 第二十五页，讲稿共二十八页哦26（3-120）与（）与（3-1

19、21）表示一对非线性微分方程式，它们的解要求用数值分析方法，但）表示一对非线性微分方程式，它们的解要求用数值分析方法，但A与与B之间的化学反应进行十分迅速时，仍得分析解。之间的化学反应进行十分迅速时，仍得分析解。只要只要A和和B扩散进入反应区即立即反应，在反应区内扩散进入反应区即立即反应，在反应区内 y0BAXXy y0022dyXdAly 022dyXdB1 ,0AAXXy1 ,BBXXly)1 (1 ,1 ,AAgBBgXDXDl01 ,BX1 ,AAgXDl0y,1 ,0,)(AAAgyyAXXCDN.设反应区的位置是在的平面上。边界条件： 求解得： 式中，,所以，有由液体表面（）来的A

20、的摩尔通量：则（3-125）ABNN第二十六页，讲稿共二十八页哦27 将 代入，并考虑 ，则 可以看出 越大， 越大，可用于解释许多金属蒸发速度随熔体上方氧压增加而增大。 这一结论被Turkdogan等人用来解释许多金属的蒸发速度显著的随着金属熔体上方氧的浓度而增加的试验结果，也用于解释粗硒提纯。)1 ()(1 ,1 ,1 ,0,AgABgBAgAyyAXDXDlXCDN0,AX1 ,BX0,)(yyAN2ON2SeONly 蒸汽Sely 0yy反应界面蒸汽）SeXA(1氧气）(1BX1BXBXAXSe熔融第二十七页，讲稿共二十八页哦28 在没有化学反应发生的条件下，由于xB1=0, 则摩尔通量表示式为因此，化学反应的存在使扩散通量增加。,10()AgAAyCDXNL第二十八页，讲稿共二十八页哦