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1、2-1动态微分方程式的编写,机械运动系统,例：弹簧-质量-阻尼系统,输入外力,输出位移,阻尼系数，与运动方向相反,2-2非线性数学模型的线性化,2-2 非线性数学模型的线性化,1. 概念 对于非本质非线性系统或环节，假设系统工作过程中，其变量的变化偏离稳态工作点增量很小，各变量在工作点处具有一阶连续偏导数，于是可将非线性函数（数模）在工作点的某一邻域展开成泰勒级数，忽略高次（二次以上）项，便可得到关于各变量近似线性关系，我们称这一过程为非线性系统(数模)的线性化。,2. 数学描述 设系统的输入为x(t),输出为y（t）， 且满足y(t)=f(x),其中f(x)为非线性函数。 设t=t0时，x=
2、x0,y=y0为系统的稳定工作点（x0,y0）,2-2非线性数学模型的线性化,2-2非线性数学模型的线性化,当|x-xo|很小时，忽略其二阶以上各项，得：,在该稳定工作点处将f(x)泰勒展开为：,即：,也即：,是 线性化模型,例：将上例流体运动非线性方程线性化如：,可将非线性特性 在 处线性化,2-2非线性数学模型的线性化,即有：,去掉 即为线性化方程。 不难看出线性化方程与工作点有关，工作点不同，方程就不同。,代入原方程得：,2-2非线性数学模型的线性化,自动控制系统的典型输入信号,3-1控制系统的暂态响应分析,一、典型输入信号 为了对系统性能进行分析、比较，给出了几种典型输入信号 阶跃输入
3、 定义如下,A=1时称为单位阶跃信号,对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，相当于加一突变的给定位置信号。,3-1控制系统的暂态响应分析, 斜坡（匀速）输入,相当于随动系统加入一按恒速变化的位置信号，该恒速度为A。,3-1控制系统的暂态响应分析,抛物线（匀加速）输入,相当于随动系统加入一按恒加速度变化的位置信号，该恒加速度为A。,3-1控制系统的暂态响应分析,脉冲函数,当A=1， 时 称为单位脉冲函数（t） ，其面积为1,正弦函数 用正弦函数作输入信号，可以求得系统对不同频率的正弦输入函数的稳态响应，由此可以间接判断系统的性能。,拉普拉斯变换(Laplace变换
4、),拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯逆变换 拉普拉斯变换的应用,在数学中，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常常采用一种变换手段，所谓积分变换，就是通过积分运算把一个函数变成另一个函数的变换。积分变换包括拉普拉斯（Laplace）变换和傅立叶（Fourier）变换。这里只研究Laplace变换，讨论他的定义、性质及其应用。,在 所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为,设函数 当 有意义,而且积分,（ 是一个复参量）,称上式为函数 的拉普拉斯变换式,一、拉普拉斯变换的概念,= ,二、一些常用函数的拉普拉斯变换,例2 求单位阶跃函数 的拉氏变换,解,例1 求单位脉冲函
5、数 的拉氏变换,解,例3 求函数 的拉氏变换,解,例4 求单位斜坡函数 的拉氏变换,解,例5正弦函数,是周期为,当 在一个周期上连续或分段连续时,则有,周期函数的拉普拉斯变换,这是求周期函数拉氏变换公式,的周期函数,即,可以证明:若,（1）线性性质,三 拉氏变换的几个重要定理,（2）微分定理,（3）积分定理,（4）实位移定理,（5）复位移定理,（6）初值定理,（7）终值定理,（终值确实存在时）,自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所,19,应用拉氏变换的终值定理求,注意拉氏变换终值定理的适用条件：,事实上：,的极点均处在复平面的左半边。,不满足终值定理的条件。,四 拉氏反变换,（1
6、）反演公式,（2）查表法（分解部分分式法）,解.,1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换,一些常用函数的 拉氏变换,自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所,22,典型信号的拉氏变换（2）,2.用留数法分解部分分式,一般有,其中：,设,I. 当 无重根时,解.,解.,II. 当 有重根时,(设 为m重根，其余为单根),解.,常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法,利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系 数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本步骤如下: （1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程; （2）从象函数的代数方程中解出象函数; （3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程（或方程组）的解.,例17 求微分方程,满足初始条件,的解,解 设,对方程两边取拉氏变换,并考虑到初始条件,则得,解得,所以,用L变换方法解线性常微分方程,: 特征根（极点）,: 相对于 的模态,课后作业,1. 已知系统的微分方程为 ，式中，y(t)为系统的输出量，r(t)为系统的输入量。r(t)=1(t)，y(0)=0，y(0)=0，求微分方程的解y(t). 2.求函数的拉氏变换X(s)，设t0时，x(0)=0,