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1、第一页，讲稿共五十五页哦教学目标：教学目标： 一元二次方程概念一元二次方程概念 解一元二次方程的方法解一元二次方程的方法 一元二次方程应用题一元二次方程应用题 第二页，讲稿共五十五页哦一元二次方程概念一元二次方程概念 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念 第三页，讲稿共五十五页哦一元二次方程概念 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程一元二次方程第四页，讲稿共五十五页哦一元二次方程特点 （1）都只含一个未知数x； （2）它们的最高次数都是2次的； （3） 都有等号，是方程第五页，讲稿共五十五页哦一元二次方程的一般形式一般形式 任何一个关
2、于x的一元二次方程， 经过整理， 都能化成如下形式 这种形式叫做一元二次方程的一般形式一般形式 一个一元二次方程经过整理化成 后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项20(0)axbxca20(0)axbx ca 第六页，讲稿共五十五页哦例例1将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项 分析分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a0）因此，方程（8-2x） （5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等 解：去括号，得： 40-16x-10 x+4x2=18 移
3、项，得：4x2-26x+22=0 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22 第七页，讲稿共五十五页哦例例2（学生活动：请二至三位同学上台演练）（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程将方程（x+1）2+（x-2）（）（x+2）= 1化成一元二次方程的化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项一次项系数；常数项 分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a0）的形式 解：去括号，得： x2+2x+1+x2-4=1 移项，合并得：2
4、x2+2x-4=0 其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4 第八页，讲稿共五十五页哦应用拓展求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程 分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17 0即可 证明：m2-8m+17=（m-4）2+1 （m-4）20 （m-4）2+10，即（m-4）2+10 不论m取何值，该方程都是一元二次方程 第九页，讲稿共五十五页哦本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式 和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们
5、的运用 20(0)axbx ca 第十页，讲稿共五十五页哦第二课时 1一元二次方程根的概念； 2根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目 第十一页，讲稿共五十五页哦一元二次方程的根一元二次方程的根 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根一元二次方程的根 第十二页，讲稿共五十五页哦直接开平方法直接开平方法 形如的方程 可以用直接开平方法解，两边直接开平方得 或者 ， 注意：若b0，方程无解2()(0)x abbx ab xab xab 第十三页，讲稿共五十五页哦例题：例题： 将方程左边配成完全平方式，得到的方程是（
6、 ） A、 B、 C、 D、3) 3(2x6)3(2x3)3(2x12) 3(2x第十四页，讲稿共五十五页哦因式分解法因式分解法一般步骤如下：将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。例题：例题：解方程041132xx第十五页，讲稿共五十五页哦配方法配方法 用配方法解一元二次方程 的一般步骤 二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 的形式； 用直接开平方
7、法解变形后的方程。 注意：注意：当 时，方程无解20(0)axbxca2()(0)xmn n0n第十六页，讲稿共五十五页哦例题：例题： 将方程 配方后，原方程变形为（ ） A B C D0142 xx3)2(2x3)4(2x3)2(2x5)2(2x第十七页，讲稿共五十五页哦公式法公式法一元二次方程 的求根公式： （ ）一般步骤： 将方程化为一般形式 确定方程的各系数a，b，c，计算 的值； 当 ，将a，b，c以及 的值代入求根公式，得出方程的根 20(0)axbxca242bbacxa 240bac20(0)axbxca24bac240bac24bac242bbacxa 第十八页，讲稿共五十五
8、页哦注意: 当时 ，方程无解； 公式法是解一元二次方程的万能方法； 利用 的值，可以不解方程就能判断方程根的情况；240bac24bac第十九页，讲稿共五十五页哦一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式 一元二次方程 的根的判别式 当0时，方程有两个不相等的实数根； 当0时，方程有两个相等的实数根， 当0时，方程没有实数根20(0)axbx ca 24bac第二十页，讲稿共五十五页哦韦达定理（根与系数关系）韦达定理（根与系数关系） （1）我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c0之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+； 可以由公式法解一元二次方程的两个
9、根证明。*实根与虚根。（2）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q （3）以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0第二十一页，讲稿共五十五页哦一元二次方程的应用一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元； “列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。“解”就是求出说列方程的解；“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义
10、的方程。第二十二页，讲稿共五十五页哦第二十三页，讲稿共五十五页哦1、下列式子哪些是方程？、下列式子哪些是方程？2353x25x318x2y5没有未知数没有未知数不是等式不是等式含有未知数的等式叫方程含有未知数的等式叫方程含有未知数的等式叫方程含有未知数的等式叫方程213x不是等式不是等式方程的本质方程的本质特征是什么特征是什么？第二十四页，讲稿共五十五页哦2、我们学过哪些方程？、我们学过哪些方程？ 一元一次方程、二元一次方程、分式方程。一元一次方程、二元一次方程、分式方程。3、什么叫一元一次方程？方程的、什么叫一元一次方程？方程的“元元”和和“次次”是什么意思？是什么意思？只含有只含有一个未知
11、数一个未知数，并且未知数的，并且未知数的次数是次数是1 1次次的整的整式方程叫一元一次方程。式方程叫一元一次方程。一元一元一次一次第二十五页，讲稿共五十五页哦 问题问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为房之间，开辟面积为900平方米的一块长方平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长米，那么绿地的长和宽各为多少？和宽各为多少？第二十六页，讲稿共五十五页哦 问题问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且平方米
12、的一块长方形绿地，并且长比宽多长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？米，那么绿地的长和宽各为多少？x（x10）第二十七页，讲稿共五十五页哦问题问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？米，那么绿地的长和宽各为多少？解：设长方形绿地的宽为解：设长方形绿地的宽为x米，则米，则长为（长为（x10）米，可得方程：）米，可得方程： 设未知数设未知数长长宽面积宽面积 相等关系相等关系x（x10）=900 第二十八页，讲稿共五
13、十五页哦 去年底：去年底：5 今年底：今年底：55x5（1x） 明年底：明年底：5（1x）5（1x）x 5（1x）（1x） 5 （1x）2 问题问题2、学校图书馆去年年底有图书、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年万册，预计到明年年底增加到年底增加到72万册。求这两年的年平均增长率。万册。求这两年的年平均增长率。 解：设这两年的年平均增长率为解：设这两年的年平均增长率为x, 根据题意得方程：根据题意得方程：5（1x）27.2注意：每年都是在注意：每年都是在上一年的基础上增上一年的基础上增长！长！第二十九页，讲稿共五十五页哦 整理得：整理得： x210 x9000（1）5x210 x2.2
14、0 （2） 特征（特征（1） 都是整式方程都是整式方程 （2） 只含有一个未知数只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是未知数的最高次数是2第三十页，讲稿共五十五页哦 只含有一个未知数，并且未知数的只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是最高次数是2 2的的整式方程整式方程叫做叫做一元二次方程一元二次方程。一元二次方程通常可写成如下的一元二次方程通常可写成如下的一般形式一般形式：ax2+bx+c=0（a0)特征：方程的左边按特征：方程的左边按x x的降幂排列，的降幂排列，右边右边0 0第三十一页，讲稿共五十五页哦 练习：下列方程中哪些是一元二次方程？试练习：下列方程中哪些是一元二次方程？试
15、说明理由。说明理由。3523xx42x212xxx22)2(4xx不是不是是是不是不是不是不是第三十二页，讲稿共五十五页哦讨论：为什么二次项系数讨论：为什么二次项系数a不能为不能为0？假如？假如a=0会出会出现什么情况？现什么情况？b、c能不能为能不能为0？ax2+bx+c=0（a0)第三十三页，讲稿共五十五页哦ax2+bx+c=0二次项二次项一次项一次项常数项常数项二次项二次项系数系数一次项系一次项系数数a0一元二次方程的项和各项系数一元二次方程的项和各项系数 第三十四页，讲稿共五十五页哦练习练习1、指出下列一元二次方程的二次项系、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项：数、一
16、次项系数和常数项：方程方程二次项二次项系数系数一次项一次项系数系数常数常数项项0322 xx0532x032 xx213305130第三十五页，讲稿共五十五页哦2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： 2312 xx）（22372xx）（0) 2(3) 12 (3xxxx）（4)5(3) 1(24xxx）（3x21x2=02x27x3=01x25x0=02x25x11=0友情提示：某一项的系数包括它前友情提示：某一项的系数包括它前面的符号。面的符号。第三十六页，讲稿共五十
17、五页哦拓展练习：拓展练习： 1、 关于关于x的方程的方程axax2 2 2bx 2bxa a2x2x2 2, 在什在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？件下此方程为一元一次方程？ 解：移项：解：移项：axax2 2 2bx 2bxa a 2x2x2 2 0 0 合并同类项：（合并同类项：（a a2 2）x x2 2 2bx 2bxa a0 0 所以，所以，当当a2时是一元二次方程；时是一元二次方程； 当当a2，b0时是一元一次方程；时是一元一次方程；第三十七页，讲稿共五十五页哦2、已知关于、已知关于x的一元二次方程的一元二次方
18、程(m1)x23x5m40有一根为有一根为2，求，求m。 什么叫方程的根？什么叫方程的根？ 能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫方能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的根。程的根。 解：把解：把x x2 2代入原方程得：代入原方程得： (m1) 223 2 5m40 解这个方程得：解这个方程得：m6第三十八页，讲稿共五十五页哦3、已知关于、已知关于x的方程的方程是一元二次方程，求是一元二次方程，求m的值。的值。01) 121mmxxmm（ 分析：因为方程是一元二次方程，故未知数分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x的最的最高次数高次数 m +12， 解之得，解之得，m=1或或m=1，
19、 又因二次项系数又因二次项系数m10， 即即m1， 所以所以m=1。温馨提示：注意陷井温馨提示：注意陷井二次项系数二次项系数a0！第三十九页，讲稿共五十五页哦v若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=_ 第四十页，讲稿共五十五页哦 已知关于x的方程（k21）x2（k1）x20（1）当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出它的根；（2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？写出这个方程的二次项系数，一次项系数和常数项第四十一页，讲稿共五十五页哦二次函数y=ax2的图象和性质第四十二页，讲稿共五十五页哦1、二次函数的一般形式是怎样的？二次函数的一般形式是怎样的？y=a
20、x+bx+c(a,b,c是常数是常数,a 0)2.2.下列下列函数中函数中,哪些是二次函数？哪些是二次函数？2xy 42312xxy12xxy2xxyxxy12第四十三页，讲稿共五十五页哦你会用描点法画二次函数y=y=x2 2的图象吗的图象吗? ?观察观察y=y=x2 2的表达式的表达式, ,选择适当选择适当x值值, ,并计算相应并计算相应的的y y值值, ,完成下表：完成下表：x-3-3-2-2-1-10 01 12 2 3 3y=y=x2 29 94 41 11 10 04 49 9第四十四页，讲稿共五十五页哦xy0 0-4-3-2-11234108642-2描点描点, ,连线连线y= =
21、x2 2?第四十五页，讲稿共五十五页哦第四十六页，讲稿共五十五页哦2xy 二次函数二次函数y=x2的图象形如的图象形如物体抛射时物体抛射时所经过的路所经过的路线线,我们把它我们把它叫做叫做抛物线抛物线这条抛物线关于这条抛物线关于y轴对称轴对称,y轴就轴就 是它的对称轴是它的对称轴. 对称轴与抛物对称轴与抛物线的交点叫做线的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点.第四十七页，讲稿共五十五页哦 议一议议一议(2)图象图象 与与x轴有交点吗？如果有轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么交点坐标是什么?(4)当当x0呢？呢？(3)当当x取什么值时取什么值时,y的值最小的值最小?最小值是什么最小值是什么? 你是你
22、是如何知道的？如何知道的？观察图象观察图象, ,回答问题：回答问题：2xy xyO(1)图象是轴对称图形吗？如果图象是轴对称图形吗？如果是是,它的对称轴是什么它的对称轴是什么?请你找请你找出几对对称点？出几对对称点？第四十八页，讲稿共五十五页哦2xy当当x0 (在对称轴的在对称轴的右侧右侧)时时, y随着随着x的增大而的增大而增大增大. 当当x=-2时，时，y=4当当x=-1时，时，y=1当当x=1时，时，y=1当当x=2时，时，y=4抛物线抛物线y=x2在在x轴的轴的上方上方(除顶点外除顶点外),顶点顶点是它的最低点是它的最低点,开口开口向上向上,并且向上无限并且向上无限伸展伸展;当当x=0
23、时时,函数函数y的值最小的值最小,最小值是最小值是0.第四十九页，讲稿共五十五页哦(1)(1)二次函数二次函数y=-y=-x2 2的图象是什么形状？的图象是什么形状？ 做一做做一做你能根据表格中的数据作出猜你能根据表格中的数据作出猜想吗想吗？(2)(2)先想一想，然后作出它的图象先想一想，然后作出它的图象(3)(3)它与二次函数它与二次函数y=x2的图象有什么关系？的图象有什么关系？xy=-x x2 2x-3-2-10123y=-x x2 2x -9-9-4-4-1-10 0-1-1-4-4-9-9在学中做在做中学第五十页，讲稿共五十五页哦做一做做一做xy0 0-4-3-2-11234-10-
24、8-6-4-22-1描点描点, ,连线连线y=-=-x2 2?第五十一页，讲稿共五十五页哦2xy 当当x0 (在对称轴在对称轴的右侧的右侧)时时, y随着随着x的增大而减小的增大而减小. y 当当x= -2时时,y= -4 当当x= -1时时,y= -1当当x=1时时,y= -1当当x= 2时时,y= -4抛物线抛物线y= -x2在在x轴的轴的下方下方(除顶点外除顶点外),顶点顶点是它的最高点是它的最高点,开口开口向下向下,并且向下无限并且向下无限伸展伸展;当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大,最大值是最大值是0.第五十二页，讲稿共五十五页哦1.抛物线抛物线y=ax2的顶点是原点的顶点是
25、原点,对对称轴是称轴是y轴轴. 2.当当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2在在x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外),它的开它的开口向上口向上,并且向上无限伸展；并且向上无限伸展； 当当a0时时,在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小；在对称轴右的增大而减小；在对称轴右侧侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.当当x=0时函数时函数y的值最小的值最小. 当当a0时，在对称轴的左侧时，在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大；在对称轴的增大而增大；在对称轴的右侧的右侧,y随着随着x增大而减小增大而减小,当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大.二次函数y=ax2的性质2axy
26、2axy 第五十三页，讲稿共五十五页哦做一做做一做(1)抛物线抛物线y=2x2的顶点坐标是的顶点坐标是 ,对称轴是对称轴是 , 在对称轴在对称轴 侧侧,y随着随着x的增大而增大；在对称轴的增大而增大；在对称轴 侧侧, y随着随着x的增大而减小的增大而减小,当当x= 时时,函数函数y的值最小的值最小,最小最小 值是值是 ,抛物线抛物线y=2x2在在x轴的轴的 方方(除顶点外除顶点外).(2)抛物线抛物线 在在x轴的轴的 方方(除顶点外除顶点外),在对称在对称轴的左侧轴的左侧,y随着随着x的的 ；在对称轴的右侧；在对称轴的右侧,y随着随着x的的 ,当当x=0时时,函数函数y的值最大的值最大,最大值是最大值是 ,当当x 0时时,y0.232xy第五十四页，讲稿共五十五页哦感谢大家观看感谢大家观看第五十五页，讲稿共五十五页哦