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幅角原理及应用,1,留数和留数定理,一、对数留数 二、 幅角原理 三、儒歇定理,2,留数和留数定理,定义：如果函数 f 在区域D内除去极点外 处处解析，则称f 为区域D内的亚纯函数。,3,有理函数在整个平面上都是亚纯函数,若f 在闭周线C内是亚纯的，在C上解析且不取 零点，则 f 在C内至多有有限个极点。,4,一、对数留数,证明,由此，,5,证明,由此，,6,考察积分,计算函数的零点或极点的个数时，通常包含重数。,7,定理1,另一方面,8,定理2,二、幅角原理,解,9,例3 证明：在虚轴上没有零点的n次多项式,10,11,三、儒歇（Rouch）定理,12,儒歇定理,注：儒歇定理的 典型用途之一是将一个复杂的解析函数g同零点已知的解析函数比较，推出关于零点的一些信息。,例4 证明多项式 的全部4个零点都位于 内。,例5 证明: 满足条件 的多项式,如： 方程 在单位圆内有（ ）个根,13,方程 在单位圆内有（ ）个根,方程 在单位圆内有（ ）个根,