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1、2.宏观对称性的数学描述,晶体的对称性有宏观对称性和微观对称性之分，前者指晶体的外形对称性，后者指晶体微观结构的对称性。本节我们主要学习晶体的宏观对称性。,1. 宏观对称元素,4. 群/对称操作群 5.宏观对称性与物理性质,3.三种几何体的对称操作,1-5 晶体的宏观对称性,晶体的对称性,晶体外部形态的对称性，称为宏观对称性。晶体外形具有有限的大小，所有的对称元素都必须相交于晶体内部的某一点。因此，宏观对称性又叫做点对称性。（1.5，1.6节） 晶体内原子排列的对称性称为微观对称性，它是晶体内部原子无限排列所具有的对称性。（1.7节） 晶体宏观对称性是微观对称性的外在表现，晶体微观对称性则是宏
2、观对称性的基础。,对称是指物体相同部分作有规律的重复。 不改变物体/图形中任何两点的距离而能使图形复原的操作叫对称操作。 对称操作据以进行的几何要素叫做对称元素,旋转轴与旋转操作：将物体绕通过其中心的轴旋转一定的角度 使物体复原的操作。能使物体复原的最小旋转角（0除外）称 为基准角；物体旋转一周复原的次数称为旋转轴的轴次n， n=360 / ； 旋转轴的符号为Cn； 晶体只存在C2,C3,C4,C6旋转轴；晶体中可存在一条或多条旋转轴。,镜面与反映操作：通过物体中心的一个假想面，将物体平分成互为镜面反映的两个相等部分，称为反映操作；反映操作凭借的平面称为反映面或镜面；晶体中可存在一个或多个镜面
3、。 对称中心与反演操作：若物体中存在一点，使得物体中任意一点向此点引连线并延长到反方向等距离处而能使物体复原，则这种操作就是反演，这一点称为反演中心i。晶体中最多可有一个对称中心。,旋转-反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如：,反轴与旋转反演操作：这是一个复合操作，即旋转与反演的乘积。反轴写为In。,7,正四面体既无四度轴也无对称心,反轴与旋转反演操作：这是一个复合操作，即旋转与反演的乘积。反轴写为In。 恒等元素E与恒等操作：即物体不动的操作。,1，2，3，4，6 度旋转对称操作。,1，2，3，4，6度旋转反演对称操作。,(3)中心反演：i。,(4)镜象反映：m。,C1，C2，C3，C4，
4、C6 （用熊夫利符号表示）,S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示）,点对称操作：,(2)旋转反演对称操作：,(1)旋转对称操作：,独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m， 。 或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。,立方体对称性,(1)立方轴C4：,3个立方轴；,4个3度轴；,(2)体对角线C3：,(3)面对角线C2：,6个2度轴；,各种对称操作相当于坐标变换，可用坐标变换矩阵表示对称操作 保持图形形状和大小不变的几何变换为正交变换。 概括晶体宏观对称性的方法是考察晶体在正交变换下的不变性, 三维情况下，正交变换的表示, 其中矩阵是正交矩阵,宏观对称性的数学
5、描述,绕z轴转角的正交矩阵 矩阵行列式等于1,中心反演的正交矩阵 矩阵行列式等于1,空间转动加中心反演，矩阵行列式等于1,对称操作 ：一个物体在某一个正交变换下保持不变的操作,例1： 立方体的对称操作,1) 绕三个立方轴转动, 9个对称操作,物体的对称操作越多，其对称性越高, 共有6个对称操作,2) 绕6条面对角线轴转动, 8个对称操作,3) 绕4个立方体对角线轴转动,4)不动操作, 立方体的对称操作共有48个,5) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作,例2 正四面体的对称操作,四个原子位于正四面体的四个顶角上，正四面体的对称操作包含在立方体操作之中,1) 绕三个立方轴转动, 共有3个对
6、称操作, 8个对称操作,2) 绕4个立方体对角线轴转动,3)不动操作, 1个对称操作,注：立方轴、体对角线、面对角线都是参照立方体的体心为原点的坐标系来讨论的, 6个对称操作,4) 绕三个立方轴转动,加中心反演, 6个对称操作,正四面体的对称操作共有24个，包含在正方体中。,例3 正六角柱的对称操作,1) 绕中心轴线转动, 5个, 3个,3) 绕相对面中心连线转动, 3个,4)不变操作,5) 以上12个对称操作加中心 反演仍是对称操作, 正六面柱的对称操作有24个,2) 绕对棱中点连线转动, 1个,对称素,对称素：是指一个物体的旋转轴或旋转-反演轴，其简洁明了地概括了一个物体的对称性。 n重旋
7、转轴：一个物体绕某一个转轴2/n以及它的倍数不变时，这个轴称为n重旋转轴，记作n。 n重旋转-反演轴：一个物体绕某一个转轴2/n加上中心反演的联合操作以及其联合操作的倍数不变时，这个轴称为n重旋转轴，记作 。,面对角线 为2重轴，计为2,例1： 立方体,立方轴 为4重轴，计为4,同时也是4重旋转反演轴，计为,同时也是2重旋转反演轴，计为,体对角线轴 为3重轴，计为3,同时也是3重旋转反演轴，计为,例2： 正四面体,体对角线轴是3重轴 不是3重旋转反演轴,立方轴是4重旋转反演轴 不是4重轴,面对角线是2重旋转反演轴 不是2重轴,一个特殊的对称素,：先绕轴转动，再作中心反演,A”点实际上是A点在通
8、过中心垂直于转轴的平面M的镜像，即对称素 实际是个镜面操作，用 表示。,一个物体的全部对称操作的集合，构成对称操作群,对称操作群,群：代表一组“元素”的集合，G E, A ,B, C, D 这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，并且满足下列性质,1)集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素 若 A, B G, 则AB=C G. 叫作群的封闭性,2)存在单位元素E, 使得所有元素满足：AE = A,3) 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E,4)元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C,例1：正实数群 所有正实数(0 除外)的集合,例2：整数群 所有整数的集
9、合,注意：一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义，其运算法则为连续操作。,以普通乘法为运算法则，1为单位元素，x的逆为1/x。,以加法为运算法则。,一个物体的全部对称操作的集合，构成对称操作群,1. 单位元素 不动操作,2. 任意元素的逆元素 绕转轴角度，其逆操作为绕转轴角度 ；中心反演的逆操作仍是中心反演；,3.连续进行A和B操作 相当于C操作,A 操作 绕OA轴转动/2,B 操作 绕OC轴转动/2,S,上述操作中S和O没动，而T点转动到T点 相当于一个操作C：绕OS轴转动2/3,上述操作中S和O没动，而T点转动到T点 相当于一个操作C：绕OS轴转动2/3,表示为, 群的封闭性,可以证明
10、, 满足结合律,S,1.已知氯化钠是立方晶体，其相对分子质量为58.46，在室温下的密度是2.167*103kgm-3,试计算氯化钠结构的点阵常数。 2. 硅、锗半导体材料具有金刚石结构，设其晶格常数为a。画出（110）面 二维格子的原胞，并给出它的基矢。,3. 对于六角密积结构的晶体，其原胞基矢为 试求1.倒格子基矢；2. 晶面簇（210）的面间距。,4. 对于立方晶格，密勒指数为(h1k1l1)和(h2k2l2)的晶面族的两个平面之间的夹角余弦为,【1】已知氯化钠是立方晶体，其相对分子质量为58.46，在室温下的密度是2.167*103kgm-3,试计算氯化钠结构的点阵常数。 【解】固体密
11、度=Zm/V，其中V是晶胞体积，Z是晶胞中的分子数，m为分子的质量。 每个分子的质量m为,于是得到,宏观对称性与物理性质,晶体在几何外形上表现出明显的对称性， 对称性的性质也会在物理性质上得以体现。,介电常数表示为二阶张量,电位移,对于立方对称的晶体，其为对角张量,因此，介电常数可看作一个简单的标量,例：立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明,设对称操作对应的正交变换,且有,介电常数, 在坐标变换下,例：立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明,设对称操作对应的正交变换,且有,介电常数, 在坐标变换下,A为对称变换,X,Y,绕z轴逆时针转90, 对于立方晶体，选取对称操作A为绕Z轴旋转/2,代入,进一步选取对称操作B为绕X轴旋转/2，可得,最后得到,对于n阶张量形式的物理量，系数用n阶张量表示,在坐标变换下,如果A为对称操作, 这样可以简化n阶张量,六角对称晶体，将坐标轴取在 六角轴和垂直于六角轴的平面 内介电常数具有如下形式,平行轴（六角轴）的分量,垂直于六角轴平面的分量, 由于六角晶体的各向异性，具有光的双折射现象 立方晶体的光学性质则是各向同性的,关键词,立方体、正四面体和正六角柱的对称操作 群的概念,