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1、-高中数学选修2-1第3章空间向量与立体几何单元测试题-第 8 页选修2-1第三章空间向量与立体几何单元测试题一、选择题（每个小题5分）1设a,b,c表示三条直线，表示两个平面，下列命题中不正确的是（ ）A BC D2如图，为正方体的中心，在该正方体各个面上的射影可能是（ ）A（1）、（2）、（3）、（4） B（1）、（3） C（1）、（4） D（2）、（4）3给出下列命题：（1）三点确定一个平面；（2）在空间中，过直线外一点只能作一条直线与该直线平行；（3）若平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则；（4）若直线满足则其中正确命题的个数是（ ）A个 B个 C个 D个4已知长方体的表面积是，过
2、同一顶点的三条棱长之和是，则它的对角线长是（ ）A B C D 5如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是（ ）ABCD6如图：在平行六面体中，为与的交点。若，则下列向量中与相等的向量是（ ）7. 已知A、B、C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，则下列条件中，能得到M平面ABC的充分条件是（ ）（A）； （B）；（C）； （D）8.直三棱住A1B1C1ABC，BCA=，点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ） （A ） （B） （C） （D）9用一个平面去截正方体，所得截面不可能
3、是（ ）A平面六边形 B菱形 C梯形 D直角三角形10在底面为正方形的长方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；每个面都是等腰三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体这些几何形体是（ ）A B C D二、填空题（每个小题5分）11.设向量与的夹角为，则12. 设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E(如图)现将ADE沿 DE折起，使二面角ADEB为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_ 13下列有关平面向量分解定理的四个命题中，所有正
4、确命题的序号是 （填写命题所对应的序号即可）一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基； 平面向量的基向量可能互相垂直；一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合14.已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为,则侧面与底面所成的二面角等于 .15.平面内有两定点A，B，且|AB|=4，动点P满足，则点P的轨迹是 .三、简答题16（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为，为侧棱上一点（）当为侧棱的中点时，求证：平面；（）求证：平面平面；
5、17（本小题满分12分）如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2。（I）求证：C1D/平面ABB1A1；（II）求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值；（）求二面角DA1C1A的余弦值。18. （本小题满分12分）如图（1）是一正方体的表面展开图，MN 和PB 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN 和PB 画出来，并就这个正方体解决下面问题。 （1）求证：MN/平面PBD； （2）求证：AQ平面PBD； （3）求二面角PDBM 的大小19（本小题满分12分）如图1所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知
6、AB=5，AD=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=。（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积图1 图220（本小题满分13分）如图，平面平面，为正方形，且 分别是线段的中点（）求证：平面；（）求和平面所成的角；（）求异面直线与所成的角21. （本题满分14分）如图，在长方体中，且（I）求证：对任意，总有；（II）若，求二面角的余弦值；（III）是否存在，使得在平面上的射影 平分？若存在, 求出的值, 若不存在，说明理由选修2-1第三章空间向量与立体几何单元测试题命题：武大附中 沈阳1、D 2、C 3、B 4、D 5、B 6、A 7
7、、B 8、A 9、D 10、D11、 12. 13、 14. 30 15. 以AB为直径的圆16证明：（）连接，由条件可得因为平面，平面，所以平面（）证明：由（）知，建立如图所示的空间直角坐标系设四棱锥的底面边长为2，则，所以，设（），由已知可求得所以，设平面法向量为，则 即令，得易知是平面的法向量因为，所以，所以平面平面17（I）证明：四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1/CC1，又面ABB1A1，所以CC1/平面ABB1A1，2分ABCD是正方形，所以CD/AB，又CD面ABB1A1，AB面ABB1A1，所以CD/平面ABB1A1，3分所以平面CDD1C1/平面ABB1A1，所以C1D
8、/平面ABB1A14分 （II）解：ABCD是正方形，ADCD因为A1D平面ABCD，所以A1DAD，A1DCD，如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，5分在中，由已知可得所以， 6分因为A1D平面ABCD，所以A1D平面A1B1C1D1A1DB1D1。又B1D1A1C1，所以B1D1平面A1C1D，7分所以平面A1C1D的一个法向量为n=（1，1，0）8分设与n所成的角为，则所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为9分 （III）解：平面A1C1A的法向量为 则 所以 令可得 11分则所以二面角的余弦值为12分18.解：M、N、Q、B的位置如右图示。（正确标出给1分）（1）ND/
9、MB且ND=MB四边形NDBM为平行四边形MN/DB3分BD平面PBD，MNMN/平面PBD4分 （2）QC平面ABCD，BD平面ABCD，BDQC5分又BDAC，BD平面AQC6分AQ面AQCAQBD，同理可得AQPB，BDPD=BAQ面PDB8分（3）：设正方体的棱长为a，以D为坐标原点建立空间直角坐标系如图：则点A（a,0，0），P（a,0,a），Q（0,a,a）9分10分PQ面DBM，由（2）知AQ面PDB分别为平面PDB、平面DBM的法向量12分13分19：（1）如图2，连结A1O，则A1O底面ABCD。作OMAB交AB于M，作ONAD交AD于N，连结A1M，A1N。由三垂线定得得A
10、1MAB，A1NAD。A1AM=A1AN，RtA1NARtA1MA,A1M=A1N，从而OM=ON。点O在BAD的平分线上。（2）AM=AA1cos=3=AO=。又在RtAOA1中，A1O2=AA12 AO2=9=，A1O=，平行六面体的体积为。20. 解（）证明：由已知，所以为平面与平面所成二面角的平面角，1分由已知:平面平面，得1分又,且相交平面2分（）连接，则即为，2分在中，可求得3分（）建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设,则， ，2分2分故异面直线EG与BD所成的角为 1分21. I）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，从而，即（分）（II）由（）及得，设平面的法向量为，则，从而可取平面的法向量为，又取平面的法向量为，且设二面角为，所以（分）（III） 假设存在实数满足条件，由题结合图形，只需满足分别与所成的角相等，即 ，即，解得 所以存在满足题意得实数，使得在平面上的射影平分 （14分）