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1、-高考数学专题：空间向量与立体几何(含解析)-第 11 页立体几何中的向量方法1.（2012年高考（重庆理）设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和,且长为的棱与长为的棱异面,则的取值范围是（）ABCD解析 以O为原点,分别以OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴, 则,A 2. （2012年高考（陕西理）如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱,则直线与直线夹角的余弦值为（）ABCD解析:不妨设,直线与直线夹角为锐角,所以余弦值为,选A. 3.（2012年高考（天津理）如图,在四棱锥中,丄平面,丄,丄,.()证明丄;()求二面角的正弦值;()设E为棱上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为,求
2、AE的长.【命题意图】本小题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、异面直线所成的角,直线与平面垂直等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 方法一:（1）以为正半轴方向，建立空间直角左边系则（2），设平面的法向量则 取是平面的法向量得：二面角的正弦值为（3）设；则， 即方法二:(1)证明,由平面,可得,又由,故平面,又平面,所以. (2)解:如图,作于点,连接,由,可得平面.因此,从而为二面角的平面角. 在中,由此得,由(1)知,故在中,因此,所以二面角的正弦值为. 4.（2012年高考（新课标理）如图,直三棱柱中,是棱的中点,(1)证明:
3、(2)求二面角的大小.第一问省略第二问：如图建系: A(0,0,0),P(0,0,),M(,0), N(,0, 0),C(,3,0). 设Q(x,y,z),则. 由,得:. 即:. 对于平面AMN:设其法向量为. 则. . 同理对于平面AMN得其法向量为. 记所求二面角AMNQ的平面角大小为, 则. 所求二面角AMNQ的平面角的余弦值为. 5.（2011年安徽）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，OAB，,，都是正三角形。（）证明直线；（II）求棱锥FOBED的体积。本题考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能
4、力，推理论证能力和运算求解能力.（I）（综合法）证明：设G是线段DA与EB延长线的交点. 由于OAB与ODE都是正三角形，所以=，OG=OD=2，又由于G和都在线段DA的延长线上，所以G与重合.=在GED和GFD中，由=和OC，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是GEF的中位线，故BCEF.（向量法）过点F作，交AD于点Q，连QE，由平面ABED平面ADFC，知FQ平面ABED，以Q为坐标原点，为轴正向，为y轴正向，为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系.由条件知则有所以即得BCEF. （II）解：由OB=1，OE=2，而OED是边长为2的正三角形，故 所以过点F作FQAD，交AD于点
5、Q，由平面ABED平面ACFD知，FQ就是四棱锥FOBED的高，且FQ=，所以6.（2011年北京） 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.()求证：平面（）若求与所成角的余弦值；（）当平面与平面垂直时，求的长.证明：（）因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PA平面ABCD.所以PABD.所以BD平面PAC.（）设ACBD=O.因为BAD=60，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）.所以设PB与AC所成角为，则（）由（）知设P（0，t）（t0），则设平面PBC的法向量
6、,则所以令则所以同理，平面PDC的法向量因为平面PCB平面PDC,所以=0，即解得所以PA=7. （2011年福建） 如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD中，ABAD，AB+AD=4，CD=，（I）求证：平面PAB平面PAD；（II）设AB=AP （i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长；（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。分析： 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思
7、想，满分14分。解法一：（I）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又所以平面PAD。又平面PAB，所以平面平面PAD。（II）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz（如图）在平面ABCD内，作CE/AB交AD于点E，则在中，DE=，设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，（i）设平面PCD的法向量为，由，得取，得平面PCD的一个法向量，又，故由直线PB与平面PCD所成的角为，得解得（舍去，因为AD），所以（ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，设G（0，m，0）（其中）则，由得，（2）由（1）、（
8、2）消去t，化简得（3）由于方程（3）没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，C，D的距离都相等。从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等。解法二：（I）同解法一。（II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz（如图）在平面ABCD内，作CE/AB交AD于E，则。在平面ABCD内，作CE/AB交AD于点E，则在中，DE=，设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）由AB+AD=4，得AD=4-t，所以，设平面PCD的法向量为，由，得取，得平面PCD的一个法向量，又，故由直线PB与平面PCD所成的角为，得解得（舍去，因为A
9、D），所以（ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，由GC=CD，得，从而，即设这与GB=GD矛盾。所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点B，C，D的距离都相等，从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等。8.（2011年广东） 如图5在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且DAB=60，,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点（1） 证明：AD 平面DEF;（2） 求二面角P-AD-B的余弦值法一：（1）证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD。因PA=PD，有，在中，有为等边三角形，因此，所以平面PBG又PB/EF，得，而DE/GB得AD DE，又，所以AD 平面DEF。 （2），为二面角PADB的平面角，在在法二：（1）取AD中点为G，因为又为等边三角形，因此，从而平面PBG。延长BG到O且使得PO OB，又平面PBG，PO AD，所以PO 平面ABCD。以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为轴，z轴，平行于AD的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系。设由于 得平面DEF。 （2）取平面ABD的法向量设平面PAD的法向量由取