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1、第十一章 三角形,11.1与三角形有关的线段,11.1 与三角形有关的线段,三角形及相关概念,由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。,组成三角形的线段叫做三角形的边。 相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角。 相邻两边的公共端点是三角形的顶点。,顶点是A，B，C的三角形，记作ABC，读作“三角形ABC”。,三角形的分类,按照三个内角的大小分类,三边都相等的三角形叫做等边三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,按边的相等关系分类,三角形三边之间的大小关系,探究 任意画一个 ABC，假设有一只小虫要从B 点出发，沿三角形的边爬到C点。 （1）它有几种路线可以选择?
2、 （2）各条路线的长有什么关系?为什么？,两点之间线段最短,三角形两边的和大于第三边,移项,三角形两边的差小于第三边,例题 用一条长为18 的细绳围成一个等腰三角形。 （1）如果腰长是底边长的2 倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为4 的等腰三角形吗？为什么？,解：（1）设底边长为x ，则腰长2x 。 x+2x+2x=18 解得x=3.6 所以，三边长分别为3.6 ， 7.2 ， 7.2 。,等腰三角形有什么特点？若设底边长为x ，则腰长是多少？,例题 用一条长为18 的细绳围成一个等腰三角形。 （1）如果腰长是底边长的2 倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长为4 的
3、等腰三角形吗？为什么？,（2）如果长为4 的边为底边，设腰长为x ，则 4+2x=18 解得x=7 如果长为4 的边为腰，设底边长为x ，则 2 4+x=18 解得x=10 因为4+410，出现两边的和小于第三边的情况，所以不能围成腰长是4 的等腰三角形。 由以上讨论可知，可以围成底边长是4 的等腰三角形。,“有一边的长为4 ”是什么意思？,课堂练习 1.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形。,课堂练习 2. 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3，4，8； （2）5，6，11； （3）5，6，10.,11.1.1 三角形的边,三角形及相关概念,阶段小结,由不在同一条直线上的三
4、条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。,顶点是A，B，C的三角形，记作ABC，读作“三角形ABC”。,组成三角形的线段叫做三角形的边。 相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角。 相邻两边的公共端点是三角形的顶点。,11.1.1 三角形的边,三角形的分类 三角形三边之间的大小关系 三角形两边的和大于第三边 三角形两边的差小于第三边,阶段小结,11.1.2 三角形的高、中线、角平分线,从 ABC 的顶点A 向它所对的边BC 所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD 叫做 ABC 的边BC 上的高。,D,高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。,11.1.2 三角形的高、中线、角平分线,从 AB
5、C 的顶点A 向它所对的边BC 所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD 叫做 ABC 的边BC 上的高。,(D),D,你能画出另两条边上的高吗？,三角形的三条高所在的直线相交于一点。,连接 ABC 的顶点A 和它的对边BC 的中点D，所得线段AD 叫做 ABC 的边BC 上的中线。,D,你能画出另两条边上的中线吗？,F,E,三角形的三条中线相交于一点。 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。,如图， 画 A 的平分线AD ，交 A 所对的边BC 于点D，所得线段AD 叫做 ABC的角平分线。,D,你能画出另两条角平分线吗？,F,E,三角形的三条角平分线相交于一点。,课堂练习 填空: (1)如
6、图(1),AD,BE,CF是ABC的三条中线,则 (2)如图(2),AD,BE,CF是ABC的三条角平分线,则,11.1.2 三角形的高、中线、角平分线,1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。 从 ABC 的顶点A 向它所对的边BC 所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD 叫做 ABC 的边BC 上的高。 连结 ABC 的顶点A 和它的对边BC 的中点D，所得线段AD 叫做 ABC 的边BC 上的中线。 画 A 的平分线AD ，交 A 所对的边BC 于点D，所得线段AD 叫做 ABC的角平分线。 2、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。 三角形的三条中线的交点、三条
7、角平分线的交点在三角形的内部。 锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交点在直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。,阶段小结,11.1.3 三角形的稳定性,工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的道理是什么？,盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？,探究,扭动它，它的形状会改变吗?,三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。,三角形的稳定性有广泛的应用。,四边形的不稳定性也有广泛的应用。,课堂练习 1.下列图形中哪些具有稳定性？,课堂练习 2.要使下列木架不变形，分别至少要再钉上几根木条？,11.1.3 三角形的
8、稳定性,三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。 三角形的稳定性和四边形的不稳定性都在生产和生活中都有广泛的应用。,阶段小结,11.1 与三角形有关的线段,本节小结,三角形相关概念及表示方法,三角形按边分类,三角形三边之间的关系,概念、画法、交点,三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性,11.2与三角形有关的角,11.2 与三角形有关的角,11.2.1 三角形的内角,三角形的内角和等于180,如何证明？,你能发现证明的思路吗？,已知 ABC ，求证： A+B+C=180。,证明:过点A作线l，使 lBC. lBC 2=4（两直线平行，内错角相等） 同理3=5 1， 4，5组成平角， 1+ 4+
9、5=180（平角定义） 1+ 2+3=180（等量代换）,三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180,你还有其它方法证明三角形内角和定理吗？,课堂练习,课堂练习,思考 直角三角形的两个锐角有什么关系?,A,C,B,如图，在RtABC中，C=90 ，由三角形内角和定理，得 A+ B+C=180 即 A+ B+90=180 所以 A+ B=90 也就是说，直角三角形的两个锐角互余。,思考 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余。反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？说说理由。,有两个角互余的三角形是直角三角形,由三角形内角和定理，可得出： （1）直角三角形的两个
10、锐角互余； （2）有两个角互余的三角形是直角三角形； （3）一个三角形最多有一个直角或钝角，最少有两个锐角； （4）一个三角形中至少有一个角小于或等于60。,课堂练习,课堂练习,11.2.1 三角形的内角,1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180。 证明+应用 2、由三角形内角和定理，可得出： （1）直角三角形的两个锐角互余； （2）有两个角互余的三角形是直角三角形； （3）一个三角形最多有一个直角或钝角，最少有两个锐角； （4）一个三角形中至少有一个角小于或等于60。,阶段小结,11.1.2 三角形的外角,三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。,D,1,哪些是三角形
11、的内角?哪些是三角形的外角?,三角形每个顶点处有2个外角(互为对顶角)，共有6个外角。,思考 如图，ACD是ABC的一个外角，能求出ACD吗？ ACD与A， B有什么关系？ 任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？,三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。,如何证明？,证明：在ABC中 A+B+ACB=180（三角形内角和定理)， ACB+ACD=180（平角定义）， ACD=A+B.,已知：ACD 是ABC的外角. 求证：ACD= A+ B,例题,三角形外角和等于360。,外角和一般是每个顶点只取一个外角计算而得。,课堂练习 说出下列图形中1和2的度数,11.1.2
12、三角形的外角,1、三角形外角的定义 三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 2、三角形外角的性质 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 3、三角形外角和 三角形外角和等于360。,阶段小结,11.2 与三角形有关的角,本节小结,与三角形有关的角,内角和,11.3 多边形及其内角和,11.3 多边形及其内角和,11.3.1 多边形,在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 如果一个多边形由 n 条线段组成，那么这个多边形就叫做 n 边形。,由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。,三角形,四边形,五边形,六边形,八
13、边形,（n 3）,多边形的相关概念,A,B,C,D,E,F,多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。,边,对角线,探究：n边形有几条对角线？,三角形,四边形,五边形,六边形,八边形,从同一顶点引出的对角线条数：,0,1,2,3,5,n边形,n-3,n边形共有对角线 条（n3）,你能说出这两个图形的异同点吗？,画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。,凸四边形,凹四边形,各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。,正三角形,正方
14、形,正五边形,正六边形,课堂练习,在书21页画一画,课堂练习 2.四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？,11.3.1 多边形,1.多边形的相关概念 在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 2.多边形的对角线条数 3.多边形的分类,阶段小结,n边形共有对角线 条（n3）,11.3.2 多
15、边形的内角和,思考：三角形的内角和是多少度？ 四边形的内角和多少度？ 你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和为360吗？,A,B,D,C,类比上面的过程，你能推导出五边形、六边形的内角和各是多少度吗？,从五边形一个顶点出发，可以作_对角线，它们将五边形分为_个三角形，五边形的内角和等于180_； 从六边形一个顶点出发，可以作_对角线，它们将六边形分为_个三角形，六边形的内角和等于180_； 从n边形一个顶点出发，可以作_对角线，它们将n边形分为_个三角形，n边形的内角和等于180_；,五边形,六边形,2,3,3,3,4,4,n-3,n-2,n-2,五边形,六边形,n边形的内角和公式： n边
16、形的内角和等于（n2）180,例题,例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？,例题,例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和。六边形的外角和等于多少？,如果六边形换成n边形呢？,多边形的外角的等于360。,分析： (1)任何一个外角和与它相邻的内角有什么关系？ (2)六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？ (3)这个总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？,从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A 点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一
17、个周角，所以多边形的外角和等于360。,课堂练习 1.求出下列图形中x的值。,65,60,95,课堂练习 2.一个多边形的各内角都等于120，它是几边形？,360 （180 120）=6,课堂练习 3.一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？,11.3.2 多边形的内角和,阶段小结,n边形的内角和等于（n2）180,多边形的外角的等于360。,n边形的内角和等于（n2）180,多边形的外角的等于360。,11.3 多边形及其内角和,本节小结,第十一章 三角形,与三角形有关的线段,三角形的内角和,三角形的外角和,三角形,边,高,多边形的内角和,多边形的外角和,中线,角平分线,回顾与思考 1、三角形的三边之间有怎样的关系？得出这个结论的依据是什么？ 2、三角形的三个内角之间有怎样的关系？如何证明这个结论？ 3、直角三角形的两个锐角有怎样的关系？三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角有怎样的关系？这些结论能由三角形内角和定理得出吗？ 4、n边形的n个内角有怎样的关系？如何推出这个结论？ 5、n边形的外角和与n有关吗？为什么？,第十一章 三角形,