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1、简单复合函数的 求导法则,一、教学目标：1、了解简单复合函数的求导法则；2、会运用上述法则，求简单复合函数的导数。 二、教学重点：简单复合函数的求导法则的应用 教学难点：简单复合函数的求导法则的应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程,复习：两个函数的和、差、积、商的求导公式。 1、 常见函数的导数公式：,2、法则1,法则2,法则3,复合函数的导数,新授课,函数 ， ， 构成间的关系？,可由 与 复合得到,（2） 由 复合而成,（4） 由 复合而成,复合函数的导数,新授课,例2 写出由下列函数复合而成的函数： （1） （2）,解：（1）,（2）,引例,一艘油轮发生泄漏事故，泄出的原
2、油在海面上形 成一个圆形油膜，其面积 是半径 的函数：,油膜半径 随着时间 的增加而扩大，其函数关 系为：,问：油膜面积 关于时间 的瞬时变化率是多 少？,分析：,油膜面积 关于时间 的新函数：,由于,所以由导数的运算法则可得：,概括,一般地，对函数 和 ， 给定 的一个值，可得 的值，进而确定 的值， 这就确定了新函数 ，它是由 和 复合而成的，我们称之为复合函 数，其中 是中间变量。,复合函数 的导数：,复合函数 中，令 ，则,注意：,复合函数的中间变量可以是任何函数，在高中 阶段我们只讨论 的情况。,推广：,注意：不要写成 ！,对x求导,对 求导,复合函数的导数,新授课,函数 可由 复合
3、而成,复合函数的导数,新授课,一般地，设函数 在点 处有导数 ，函 数 在点 的对应点 处有导数 ，则复合 函数 在点 处也有导数，且 或写作,复合函数的导数,例题讲解,例3 求 的导数,解：设 ， 则,例1 求函数 的导数。,例2 求函数 的导数。,解析,解析,例4、一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y（单位：cm）。关于时间t（单位：s）的函数为,，求函数在t=3时的导数，,并解释它的实际意义。,解：函数,是由函数,与,复合而成的，其中x是中间变量。,将t=3代入,得：,（cm/s）。,它表示当t=3时，水面高度下降的速度为,cm/s。,例4 求下列函数的导数：,前面所求的
4、都是具体的复合函数的导数，而此题 中的对应法则 f 是未知的，是抽象的复合函数。它们 的导数如何求得？,解析,（1）首先要弄清复合关系，特别要注意中间变量；,（2）尽可能地将函数化简，然后再求导；,（3）要注意复合函数求导法则与四则运算的综合 运用；,（4）复合函数求导法则，常被称为“链条法则”， 一环套一环，缺一不可。,复合函数求导法则的注意问题：,例3,1. 求下列函数的导数：,2. 求曲线 在 处的切线方程。,动手做一做,例4,求下列函数的导数：,动手做一做,小结,关键：分清函数的复合关系，合理选定中间变量。, 复合函数求导公式：,利用复合函数的求导公式可以求抽象函数的导数。,对于抽象复
5、合函数的求导, 要从其形式上把握其结构特征，找出中间变量；另外要充分运用复合关系的求导法则。, 抽象复合函数的导数：,结束,利用复合函数的求导法则来求导数时，首先要弄清复合关系，而选择中间变量是复合函数求导的关键。,分析：,令 ，则函数是由 与 复合而成，由复合函数求导法则 可知：,解：,例2,解：,令 ，则函数是由 与 复合而成，由复合函数求导法则 可知：,利用复合函数的求导法则来求导数时，选择中间 变量是复合函数求导的关键。必须正确分析复合函数 是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清 其间的复合关系。要善于把一部分量、式子暂时当作 一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量。求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。,总结,概括,而对于抽象复合函数的求导,一方面要从其形式上把握其结构特征，找出中间变量，另一方面要充分运用复合关系的求导法则。,分析:,求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关 系，合理选定中间变量，明确求导过程中每次是哪 个变量对哪个变量求导。,解：,（1）函数是由 与 复合而成的，,由复合函数的求导法则知：,练习,