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1、-高中数学 高考数学离心率题型总结-第 33 页高中数学 高考数学离心率题型总结求解含直角三角形的椭圆离心率二典例剖析：例.若椭圆短轴端点为满足，求椭圆离心率。分析：利用椭圆半焦距、短半轴长的相等关系即，得到 的结论。变 式1.在椭圆上有一点（除短轴端点外），若，求椭圆离心率取值范围。分析：点P在椭圆上 ；点P在以O为圆心，OP为半径的圆上,所以得到cb，进而得到的结论。 变 式2. 满足的所有点P都在椭圆内，求椭圆离心率取值范围。分析：满足的所有点P都在椭圆内以O为圆心，OP为半径的圆都在椭圆内，进而得到的结论。变 式3.过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点且满足，若，求该椭圆离心率。分析：在前面
2、例题1和变式的基础上，将线段拉长和椭圆交于点，此时内含于椭圆的直角三角形发生了一些变化。求解离心率问题不能套用前面的方法了，此时必须抓住椭圆定义式和直角三角形相关性质。解题思路和解题方法都发生了迁移，题目难度有了一定的提升。在解题思维的迁移上，通过分析和探讨，把难度分解，把梯子放下来，让学生通过理性的分析，清晰思维过程，通过细致解答获得正确答案，进而获得成功的喜悦感，激发其学习兴趣。 设则，在中利用勾股定理便可获解。变 式4：过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，满足，若，求该椭圆离心率。分析：设则，,所以,不能利用勾股定理，利用余弦定理便可解出。备选练习题：1、过椭圆左焦点的直线垂直于轴且交椭圆于
3、点，若，求该椭圆的离心率。2、设M为椭圆上一点， ,为椭圆的焦点，如果 ，求椭圆的离心率。求解离心率范围问题的几种思维策略求圆锥曲线离心离的取值范围，是常见的一类问题。解题的关键是如何构造出关于离心率e的不等式。本文通过一例，给出求解这类问题的几种思维策略。题 设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。解法1：利用曲线范围设P（x，y），又知，则将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知解法3：利用三角函数有界性记解法4：利用焦半径由焦半径公式得解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有平方后得解法6：巧用图形的几何特性由，知点P在以
4、为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P故有离心率的五种求法 椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率一、直接求出、，求解已知圆锥曲线的标准方程或、易求时，可利用率心率公式来解2012年5月6日星期日决。例1：已知双曲线（）的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 解：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为、，则其离心率为（ ）A. B. C. D. 解：由、知 ，又椭圆过原点，所以离心率.故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D
5、 解：由题设，则，因此选C变式练习3：点P（-3，1）在椭圆（）的左准线上，过点且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A B C D 解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为，则解得，则，故选A二、构造、的齐次式，解出根据题设条件，借助、之间的关系，构造、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于的一元方程，从而解得离心率。例2：已知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 解：如图，设的中点为，则的横坐标为，由焦半径公式， 即，得，解得（舍去），故选D变式练习1：设双曲线（）
6、的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 解：由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，又, ,两边平方，得，整理得，得或，又 ，故选A变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 解：如图所示，不妨设，则，又，在中， 由余弦定理，得,即， ，故选B三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_。解：四、根据圆锥曲线的统一定义求解例4：设椭圆（）的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点到的
7、距离，则椭圆的离心率是.解：如图所示，是过且垂直于轴的弦，于，为到准线的距离，根据椭圆的第二定义， 变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D 解：五、构建关于的不等式，求的取值范围例5：设，则二次曲线的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 另：由，得，,，,，故选D例6：如图，已知梯形中，点分有向线段所成的比为，双曲线过、三点，且以、为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围。解：以的垂直平分线为轴，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则轴.因为双曲线经过点、，且以、为焦点，由双曲线的对称性知、关于轴对称依题意，记，
8、其中为双曲线的半焦距，是梯形的高由定比分点坐标公式得，设双曲线的方程为，则离心率，由点、在双曲线上，所以，将点的坐标代入双曲线方程得将点的坐标代入双曲线方程得再将、得，将式代入式，整理得，由题设得：，解得，所以双曲线的离心率的取值范围为配套练习1. 设双曲线（）的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 2已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A BCD3已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 4在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为A B C D
9、5在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D 6如图，和分别是双曲线（）的两个焦点，和是以为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 7. 设、分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（ ）A B C D 8设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使，且，则双曲线离心率为（ ）A B C D 9已知双曲线（）的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A B C
10、D 10椭圆（）的焦点为、，两条准线与轴的交点分别为、，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）AB CD答案：可得故选D2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍， ，椭圆的离心率，选D。3.双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A4.不妨设椭圆方程为（ab0），则有，据此求出e5.不妨设双曲线方程为（a0，b0），则有，据此解得e，选C6.解析：如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，连接AF1，AF2F1=30，|AF1|=c，|AF2|=c， ，双曲线的离心率为，选D。7.由已知P（），所以化简得8.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。
11、若双曲线上存在点A，使F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中， 离心率，选B。9.双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率， ，离心率e2=， e2，选C10.椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为，若，则，该椭圆离心率e，选D离心率取值范围求法求离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式。一、利用均值不等式例1 已知点在双曲线的右支上，双曲线两焦点为，最小值是，求双曲线离心率的取值范围。解析
12、：，由均值定理知：当且仅当时取得最小值，又所以，则。二、利用平面几何性质例2 设点P在双曲线的右支上，双曲线两焦点，求双曲线离心率的取值范围。解析：由双曲线第一定义得：，与已知联立解得：，由三角形性质得：解得：。点评：求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质，如“直角三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等式。三、利用数形结合例3 （同例2）解析：由例2可知：，点P在双曲线右支上由图1可知：，即，两式相加得：，解得：。四、利用双曲线性质例4 设点P在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点P到左准线的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。解析：由题设得：。由双
13、曲线第二定义得：，由焦半径公式得：，则，即，解得。点评：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点在双曲线的左支上则；若点在双曲线的右支上则。五、利用已知参数的范围例5 （2000年全国高考题）已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率的取值范围。解析：如图2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，设其中是梯形的高，由定比分点公式得，把C、E两点坐标分别代入双曲线方程得，两式整理得，从而建立函数关系式，由已知得，解得。六、利用直线与双曲线的位置关系例6 已知双曲线与直线：交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心
14、率的取值范围。解析：把双曲线方程和直线方程联立消去得：时，直线与双曲线有两个不同的交点则，即且，所以，即且。七、利用点与双曲线的位置关系例7 已知双曲线上存在P、Q两点关于直线对称，求双曲线离心率的取值范围。解析：设，弦PQ中点为M，由点差法求得，当点M在双曲线内部时，整理得：无解；当点M在双曲线外部时，点M应在两渐近线相交所形成的上下区域内，由线性规划可知：，即，则，所以。八、利用非负数性质例8 已知过双曲线左焦点的直线交双曲线于P、Q两点，且（为原点），求双曲线离心率的取值范围。解析：设，过左焦点的直线方程：，代入双曲线方程得：，由韦达定理得：，由OPOQ得，即：，解得：，因为，所以，则，
15、所以。由椭圆离心率求法探讨最大角的应用例：设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。常见解法有：解法1：利用曲线范围设P（x，y），又知，则将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得解法2：利用基本不等式由椭圆定义，有，平方后得解法3：利用最大角范围由已知可知椭圆的最大角范围为，所以又很显然第三种解法最为简单，但是什么是最大角呢？它又如何使用呢？由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”，如图：即是。当p为椭圆上任意一点时，则当P在位置时，最大。此时 在中，最大角还可以快速解决一些其他问题：1.为上的一点，则为直角的点有_个2.上有4个点
16、使为直角，则的范围是_总结：综合应用椭圆的对称性，上面的两个问题就很好解决，第一题中由于，故满足题意的P点有两个，第二题中由于M点有四个，故最大角应该大于，此时，即再回到开始时的例题若改为：如果椭圆上存在点P，使，则离心率e的取值范围又是多少？此时最大角范围应该，则，又，所以。双曲线离心率的取值范围一、利用双曲线性质例1设点P在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点P到左准线的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。2 设点P在双曲线的右支上，双曲线两焦点，求双曲线离心率的取值范围。3（同例2）2可知：P在双曲线右支上由图1可知：，即，两式相加得：，解得：。4 已知点在双曲线的右支上，双
17、曲线两焦点为，最小值是，求双曲线离心率的取值范围。5（2000年全国高考题）已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率的取值范围。2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，设其中是梯形的高，由定比分点公式得，把C、E两点坐标分别代入双曲线方程得，两式整理得，从而建立函数关系式，由已知得，解得。6已知双曲线与直线：交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。7已知双曲线上存在P、Q两点关于直线对称，求双曲线离心率的取值范围。PQ中点为M，由点差法求得，当点M在双曲线内部时，整理得：无解；当点M在双曲线外部时，点M应在两渐近线相交
18、所形成的上下区域内，由线性规划可知：，即，则，所以。8 已知过双曲线左焦点的直线交双曲线于P、Q两点，且（为原点），求双曲线离心率的取值范围。OPOQ得，即：，解得：，因为，所以，则，所以。二、利用平面几何性质，由三角形性质得：解得：。点评：三、利用数形结合，点四、利用均值不等式例解析：，椭圆离心率的解法椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。一、 运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，P、Q在椭圆上，PDL
19、于D，QFAD于F,设椭圆的离心率为e，则e=e=e=e=e=DBFOBBBAPQ评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，。AO=a,OF=c,有；AO=a,BO= 有。题目1：椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？BAF2F1思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造F1BF2分析三角形的各边长及关系。解：F1F2=2c BF1=c BF2=cc+c=2a e= = -1 变形1：椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 、F2 ，
20、点P在椭圆上，使OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？ OOOOOOOOOOOOOOOOOOOPF1F2 F2F22解：连接PF2 ,则OF2=OF1=OP,F1PF2 =90图形如上图，e=-1 变形2: 椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 、F2 ，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1 X轴，PF2 AB,求椭圆离心率？BAF2F1PO 解：PF1= F2 F1=2c OB=b OA=aPF2 AB = 又 b= a2=5c2 e=点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的 方程式，推导离心率。二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆 +=1
21、(ab 0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，ABF=90，求e?FBAO 解：AO=a OF=c BF=a AB=a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e= e=(舍去)变形：椭圆 +=1(ab 0)，e=, A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求ABF？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90引申：此类e=的椭圆为优美椭圆。性质：1、ABF=902、假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。总结：焦点三角形
22、以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式。题目3：椭圆 +=1(ab 0)，过左焦点F1 且倾斜角为60的直线交椭圆与AB两点，若F1A=2BF1,求e?解：设BF1=m 则AF2=2a-am BF2=2a-m在AF1F2 及BF1F2 中，由余弦定理得：两式相除 =e=题目4：椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，且PF1F2 =5PF2F1 ,求e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。解：由正弦定理： = = 根据和比性质：= 变形得： = =ePF1F2 =
23、75PF2F1 =15 e= =点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=变形1：椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是椭圆上一点，且F1PF2 =60，求e的取值范围？分析：上题公式直接应用。解：设F1F2P=，则F2F1P=120-e= e0) F1F2 为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点（M不与长轴两端点重合）设PF1F2 =,PF2F1 =若tan tan ,求e的取值范围？分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。解;根据上题结论e= =e eb 0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，+与=(3,-1)共线，求e?法一：
24、设A(x1,y1) ,B(x2,y2)(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0 x1+x2= y1+y2=-2c= +=(x1+x2,y1+y2)与（3，-1）共线，则-（x1+x2）=3(y1+y2)既 a2=3b2 e= 法二：设AB的中点N，则2=+ - 得：=- 1=- (-3) 既a2=3b2 e=四、 由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。题目6：椭圆 +=1(ab 0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，满足12 =0的点M总在椭圆内部，则e的取值范围？F2MF1O分析：12 =0以F1F2 为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。解：c2c2 0
25、eb 0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P为右准线L上一点，F1P的垂直平分线恰过F2 点，求e的取值范围？MPF2F1O分析：思路1,如图F1P与 F2M 垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。 思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e解法一：F1 （-c，0） F2 (c,0) P(,y0 ) M(,)既(, ) 则1 =-( +c, y0 ) 2 =-( -c, ) 12 =0 ( +c, y0 ) ( -c, )=0 ( +c)( -c)+ =0a2-3c20 e1解法2：F1F2=PF2=2c PF2-c 则2c-c 3c3c2a2 则e1总结：对比两种方
26、法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。 离心率为高考的一个重点题目，多以选择题或解答题的第一问形式出现，望大家经过此系列题目能对它有一些认识和掌握。近几年高考离心率问题集中练1(07全国) 已知双曲线的离心率为，焦点是，则双曲线方程为（）ABCD解：已知双曲线的离心率为2，焦点是，则c=4，a=2，双曲线方程为，选A.2（07天津）设双曲线的离心率为且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为( )A.B.C.D.解：由可得故选D.3（07
27、江西）设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（）必在圆内必在圆上必在圆外以上三种情形都有可能解： 由=得a=2c，b=，所以，所以点到圆心（0，0）的距离为：所以点P在圆内，选A4(07全国II) 设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使 且，则双曲线的离心率为（ ）ABCD解：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点A，使F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中， 离心率，选B.5（07江苏卷）在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为（ ）A B C D解：由
28、，得，所以，设，则，故选（A）.6.（07福建）已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为_解：设c=1，则.7（07浙江）已知双曲线的左、右焦点分别为，是准线上一点，且，则双曲线的离心率是（） 解：设准线与x轴交于A点. 在中, , 又 ,化简得 , 故选答案B8.（07海南）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为解：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，则： 9(07安徽) 如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） （A）（B）
29、（C）（D）解：如图，连接AF1，AF2F1=30，|AF1|=c，|AF2|=c， ，双曲线的离心率为，选D.10(07湖南) 设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在 使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A B C D解：由已知P，所以的中点Q的坐标为，由 当时，不存在，此时为中点，综上得选D另解：根据题意及中垂线性质知，P点满足其中Q为右准线与x轴的交点， 11.（08福建)又曲线（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为( )A.(1,3) B.C.(3,+) D.解：如图，设，当P在右顶点处 另外
30、也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a与c的关系.12.（08湖南）若双曲线（a0,b0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)解或(舍去),故选B.13.（08江西）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A B C D解：由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则又,所以14.（08全国）设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）ABCD解：，因为是减函数，所以当时 ，
31、所以，即. 考点：解析几何与函数的交汇点15.（08陕西）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）ABCD解：如图在中，16.（08天津）设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（ ）A B C D 解析：抛物线的焦点为，椭圆焦点在轴上，排除A、C，由排除D，选B17.（08浙江）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（ ） A 3 B 5 C D 18.（08重庆)已知双曲线（a0,b0）的一条渐近线为y=kx(k0),离心率e=,则双曲线方程为（ ）（A）=1(B) (C)
32、(D)解：， 所以19.（08江苏）在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= 解析:设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以OAP 是等腰直角三角形，故，解得20.（08全国）在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 解：设，则21、（09全国）设双曲线（a0,b0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C )A B 2 C D 解：设切点，则切线的斜率为.由题意有又解得: . 22、（09浙江理）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为若，则双曲线的离
33、心率是 ( ) 21世纪教育网 A B C D解析：对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，则有，因答案：C 23、（09浙江）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点若，则椭圆的离心率是（ ）21世纪教育网 A B C D D:命题意图：对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用：解析：对于椭圆，因为，则 21世纪教育网 24、(09山东)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). A. B. 5 C. D.解析：:双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以=
34、,所以,故选D.命题立意：:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.25、（09安徽）下列曲线中离心率为的是 A B C D 解析：由得，选B26、（09江西）过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为 A B C D 21世纪教育网 解析：因为，再由有从而可得，故选B27、（09全国）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于A B 2 C D 分析：本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题.解：由题双曲
35、线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即，故选择C28、（09重庆）已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 解法1，因为在中，由正弦定理得则由已知，得，即，且知点P在双曲线的右支上，设点由焦点半径公式，得则解得由双曲线的几何性质知，整理得解得，故椭圆的离心率解法2： 由解析1知由双曲线的定义知 ，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.29、（09江苏）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . 解析：考查椭圆的基本性质，如顶点、焦
36、点坐标，离心率的计算等.以及直线的方程.直线的方程为：；直线的方程为：.二者联立解得：， 则在椭圆上，解得：30.（2010全国卷2）（12）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若，则（ ）（A）1 （B） （C） （D）2答案：B31.（2010辽宁理数）设双曲线的个焦点为F；虚轴的个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 (A) (B) (C) (D) 命题立意:本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想.解析：设双曲线方程为，则F（c,0）,B(0,b)直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y
37、=垂直，所以，即b2=ac所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以或（舍去）.答案：D32.（2010四川理）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（A） （B） （C） （D）解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，即F点到P点与A点的距离相等，而|FA|，|PF|ac,ac于是ac,ac，即acc2b2acc2， 又e(0,1)，故e.答案：D.33.(2011福建文)设圆锥曲线的两个焦点分别为F1、F2，若曲线上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|4：3：2，则曲线的离心率等于 （ ） A. 或 B或2 C或2 D或答案：A34.（2011全国理）设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 （A） （B） （C）2 （D）3答案：B35.（201重庆文）设双曲线的左准线与两条渐近线交于 两点，左焦点在以为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 A B C D，答案：B