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1、-高中物理运动的合成和分解的两个模型-第 6 页运动的合成与分解的两个模型一、绳杆连体模型例1、如图1所示，两根光滑的杆互相垂直地固定在一起。上面各穿有一个小球，小球a、b间用一细直棒相连。当细直棒与竖直杆夹角为时，求两小球实际速度之比。解析：小球a、b沿棒的分速度分别为和，两者相等。所以甲乙v1v2图2解题思路：对于绳联问题，由于绳的弹力总是沿着绳的方向，所以当绳不可伸长时，绳联物体的速度在绳的方向上的投影相等。求绳联物体的速度关联问题时，首先要明确绳联物体的速度，然后将两物体的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，令两物体沿绳方向的速度相等即可求出。v1甲乙v1v2图3【举一反三】
2、如图2所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，求v1v2分析与解：如图3所示，甲、乙沿绳的速度分别为v1和v2cos，两者应该相等，所以有v1v2=cos1BMCARO图4例2、如图4所示，杆OA长为R，可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A系着一跨过定滑轮B、C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M。滑轮的半径可忽略，B在O的正上方，OB之间的距离为H。某一时刻，当绳的BA段与OB之间的夹角为时，杆的角速度为，求此时物块M的速率Vm.分析与解：杆的端点A点绕O点作圆周运动，其速度VA的方向与杆OA垂直，在所考察时其速度大小为： VA=RMCARO图5
3、VAB对于速度VA作如图5所示的正交分解，即沿绳BA方向和垂直于BA方向进行分解，沿绳BA方向的分量就是物块M的速率VM，因为物块只有沿绳方向的速度，所以VM=VAcos由正弦定理知，由以上各式得VM=Hsin.练习：1.如图6所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过段水平，当以速度v0拉绳子自由端时，A 沿水平面前进，求：当跨过B的两段绳子夹角为时A的运动速度v.2.如图7所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B球水平速度为vB，加速度为aB，杆与竖直夹角为，求此时A球速度和加速度大小.图7图8图9的光滑斜
4、面上的物体m1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m2m2由静止从AB连线为水平位置开始下滑1 m时，m1、m2恰受力平衡如图8所示.试求：（1）m2在下滑过程中的最大速度.（2）m2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离.4.如图9所示，S 为一点光源，M为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO是垂直照射在M上的光线，已知SO=L，若M以角速度绕O点逆时针匀速转动，则转过30角时，光点 S在屏上移动的瞬时速度v为多大？图10PQ提升井中质量为mP端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左
5、侧绳绳长为H.提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经B驶向C.设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为vB.求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功.6.如图11所示，斜劈B的倾角为30，劈尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个质量与斜劈质量相同、半径为r的球A放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动中图11（1）斜劈的最大速度.（2）球触地后弹起的最大高度。（球与地面作用中机械能的损失忽略不计）答案：1.v=2.vA=vBtan;aA=aBtan3.（1）由图可知，随m2的下滑，绳子拉力的竖直分量是逐渐增大的，m2在C点受力恰好平衡，因此m2从B到C
6、是加速过程，以后将做减速运动，所以m2m1、m2组成的系统来说，在整个运动过程中只有重力和绳子拉力做功，但绳子拉力做功代数和为零，所以系统机械能守恒.E增=E减，即m1v12+m22v2+m1g（A-A）sin30=m2gB又由图示位置m1、m2受力平衡，应有：TcosACB=m2g,T=m1gsin30又由速度分解知识知v1=v2cosACB，代入数值可解得v2=2.15 m/s,（2）m2下滑距离最大时m1、m2速度为零，在整个过程中应用机械能守恒定律，得：E增=E减即:m1g（）sin30=m2gH利用（1）中质量关系可求得m2下滑的最大距离H=m=2.31 m4.由几何光学知识可知：当
7、平面镜绕O逆时针转过30时，则：SOS=60，图12OS=L/cos60.选取光点S为连结点，因为光点 S在屏上，该点运动方向不变，故该点实际速度（合速度）就是在光屏上移动速度v；光点S又在反射光线OS上，它参与沿光线OSv1和绕O点转动，线速度v2；因此将这个合速度沿光线OS及垂直于光线 OS的两个方向分解，由速度矢量分解图12可得：v1=vsin60,v2=vcos60又由圆周运动知识可得：当线OS绕O转动角速度为2.则：v2=2L/cos60vcos60=2L/cos60,v=8L.5.以物体为研究对象，开始时其动能Ek1=0.随着车的加速运动，重物上升，同时速度也不断增加.当车子运动到
8、B点时，重物获得一定的上升速度vQ，这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量，如图13，即vQ=vB1=vBcos45=vB图13于是重物的动能增为 Ek2 =mvQ2=mvB2在这个提升过程中，重物受到绳的拉力T、重力mg，物体上升的高度和重力做的功分别为h=H-H=（-1）HWG=-mgh=-mg（-1）H于是由动能定理得 WT+WG=Ek=Ek2-Ek1即WT-mg（-1）H=mvB2-0所以绳子拉力对物体做功WT=mvB2+mg（-1）H6.（1）A加速下落，B加速后退，当A落地时，B速度最大，整大过程中，斜面与球之间弹力对球和斜面做功代数和为零，所以系统机械能守恒.m
9、g（h-r）=mvA2+mvB2 由图中几何知识知：h=cot30r=r 图14A、 B的运动均可分解为沿斜面和垂直斜面的运动，如图14所示。由于两物体在垂直斜面方向不发生相对运动，所以vA2=vB2即vAcos30=vBsin30 解得vA=vB= （2）A球落地后反弹速度vA=vA做竖直上抛运动的最大高度：Hm=二、小船渡河模型求解小船渡河问题时，先要弄清小船的合运动就是实际运动，再按实际效果分解位移和速度，根据平行四边形定则画矢量图，结合分运动与合运动的等时性和独立性列式。小船渡河常见的问题如下。两种情况：船速大于水速；船速小于水速。两种极值：渡河最小位移；渡河最短时间。 例1、一条宽度
10、为L的河，水流速度为，已知船在静水中速度为，那么：（1）怎样才能使渡河时间最短？（2）若，怎样才能使渡河位移最小？（3）若，怎样渡河才能使船行驶的距离最短？解析：（1）研究小船渡河问题时，可以把小船的渡河运动分解为两个运动，一个是小船在静水中的运动，另一个是水流的运动。船的实际运动为两者的合运动，如图2所示。设船头斜向上游与河岸成任意角，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为，渡河所需要的时间为。可以看出：L、一定时，t随sin增大而减小。当=90时，sin=1（最大），即船头与河岸垂直时用时最短。（2）如图3所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度v的方向与河岸垂
11、直，即沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度，所以有，即。因为，所以只有在时，船才有可能垂直河岸渡河。（3）若，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使船行驶的距离最短呢？如图4所示，设船头与河岸成角，合速度与河岸成角。可以看出：角越大，船行驶的距离s越短，那么，在什么条件下角最大呢？以的矢尖为圆心，的速度大小为半径画圆，当与圆相切时，角最大。根据可知此时船沿河行驶的距离最短此时渡河的最短距离【举一反三】：设有一条河，其宽度为700m，河水均匀流动，流速为2m/s，汽船在静水中的行驶速度为4m/s。则汽船的船头应偏向哪个方向行驶才能恰好到达河的正对岸？参考答案：与上游河岸成60角