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1、-高中数学必修四-知识点梳理-第 - 15 - 页数学必修四-知识点梳理三角函数、三角恒等变换一、角的概念的推广任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形。正角、负角、零角 按逆时针方向旋转成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转所成的角叫做负角， 一条射线没有作任何旋转所成的叫做零角。 可见，正确理解正角、负角和零角的概、关键是看射线旋转的方向是逆时针、顺时针还是没有转动。象限角、轴线角 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，那么角的终边在第几象限（终边的端点除外），就说这个角是第几象限角。 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半
2、轴重合时，终边落在坐标轴上的角叫做轴线角。终边相同角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成集合S=|=+k360,kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。二、弧度制角度定义制 规定周角的为一度的角，记做1， 这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，角度制为60进制。弧度制定义 1、长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做1弧度的角。用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。1弧度记做1rad。 2、根据圆心角定理，对于任意一个圆心角，它所对的弧长与半径的比与半径的大小无关，而是一个仅与角有关的常数，故可以取为度量标准。弧度数 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数
3、是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角所对的弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是。 的正负由角的终边的旋转方向决定，逆时针方向为正，顺时针方向为负。三、任意角的三角函数任意角的三角函数的定义 设是一个任意大小的角，的终边上任意点P的坐标是（x,y），它与原点的距离r（），那么 1、比值叫做的正弦，记做，即。 2、比值叫做的余弦，记做，即。 3、比值叫做的正切，记做，即。 另外，我们把比值叫做的余切，记做，即；把比值叫做的正割，记做，即；把比值叫做的余割，记做，即。 对于一个确定的角，上述的比值是唯一确定的，它们都可以看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射，是以角为自变量，以
4、比值为函数值的函数，我们把它们统称为三角函数。诱导公式一 终边相同角的同一个三角函数的值相等。 ，以上kZ。 利用此公式，可以把球求任意角的三角函数值化为求0到2角的三角函数值。xyoPM正弦线、余弦线、正切线 1、如图所示，设任意角的终边与单位圆交于点P（x,y），那么 过点P（x,y）作PMx轴于M，我们把线段MP，OM都看做规定 了方向的有向线段：当MP的方向与y轴的正方向一致时，MP是正的；当MP的方向与y轴的负方向一致时，MP是负的。因此，有向线段MP的符号与点P纵坐标的符号总是一致的，且|MP|=|y|，即总有MP=y。同理也有OM=x成立。从而，。我们把单位圆中规定了方向的线段M
5、P，OM分别叫做角的正弦线、余弦线。xyPMTAO 2、如图所示，过A（1,0）作x轴的垂线，交的终边OP的延长线（当为第一、四象限角时）或这条终边的反向延长线（当为第二、三象限角时）于点T，借助于有向线段OA，AT，我们有。于是，我们把规定了方向的线段AT叫做的正切线。 特别地，当的终边在x轴上时，点A与点T重合，；当的终边落在y轴上时，OP与垂线平行，正切线不存在。四、同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 根据三角函数的定义，可以推导出同角三角函数间的基本关系。 由三角函数定义有，。 ，即。 当时，即同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切（其中）。关于公式的深化如：；五
6、、正弦、余弦的诱导公式0360之间角的划分 对于任何一个0到360的角，以下四种情形有且仅有一种成立：诱导公式二 ，。诱导公式三诱导公式四 以上几个诱导公式可以叙述为 ：对于，则，的三角函数，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原三角函数值的符号。 也可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”。诱导公式五诱导公式六 可以概括为：的正弦（余弦）函数值，分别等于的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。 也可以简单地说成“函数名改变，符号看象限”。六、两角和与差的正弦、余弦、正切两角和的正弦、余弦、正切两角差的正弦、余弦、正切 此处公式较多，可熟记两角和的三个公式，两角的差
7、可以看做，进行推导。积化和差公式和差化积公式七、二倍角的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切公式的逆向变换及相关变形半角公式八、正弦函数、余弦函数的图像和性质正弦函数、余弦函数图像的画法 1、几何法 利用单位圆中的正弦线作出正弦函数图像。 2、五点法 观察正弦函数的图像，可以看出，下面五个点在确定正弦函数的形状时有重要作用： （0,0），（），（），（），（）。 这五点描出后，正弦函数y=sinx，x0,2图像形状就基本确定了。 同样，（0，1），（），（），（），（）这五个点描出后，余弦函数y=cosx，x0,2的图像形状就基本确定了。 用光滑曲线将五个点连接起来，再将这段曲线向左、向右
8、平移，每次平移2个单位，就得到了y=sinx，y=cosx，xR的图像。 3、正弦曲线、余弦曲线 我们把正弦函数y=sinx，xR和余弦函数y=cosx，xR的图像分别叫做正弦曲线和余弦曲线。定义域、值域函数定义域值域y=sinx（-，+）-1，1y=cosx（-，+）-1，1周期性 1、一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)。那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 2、对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正整数，那么这个最小的正整数就叫做f(x)的最小正周期。、 3、因为，对
9、于任意整数k，2k都是正弦函数和余弦函数的周期，其中2是它们的最小正周期。 4、周期函数不见得总有最小正周期，如f(x)=c(xR),其中c为常数，其周期T可以是任意实数。周期函数的周期不唯一，若T是f(x)的周期，则kT(kZ)也在定义域内，因此周期函数的定义域一定是无限集。奇偶性 1、奇函数、偶函数的定义 对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为这一定义域内的奇函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，则称f(x)为这一定义域内的偶函数。 2、由诱导公式可知，故y=sinx（xR）是奇函数，y=cosx（xR）是偶函数。 3、奇函数的图像关
10、于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。单调性 1、对于函数是它的增区间，是它的减区间。 2、对于函数是它的增区间，是它的减区间。九、函数的图像A对y=Asinx的图像的影响 要得到函数y=Asinx（A0，A1）的图像，可以看做把y=sinx的图像上所有点的纵坐标伸长（当A1时）或缩短（当0A0，A1，xR）的值域是-A，A，最大值为A，最小值是-A。 特别地，推广到一般的情形，函数y=Af(x)（A0，A1）的图像，也可以看做y=f(x)的图像上各点保持横坐标不变，而纵坐标变为原来的A倍得到的。容易发现，A不会改变函数的周期，即y=f(x)若为周期函数且周期是T，则y=Af(x)（A0，A1
11、）的周期也是T。对y=sinx的图像的影响 函数y=sin（0，1）的图像，可以看做把y=sinx的图像上所有的横坐标缩短（当1时）或伸长（当00，1，xR）的值域是-1，1，但其周期由y=sin的周期2改变为，即y=sin（0，1）得周期是2的倍。 推广到一般的情形，将函数y=f(x)的图像上各点纵坐标保持不变，而横坐标伸长（当01时）为原来的倍，即可得到函数y=f(x)（0，1）的图像；若y=f(x)是周期函数且周期为T，则y=f(x)的周期为。对y=sin(x+)的图像的影响 函数y=sin(x+)的图像（其中0），可以看做把y=sinx的图像上所有的点向左（当0）或向右（当0时）或向右
12、（当0时）或向右（当1）或伸长（01）或缩短（0A0，0），x0,+时，它可以表示一个振动，则A表示振动过程中离开平衡位置的最大距离，又叫振幅；往复振动一次所需的时间叫做振动的周期（T），T=；单位时间内振动的次数为频率f， ；叫做相位，x=0时，相位叫做初相。十、正切函数的图像和性质正切函数的图像 1、根据，其中xR，且，推出正切函数的周期为。 2、根据，要使tanx有意义，必须使cosx0，即，故正切函数的定义域为。 3、根据正切函数的第定义域和周期，我们取的图像，而后向左、右扩展，得的图像，而后向左、右扩展，得且的图像，如图，并把他叫做正切曲线。正切函数的性质 1、定义域：。 2、值域：
13、R，函数无最大值、最小值。 3、周期： 4、奇偶性：奇函数 5、单调性：在每一开区间内均为增函数。必须注意两个问题： 正切函数是单调增函数，但不能说函数在其定义域内是单调增函数； 函数，其定义域由不等式得到，其周期为。 正切函数在开区间内都是增函数，但并不在整个定义域上为增函数，利用正切函数单调性比较两个角正切值的大小时，要利用诱导公式把角化到同一单调区间再比较，或直接利用正切式。 正切函数的图像既可以类似地由正切线的几何方法作出，又可以类似于“五点法”用“三点两线法”作简图，这里三个点为，直线，直线，其中。作出三个点和这两条渐近线，便可得到在一个周期上的简图。 正、余弦函数与正切函数同是中心
14、对称图形（注意正、余弦函数同时也是轴对称图形）。函数的对称中心的坐标是。十一、已知三角函数值求角反正弦函数的概念 1、定义： 在上，若，则x叫做a的反正弦，记做arcsina。 2、理解： “arcsina”是一个整体，它表示一个角（弧度制）； “arcsina”表示角的范围是； 这个角的正弦值为a； 当|a|1时，arcsina无意义。反余弦函数的概念 1、定义 在上，若，则x叫做a的反余弦，记做arccosa。 2、理解： “arccosa”是一个整体，它表示一个角（弧度制）； 这个角的范围是； 这个角的余弦值为a； 当|a|1时无意义。反正切函数的概念 1、定义： 在内，若，则x叫做a的
15、反正切，记做arctana。 2、理解： “arctana”是一个整体，它表示一个角（弧度制）； 这个角的范围是； 这个角的正切值是a。平面向量一、平面向量的基本概念向量的定义 既有大小，又有方向的量叫做向量。 向量有两个要素：即大小和方向。要注意将向量与仅有大小的数量进行区分。用有向线段表示向量 1、有向线段：将线段AB的端点规定一个顺序，以A为起点（也称始点），以B为终点，则线段AB就具有了方向，即由A只想，我们把具有方向的线段叫做有向线段，记做有向线段。2、规定线段AB的长度是有向线段的长度，记做。 3、有向线段的三个要素：起点、方向、长度。 4、用有向线段表示向量要注意两点： 有向线段
16、的方向就是向量的方向； 有向线段的长度就是向量的大小。几个重要定义 1、零向量：长度为零的向量叫做零向量。记做0，零向量的方向是任意的，它对应的几何图形是一个点。 2、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。 3、相等向量：长度相等且方向相同的非零向量叫做相等向量，记做a=b；规定所有的零向量都相等。 4、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量，任一向量a都与它自身是平行向量；规定零向量与任一向量是平行向量。二、向量的加法与减法向量的加法 1、定义：设=a，=b，则向量叫做a与b的和，记做a+b，即a+b=+=。 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 特别地，对
17、于零向量与任一向量a，都有0+a=a+0=a。 2、向量加法的三角形法则 根据向量加法的定义求向量和的方法，叫向量加法的三角形法则。使用三角形法则特别要注意“首尾相接”，具体步骤是把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示（其中后面向量的起点与前一个向量的终点重合，即用一个字母来表示），则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和。 3、向量加法的平行四边形法则 向量加法还可以用平行四边形法则，先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹得对角线就是这两个已知向量的和。向量的减法 1、相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫
18、做a的相反向量。记作-a，规定：零向量的相反向量仍是零向量。 性质-（-a）=a；a+（-a）=（-a）+a=0 2、两个向量的差 向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a-b=a+(-b)。 3、向量的减法Oaba-b 求两个向量差的运算，叫做向量的减法。 法则：如图所示，已知a,b，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a-b。即a-b表示从减向量b的终点指向被减向量a的终点的向量。用三角形法则求两个向量的差的步骤是：1、将两向量平移，使它们的起点重合；2、将平移后的两向量的终点相连；3、差向量是指向被减向量。也就是：作平移，共起点，两尾连，指被减。三、实数与向量的积实数与向量的积得定
19、义 一般地，实数与向量a的积是一个向量，记为a，它的长度与方向规定如下： 1、|a|=|a|； 2、当0时，a的方向与a的方向相同，当1时，有|a|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上伸长了|倍；当0|1时，有|a|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向（01）或反方向（-10时，b=a可由a同向伸缩得到，因此，b与a共线。 当0时，b=a可由a反向伸缩得到，所以，b与a也是共线的。值得注意的是：这个定理的内容里面，不包含0与0共线的情况，因为a0；强调a0是必要的，否则定理就失去必要性。如b0，a=0时，b与a共线是成立的，但此时b=a是不成立的。平面向量的基
20、本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a=1e1+2e2。 其中，e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 这个定理实质是：只要向量e1不平行于e2，平面内的任一向量a都可以用e1与e2表示出来，而且表示形式a=1e1+2e2是唯一的。 例如，0=0e1+0e2，2e1=2e1+0e2， 对于a=1e1+2e2，有时我们也说1e1+2e2是e1与e2的线性组合，或者说a可以被e1，e2表示。四、平面向量的坐标运算平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底。由平面向量的
21、基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a=xi+yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，因此把(x，y)叫做向量a的坐标，记作a=(x，y)，其中x，y分别叫作a在x轴、y叫做在y轴上的坐标。注：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。两个向量相等的充要条件 设向量a=xi+yj，b=xi+yj，则： a=xi+yj=（x，y）， b=xi+yj=（x，y）。 于是我们得到。即平面向量的坐标运算若，则。若，则若a=(x,y)，则a=(x, y)若，则若，则，若，则向量平行的坐标表示 设，则b
22、a（a0）x1y2-x2y1=0。 由向量平行的充要条件易知共线的充要条件为（x2-x1）（y3-y1）-（x3-x1）（y2-y1）=0，而不是。 凡遇到与平行有关的问题时，一般要考虑运用向量平行的充要条件： bab=a（a0，R）。 ba（a0）x1y2-x2y1=0，其中。 由两点间距离公式可知： 若a=（x，y），则|a|=，与a共线的单位向量为五、线段的定比分点线段的定比分点 定义：设P1，P2是直线l上的两点，点P是l上不同于P1，P2的任意一点，则存在一个实数，使，叫做点P分有向线段所成的比。当点P在线段上时，；当点P在线段或的延长线上时，0 在这个定义中，要注意三个问题： 第一
23、，不可写成的形式，因为对向量从来没有定义过除法。 第二，中的P1，P，P2是有顺序的，顺序从左至右排列是P1PP2，即始点分点终点。 第三，中的P1，P，P2三个点互不重合，因此，从而应满足0且-1。定比分点的坐标公式 上式称为有向线段的定比分点坐标公式（使用公式时），要注意始点、终点的顺序性）。中点坐标公式 当=1时，分点P为线段的中点，即有， 上式称为中点坐标公式。五、平面向量的数量积及运算律向量a与b的数量积 1、非零向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把叫做a与b的数量积（或内积、点积），记为，即。 2、零向量与任一向量的数量积 规定：零向量与任一向量的数量积为0.
24、 由以上定义可知，两个向量的数量积是一个实数。数量积的几何意义 1、b在a的方向上的投影，如图，设两个非零向量a与b的夹角为。 B O（B1）aB对于的情况，过B作BB1直线OA于B1，则。 我们把叫做向量b在a的方向上的投影。 对于与的夹角是0或180的情况，规定b在a的方向上的投影时OB，如图： O b B A b aB O A 2、的几何意义 由可知，非零向量a与b的数量积的几何意义是数量积等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积。平面向量数量积运算律 已知向量a，b，c和实数，则 1、（交换律）。 2、。 3、。值得注意的是平面向量的数量积不满足结合律，这是因为与的结
25、果是数据，因此，与都是没有意义的。向量数量积的性质 设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则： 1、。 2、。 3、当a与b同向时，；当a与b反向时，。 特别地，或。 今后，可以简记为。 4、。 5、。六、平面向量数量积得坐标表示平面向量数量积得坐标表示 设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，即i=（1，0），j=（0，1）。且a，b为两个非零向量，a=（x1，y1），b=（x2，y2）。则，。 故 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。向量的长度和两点间距离公式 1、向量的长度（模） 若a=（x，y），则。 2、两点间的距离公式 设A（xA，yA）
26、，B（xB，yB）， 则。两向量垂直的充要条件 若a=（x1，y1），b=（x2，y2）， 则。两向量夹角公式的坐标表示 若a=（x1，y1），b=（x2，y2），设a与b夹角是。 由=a（x1，y1）（x2，y2）=x1x2+y1y2 且，八、平移平移 设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照同一方向移动同样的长度，得到图形F，这一过程叫做图形的平移。 将一个图形平移，图形的形状、大小不变，只是在坐标平面内的位置发生了变化。因此，平移前后，图形中那些与位置无关的量，图形上任意两点间的距离等不发生变化，而图形上各点的坐标、图形的解析式等会发生变化。 平移具有可逆性。平移公式 设P（x，y）是图形上任一点，它在F上的对应点为（，y），向量，则有， 即（x，y）=（x，y）+（h，k）， 这个公式叫做点的平移公式。 使用时要注意平移前后坐标的顺序区别。