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1、-湖南省长沙市第一中学2020届高三第一次月考数学(理)试题-第 19 页绝密启用前湖南省长沙市第一中学2020届高三第一次月考数学（理)试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1已知集合A，则AB的元素个数是( )A4B3C2D1【答案】B【解析】【分析】首先求解方程组，得到两曲线的交点坐标，进而可得答案【详解】联立，解得即和的图象有3个交点，集合有3个元素，故选B.【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了方
2、程组的解法，是基础题2已知为虚数单位，aR，若复数za+(1-a) 的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限，且，则()A2-iB-1+2iC-1-2iD-2+3i【答案】A【解析】【分析】通过复数的运算得到方程，根据其在复平面的位置得到结果.【详解】由可得，解得或，或，在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的运算以及其几何意义，属于基础题.3设xR，则“x21”是“lgx0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解出不等式，结合充分条件、必要条件的概念即可得到结果.【详解】不能推出，“”是“”的必要不充分条
3、件，故选B.【点睛】本题主要考查了不等式的解法，充分条件、必要条件的概念，属于基础题.4已知向量(1，0)，(-3，4)的夹角为，则sin2等于 ()ABCD【答案】C【解析】【分析】首先根据向量夹角公式求出的值，然后求出，最后根据二倍角正弦公式即可得出结果.【详解】，故选C.【点睛】本题主要考查了向量夹角的计算以及二倍角正弦公式的应用，属于中档题.5设a，b，c，则a、b、c的大小关系是 ()AabcBacbCbcaDcba【答案】D【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性可得，将分别表示为，进而可得结果.【详解】所以最小，因为，故选D【点睛】本题主要考查了指数函数，对数函数的单调性的
4、应用，寻找中间量是解题的关键，属于中档题.6函数f(x)的图象大致为()ABCD【答案】D【解析】【分析】由函数为偶函数可排除B，由，可排除，进而可得结果.【详解】，函数定义域为，函数为偶函数，其图象关于轴对称，可排除B.当时，其图象应在轴下方，可排除，故选D.【点睛】本题主要考查了由函数的解析式判断函数的图象，主要根据函数的性质利用排除法得到结果，属于中档题.7运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为101，则判断框中可以填() ABCD【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案
5、【详解】程序的功能是计算而，故条件为，故选C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题8中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有()A50种B60种C70种D90种【答案】C【解析】【分析】根据题意，按同学甲的选择分2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案【详
6、解】根据题意，分2种情况讨论：如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，选法有种；如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，选法有种，不同的选法共有种，故选C.【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，属于基础题9将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是 ()A函数的最小正周期是B函数的图象关于直线对称C函数在上单调递减D函数在上的最大值是1【答案】C【解析】【分析】求出函数的周期判断A的正误；函数的对称轴判断B的正误；函数的单调性判断C的正误；函数的最值判断D
7、的正误；【详解】由题意知：，最小正周期T，选项A错误;当时，即函数的图象关于点对称，选项B错误；当时，函数在上单调递减，选项C正确;函数在上单调递增，即函数在上没有最大值，选项D错误，故选C.【点睛】本题考查三角函数的简单性质，最值、单调性、周期以及单调性，考查命题的真假的判断，属于中档题10若与两个函数的图象有一条与直线平行的公共切线，则 ()A-1B0C1D3【答案】B【解析】【分析】求出切线方程，利用公切线结合判别式推出结果即可【详解】在函数上的切点设为，根据导数的几何意义得到，故切点为，可求出切线的方程为，因为直线l和也相切，从而，化简得到，只需要满足，所以故选B.【点睛】本题考查函数
8、的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.11设函数，则关于函数有以下五个命题:函数是偶函数； 函数是周期函数；函数的图象是两条平行直线其中真命题的个数是()A5B4C3D2【答案】B【解析】【分析】由或1，计算可判断；由，计算可判断；由奇偶性的定义可判断；由周期函数的定义可判断；由的范围可判断【详解】由，可得或1，则，为有理数，则，故正确；当，时，故正确；为有理数，则为有理数，为无理数，则为无理数，函数是偶函数，故正确；任何一个非零的有理数T，都有，则T是函数的周期，函数是周期函数，故正确；由于为有理数，；为无理数时，的图象不为连续的直线，故错误真命题的个数是4个，
9、故选B【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是分段函数的周期性和函数值的特点，以及图象特点，考查判断能力和推理能力，属于基础题12已知三棱锥DABC的四个顶点在球O的球面上，若ABACBCDBDC1，当三棱锥DABC的体积取到最大值时，球O的表面积为()AB2C5D【答案】A【解析】【分析】三棱锥D-ABC的体积取到最大值时，平面平面DBC，取BC的中点G，连接AG，DG，分别取ABC与DBC的外心E，F，分别过E，F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体ABCD的球心，求出外接球的半径，然后求解球的表面积【详解】如图，当三棱锥的体积取到最大值时，则平面ABC与平面DBC垂直，取
10、BC的中点G，连接AG，DG，则，分别取与的外心E，F，分别过E，F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体ABCD的球心，由，得正方形OEGF的边长为，则OG四面体的外接球的半径R球O的表面积为，故选A.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断，几何体的外接球的表面积的求法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题13已知定义在R上的奇函数满足，且当时，则_【答案】【解析】【分析】求出函数的周期，结合函数的奇偶性，转化求解函数值即可【详解】由知函数的周期为3，又函数为奇函数，所以，故答案为.【点睛】本题考查
11、函数的奇偶性的性质与应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.14已知是等腰直角三角形，则_【答案】【解析】【分析】利用已知条件将分别用表示，然后求解向量的数量积即可.【详解】故答案为4.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查向量的数量积的运算，是基本知识的考查15秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是，共中a、b、c是ABC的内角A，B，C的对边。若，且，2，成等差数列，则面积S的最大值为_【答案】【解析】
12、【分析】运用正弦定理和余弦定理可得，再由等差数列中项性质可得，代入三角形的面积公式，配方，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值【详解】，因此，2，成等差数列，因此，当，即时，S取得最大值，即面积S的最大值为，故答案为.【点睛】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，以及等差数列中项性质，转化为求二次函数的最值是解题的关键，属于中档题16若且，使得，则实数a的取值范围是_ (e为自然对数的底数) 【答案】【解析】【分析】根据的取值范围，以及题目的意思可以知道在上不单调，根据导数和函数单调性的关系可求得答案【详解】由题意，得在上不单调，所以,当时，当时，.在时有极小值，因此，解得.故答案为
13、.【点睛】本题主要考察全称量词与存在量词的理解，以及函数单调性，导函数，极小值的理解运用评卷人得分三、解答题17已知的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，满足且(1)求角B;(2)求周长的最大值【答案】(1) B； (2) 12【解析】【分析】（1）由已知利用正弦定理，两角和的正弦函数公式可得，结合范围，可求B的值；（2）由余弦定理，基本不等式可求，进而可求周长的最大值【详解】(1)由及正弦定理，得即(2)在中，由余弦定理得即，的周长当时，周长取到最大值且最大值为12.【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于
14、基础题18已知四棱锥的底面是等腰梯形，.(1)证明:平面平面；(2)点E是棱PC上一点，且平面，求二面角的正弦值【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）利用勾股定理可以得出，即，由线面垂直的判定定理，证得平面PBD；（2）建立直角坐标系，求出平面EOB、平面AOB的法向量，得出两个法向量的夹角余弦值，进而求得夹角的正弦值【详解】(1)证明:等腰梯形中，又，.，即又，且，平面，又平面，平面平面(2)连接，由(1)知，平面，即如图，以OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴z轴建立空间直角坐标系则，平面的法向量平面，平面平面平面，设平面EOB的法向量为，则，即，令，则所求二面角的正弦值是
15、.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理，建立空间直角坐标系，对二面角的正弦值的求值问题，是中等题19如图，在平面直角坐标系中，椭圆C：的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，且垂直于轴，连结并延长交椭圆于另一点，设(1)若点的坐标为，求椭圆的方程;(2)若，求椭圆的离心率的取值范围【答案】(1) ；(2) 【解析】【分析】（1）由已知可得，将点代入椭圆方程，联立求得，则椭圆方程可求；（2）由轴，不妨设，设，由P在椭圆上，求得，结合，利用向量等式求得Q坐标，结合点Q在椭圆上，列式可得，结合的范围求椭圆C的离心率的取值范围【详解】(1)垂直于轴，且点的坐标为，解得，椭圆C的方程为
16、. (2)轴，不妨设在轴上方，设P在椭圆上，.解得，即，由得，解得，点在椭圆上，即，从而解得椭圆C的离心率的取值范围是.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题20某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐的收费标准互不相同得到的统计数据如下表，x为收费标准(单位:元/日)，t为入住天数(单位:天)，以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图x100150200300450t9065453020(1)若从
17、以上五家“农家乐”中随机抽取两家深人调查，记为“入住率超过0.6的农家乐的个数，求的概率分布列(2)zlnx，由散点图判断与哪个更合适于此模型(给出判断即可不必说明理由)?并根据你的判断结果求回归方程(a，的结果精确到0.1)(3)根据第(2)问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大?(100天销售额L100入住率收费标准x) 参考数据， ， 【答案】(1) 见解析；(2) 更适合于此模型；(3) 当收费标准约为150(元/日)时，100天销售额L最大【解析】【分析】（1）的所有可能取值为0，1，2，利用超几何分布求得概率，则分布列可求；（2）由散点图可知，更适合于此模型
18、，分别求得与，则回归方程可求；（3）依题意，再由导数求最值即可.【详解】(1)的所有可能取值为0，1，2则P(0)的分布列是012(2)由散点图可知更适合于此模型依题意，则所求的回归方程为 (3)依题意，则，由，得，由，得，在上递增，在上递减当时，取到最大值当收费标准约为150(元/日)时，100天销售额L最大.【点睛】本题考查离散型随机变量分布列的求法，考查回归方程的求法，训练了利用导数求最值，是中档题21已知函数(1)若函数在定义域上为增函数，求a的取值范围;(2)证明: 【答案】(1)；(2)见证明【解析】【分析】（1）对函数进行求导，设，求出，判断的单调性，求出，由题意得，即可解得结果
19、；（2），故只需证明即可，当时，通过，当时，设，通过导数判断函数的单调性，求其最小值.【详解】(1)的定义域为，且设，则令，则当时，；当时，.在上单调递减，在上单调递增，由已知函数在定义域上是增函数，得，解得的取值范围是(2)，要证明只需证明(i)当时，.所以成立(ii)当时，设，则设，则即在上单调递增，即在上单调递增，即综上可知，时，.【点睛】本题主要考查了函数的导数与单调性的关系，导数在证明不等式中的应用，属于难题.22在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 (t为参数)(1)若，求曲线C的直角坐标方程以及直线l的极坐标方
20、程；(2)设点，曲线C与直线 交于A、B两点，求的最小值【答案】(1)，；（2）14【解析】【分析】（1）根据直接利用转换关系可得曲线C的直角坐标方程，将代入结合可得直线的极坐标；（2）将直线方程代入曲线中，利用一元二次方程根和系数的关系以及参数的几何意义即可求出结果【详解】(1)曲线C:，将.代入得即曲线C的直角坐标方程为.直线l: ，(t为参数)，所以，故直线l的极坐标方程为. (2)联立直线l与曲线C的方程得即设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则因为当时取等号，所以的最小值为14.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型23已知的最小值为t(1)求t的值;(2)若实数a，b满足2a2+2b2t，求的最小值【答案】(1) 2；(2)9【解析】【分析】（1）分类讨论将函数化为分段函数，进而求出的值；（2）根据的值求得的值，再根据基本不等式求最小值【详解】(1)故当时，函数有最小值2(2)由(1)可知.即当且仅当，时取等号故的最小值为9.【点睛】本题主要考查分段函数的性质以及基本不等式在求最值中的应用，属于中档题