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1、-线性代数 课后作业及参考答案-第 10 页线性代数作业及参考答案一 单项选择题1.设行列式=m，=n，则行列式等于（ ） A. m+nB. -(m+n) C. n-mD. m-n2.设矩阵A=，则A-1等于（ ） A. B. C. D. 3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ） A. 6B. 6 C. 2D. 24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ） A. A =0B. BC时A=0 C. A0时B=CD. |A|0时B=C5.已知34矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ） A. 1B. 2 C. 3D. 46.设两个向量组1，2，
2、s和1，2，s均线性相关，则（ ） A.有不全为0的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=0 B.有不全为0的数1，2，s使1（1+1）+2（2+2）+s（s+s）=0 C.有不全为0的数1，2，s使1（1-1）+2（2-2）+s（s-s）=0 D.有不全为0的数1，2，s和不全为0的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.设矩阵A的秩为r，则A中（ ） A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，1，2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A.1+2是
3、Ax=0的一个解B.1+2是Ax=b的一个解 C.1-2是Ax=0的一个解D.21-2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） A.秩(A)nB.秩(A)=n-1 C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ） A.如存在数和向量使A=，则是A的属于特征值的特征向量 B.如存在数和非零向量，使(E-A)=0，则是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如1，2，3是A的3个互不相同的特征值，1，2，3依次是A的属于1，2，3的特征向量，则1，2，3有可能线性相关11.设0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于0的线
4、性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ） A. k3B. k312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A.|A|2必为1B.|A|必为1 C.A-1=ATD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（ ） A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同15.设有矩阵，则下列运算有意义的是（）。（）；（）（）；（）（）；（）。16.若方阵与方阵等价，则（）。（）秩（）秩（）；（）det（）det（）；（）det（）det（）；（）存在可逆矩阵，使。17.若阶方阵的行列式等于零，则（）。（）中至少有一行是其
5、余行的线性组合；（）中每一行都是其余行的线性组合；（）中必有一行是零行；（）的列向量组线性无关；18.若维向量组，线性无关，则（）。（）组中增加一个向量后也线性无关；（）组中去掉一个向量后也线性无关；（）组中只有一个向量不能由其余向量线性表出；（）。19.若方程组存在基础解系，则等于（）。（）；（）；（）；（）。20.若矩阵的秩，则方程组的基础解系所含向量个数等于（）。（）；（）；（）；（）。21.设为矩阵，则非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是（）。（）方程组只有零解；（）的列向量组线性无关，而的列向量组线性相关；（）向量可由的列向量组线性表出；（）。22.（）det中项的系数是（）。（）；
6、（）；（）；（）。二、 填空题1. .2.设A=，B=.则A+2B= .3.设A=(aij)33，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .4.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= .5.设A是34矩阵，其秩为3，若1，2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 .6.设A是mn矩阵，A的秩为r(n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .7.设向量、的长
7、度依次为2和3，则向量+与-的内积（+，-）= .8.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 .9.设矩阵A=，已知=是它的一个特征向量，则所对应的特征值为 .10.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 .11.若向量组（，），（，），（，）线性相关，则。12.设、均为阶方阵，det（），det（），则det（）。13.设，则。14.设，为的伴随矩阵，则det（）。15.设，则。16.元齐次线性方程组存在非零解的充要条件是。17.矩阵的秩等于。三计算题1.设A=，B=.求（1）ABT；（2）|4A|.2.试计算行
8、列式.3.设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.4.给定向量组1=，2=，3=，4=.试判断4是否为1，2，3的线性组合；若是，则求出组合系数。5.设矩阵A=.求：（1）秩（A）；（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。6.设矩阵A=的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.7.试用配方法化下列二次型为标准形 f(x1,x2,x3)=，并写出所用的满秩线性变换。8.已知矩阵满足：，求矩阵。9.计算10.若向量组（，），（，），（，）的秩为，求的值。11.求下列向量组的一个最大无关组，并用最大无关组线性表出组中其余向量：（，），（，），（，），（，）。
9、12.求下列方程组的通解：四、证明题1.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.2.设0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，1，2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）1=0+1，2=0+2均是Ax=b的解； （2）0，1，2线性无关。3.设，是齐次线性方程组的基础解系。证明：，也是的基础解系。线性代数作业参考答案一、单项选择题1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D 15.C16.A 17.A 18.B 19.D 20.C 21.B 22.A二填空题1. 62. 3. 44. 105. 1+c(2-1)（
10、或2+c(2-1)），c为任意常数6. n-r7. 58. 29. 110. 11. 12. 、均为阶方阵，13. 14. 15. 16. 秩（）17. 2三 计算题1.解（1）ABT=（2）|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=.所以|4A|=64（-2）=-1282.解 3.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而（A-2E）-1=所以 B=(A-2E)-1A=4.解一 所以4=21+2+3，组合系数为（2，1，1）.解二 考虑4=x11+x22+x33，即 方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.5.解 对矩阵A施行初等行变换A=B.（1）秩（B）=3，所以秩（
11、A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）6.解 A的属于特征值=1的2个线性无关的特征向量为1=（2，-1，0）T， 2=（2，0，1）T.经正交标准化，得1=，2=.=-8的一个特征向量为3=，经单位化得3=所求正交矩阵为 T=.对角矩阵 D=（也可取T=.）7.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3
12、）2-5x32.设， 即，因其系数矩阵C=可逆，故此线性变换满秩。经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形 y12-2y22-5y32 .8.解：。9.解：10.向量组，的秩为。11.解：用，为列向量作矩阵，（，）（ 2 3 4）中非零行的首非零元位于第，列，所以，是向量组，的一个最大无关组。在中，有32，所以，在中有。12.解：非齐次通解为（，任意），令，得非齐次特解：（，）。导出组的通解为（，任意），一个基础解系为：（，），（，），非齐次结构解为：，其中，为任意数。四、证明题1.证 由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1= E+A+A2 .2.证 由假设A0=b，A1=0，A2=0.（1）A1=A（0+1）=A0+A1=b，同理A2= b，所以1，2是Ax=b的2个解。（2）考虑l00+l11+l22=0，即 （l0+l1+l2）0+l11+l22=0.则l0+l1+l2=0，否则0将是Ax=0的解，矛盾。所以l11+l22=0. 又由假设，1，2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而 l0=0 .所以0，1，2线性无关。3证明：因为，是齐次线性方程组的基础解系，所以它们的线性组合，都是的解向量。令即（）（）（）即（）（）（）因为，线性无关，所以，解得，线性无关，构成的一个基础解系。